精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

塘沽一中2023-2024学年度第二学期 高二年级期中考试数学学科试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页.卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷II答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内. 第I卷（共60分） 一. 选择题：（本题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得； 【详解】解：因为，所以，，所以， 即切点为，切线的斜率为2，所以切线方程为，即． 故选：A 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间内有3个极值点 D. 的图象在点处的切线的斜率小于0 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负可得单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可知C错误；由可知D错误. 【详解】由图象可知：当和时，；当时，； 在，上单调递增；在上单调递减； 对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，由极值点定义可知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误； 对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误. 故选：B. 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关系数的意义结合散点图即可求解. 【详解】由图可知都是正线性相关关系，都是负线性相关关系，且相关性更强， 所以. 故选：A 4. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 只有第3项的二项式系数最大 D. 含项的系数为40 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D． 【详解】A：的展开式的所有二项式系数和为， 奇数项的二项式系数和为16，故A错误； B：取，可得所有项的系数和为，故B错误； C：的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，即，故C错误； D：展开式的通项为， 由，得， ∴含x项的系数为，故D正确． 故选：D 5. 已知随机变量，若，则，分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差公式及离散型随机变量的期望与方差的性质即可求解. 【详解】∵， ∴ ∵， ∴. 故选: C. 6. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求f(x)的导数，原问题等价于在上恒成立，据此即可求出a的范围. 【详解】∵，∴， ∵x∈时，， ∴若在内单调递减，则在上恒成立， 即得在恒成立，∴. 故选：B 7. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型和对立事件，结合排列数、组合数分析求解. 【详解】根据题意可知：若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法， 记“甲、乙不安排在同一个学校”为事件A， 则为“甲、乙安排在同一个学校”，则有种不同安排方法， 所以. 故选：B. 8. 下列说法正确的是（ ）. A. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0 D. 随机变量，，且，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归方程的意义即可判断A；根据独立性检验的思想即可判断B；根据相关系数的表示意义即可判断C；根据正态曲线的性质和二项分布的均值求法计算即可判断D. 【详解】A：回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故A错误； B：因为，所以有的把握判断X与Y有关联， 即推断犯错误的概率不大于0.05，故B正确； C：两个随机变量线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误； D：由于服从正态分布，且，故其均值. 而服从二项分布，故，由，得，解得，故D错误. 故选：B 9. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数的值变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】B 【解析】 【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小， 相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1， 即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强， 故A、C、D错误，B正确. 故选：B. 10. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断ACD，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 因为， 所以， 所以，故D错误． 故选：B． 11. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ） A. 57种 B. 58种 C. 59种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】根据出现5的个数分类讨论后可求符合条件的所有的总数. 【详解】至多含4个5，有以下5种情况： 不含5，有种；含1个5，有种； 含2个5，有种；含3个5，有种； 含4个5，有种； 所以，所有的可能情况共有种， 故选：A. 12. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得，由知①正确；由知②正确；利用反例可说明③错误；令，利用导数可求得，知④正确. 【详解】对于①，当时，由得：，即； ，故①正确； 对于②，由得：，即，，故②正确； 对于③，由得：； 当时，，此时， 则，即不成立，故③错误； 对于④，令，则， 令，则，在上单调递增， 又，，，使得， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，； 由得：，，， ，即，，④正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略： 形如求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第Ⅱ卷（共90分） 二. 填空题（本题共6题，每题5分，共30分） 13. 如图，直线是曲线在点（5，6）处的切线，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以 故答案为： 14. 从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式可求 【详解】表示“取到的两个数为偶数且和为偶数”，， 而，故， 故答案为：. 15. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 16. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______；第二次抽到3号球的概率为______ 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，第二次抽到3号球为事件，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为. 记第一次抽到第i号球的事件分别为， 则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为， 则，，， 记第二次抽到3号球为事件， . 所以第二次抽到3号球的概率为. 故答案：；. 17. 已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应关系表示出和值，表示出，再采用构造函数求导的方法可求得的范围 【详解】设，切点为，，所以，，所以 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减 又，所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为 18. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数得出函数的图象，讨论与的关系，结合图象得出实数的取值范围. 【详解】当时，，所以， 所以在单调递增， 由， 易得 故函数的图象如下图所示： 由得， 当时，显然不成立； 当时，解得， 要使得不等式只有唯一整数解，则，此时整数解； 当时，解得， 要使得不等式只有唯一整数解，则，此时整数解； 综上所述：实数取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够通过分类讨论得到函数的图象，进而利用数形结合思想确定整数解的取值，从而得到不等关系求得结果. 三. 解答题（本题共4题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知函数（）. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再利用斜截式得到切线方程； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． 【小问2详解】 函数，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值. 综上可得. 20. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率； （2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列. 【小问1详解】 记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． 【小问2详解】 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 21. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）写出的所有可能取值后计算相应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得期望. 【小问1详解】 前3局甲都获胜的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为. 其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则； 表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输， 则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则； 表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则； 所以的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为. 22. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）见解析 （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性即可求解最值证明， （2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解的范围，利用，消去，进而看做关于的函数，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解最值判断，结合对数与指数的单调性即可求解. 【小问1详解】 时， 则，故在单调递减， 故，故时，， 【小问2详解】 （i）， 由于有两个不同的极值点且， 故是的两个不相等的正实数根， 故，解得， 故 （ii）由于，所以，故， 由于，故， ， 令， 故， 当时，，故在单调递增， 故， 由于故， 因此， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2023-2024学年度第二学期 高二年级期中考试数学学科试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间100分钟，试卷共6页.卷I答案用2B铅笔填涂在答题卡上，卷II答案用黑色字迹的笔直接答在答题纸规定区域内. 第I卷（共60分） 一. 选择题：（本题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间内有3个极值点 D. 的图象在点处的切线的斜率小于0 3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C D. 4. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 奇数项二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 只有第3项二项式系数最大 D. 含项的系数为40 5. 已知随机变量，若，则，分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的4名城区教师前往三所乡镇学校支教.若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ）. A. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0 D. 随机变量，，且，，则 9. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数的值变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 10. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 11. 算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（ ） A. 57种 B. 58种 C. 59种 D. 60种 12. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有. 该结论可通过构造函数并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（共90分） 二. 填空题（本题共6题，每题5分，共30分） 13. 如图，直线是曲线在点（5，6）处的切线，则________ 14. 从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则______． 15. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 16. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______；第二次抽到3号球的概率为______ 17. 已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________. 18. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______. 三. 解答题（本题共4题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知函数（）. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论在区间上最小值. 20. 某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费总时间为X小时，求X的分布列． 21. 有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望. 22. 已知函数. （1）若，求证：当时， （2）若有两个不同的极值点且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $