专题01 一元二次方程（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题01 一元二次方程 目录 【题型一 识别一元二次方程】 1 【题型二 由一元二次方程的概念求参数的值】 2 【题型三 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】 2 【题型四 一元二次方程的一般形式】 2 【题型五 由一元二次方程的解求参数的值】 3 【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 3 【题型七 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 3 【题型一 识别一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【题型二 由一元二次方程的概念求参数的值】 例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【题型三 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】 例题：（21-22八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 2．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【题型四 一元二次方程的一般形式】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 【题型五 由一元二次方程的解求参数的值】 例题：（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练】 1．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 2．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 【变式训练】 1．（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【题型七 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 例题：（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 2．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·北京·期中）将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（    ） A． B．2 C． D．8 5．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题 6．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 7．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 8．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 9．（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 10．（2024·福建福州·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 12．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 13．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 14．（2021上·九年级课后作业）当m是何值时，关于x的方程分别满足： （1）是一元二次方程； （2）是一元一次方程； （3）若该方程是一元二次方程，且是它的一个根，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 目录 【题型一 识别一元二次方程】 1 【题型二 由一元二次方程的概念求参数的值】 2 【题型三 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】 4 【题型四 一元二次方程的一般形式】 5 【题型五 由一元二次方程的解求参数的值】 6 【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 7 【题型七 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 8 【题型一 识别一元二次方程】 例题：（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，求含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程； 据此进行逐项分析即可作答 【详解】解：、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、，可化为，满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 、不是整式方程，故本选项不符合题意； 、最高次数3，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】A．，未知数的最高次数是1 ，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．化简为，不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 【题型二 由一元二次方程的概念求参数的值】 例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 【题型三 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】 例题：（21-22八年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a-1）+2x-1=0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：∵关于x的方程（a-1）+x=0是一元二次方程， ∴a-1≠0， 解得：a≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴的取值范围是， 故选：C 2．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 【题型四 一元二次方程的一般形式】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·期中）在一元二次方程中，一次项系数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式，，是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的一次项为， 一次项系数为． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，据此判定即可得解，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】A．不是一元二次方程的一般形式，故A错误，不符合题意； B．不是一元二次方程的一般形式，故B错误，不符合题意； C．是一元二次方程的一般形式，故C正确，符合题意； D．不是一元二次方程的一般形式，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一元二次方程化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故答案为：． 【题型五 由一元二次方程的解求参数的值】 例题：（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知是一元二次方程的解，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，把代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得： 故选：D 【变式训练】 1．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 2．（2024·福建厦门·三模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 【题型六 由一元二次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24八年级下·山东淄博·期中）若是方程的根，则代数式的值为(   ) A．1 B．2024 C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值．一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，再根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·江苏常州·二模）已知m为方程 的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于m的方程，然后整体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键． 【详解】∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 【题型七 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 例题：（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 【详解】解：设是方程的一个根，则，所以． 由题意，也是方程的根，所以， 把代入此式，得，整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（其中为常数）， 所以，． 因此，， 故答案为：． 2．（2024·福建三明·一模）若a是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值，合理的变形得到是解题的关键；根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴， 故答案为：2023． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的系数不为0，即， ∴， 故选：A. 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，当时，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，含有两个未知数，不是一元二次方程；； ⑥，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有2个， 故选：B． 3．（2024·山西阳泉·二模）已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被墨迹污染了．若这个方程的一个根为，则一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，， 解得，， ∴一次项系数为， 故选：C． 4．（23-24八年级下·北京·期中）将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的常数项．正确的表示一元二次方程的一般式是解题的关键．由题意知，方程的一般式为，然后作答即可． 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴二次项系数为1，则常数项为， 故选：C． 5．（2024·广东东莞·二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴a的值为0． 故答案为：0． 7．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 8．（23-24八年级下·广西崇左·期中）把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【详解】解：方程 去括号得：， 即， 移项合并同类项得：， 即可化成， 故答案为：． 9．（2024·广东清远·二模）如果是一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴ ∴ 故答案为：． 10．（2024·福建福州·模拟预测）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴即， ∴， 故答案为：2021． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入原方程，变形得，再将代数式去括号展开，将整体代入展开后的代数式，求解即可，解题关键是利用整体代入法． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ． 13．（2024八年级下·上海·专题练习）阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 14．（2021上·九年级课后作业）当m是何值时，关于x的方程分别满足： （1）是一元二次方程； （2）是一元一次方程； （3）若该方程是一元二次方程，且是它的一个根，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先把原方程合并同类项，然后根据一元二次方程的定义求解即可； （2）同（1）原理先把方程合并同类项，然后根据一元一次方程的定义求解即可； （3）把代入关于x的一元二次方程中得到关于m的方程，求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴； （2）∵， ∴即， ∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴； （3）∵是一元二次方程的一个根， ∴，且 ， ∴， 解得或（舍去）. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$