微专题08 三角形中的范围与最值问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题08 三角形中的范围与最值问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1：与角度有关的最值问题 题型2：与边长有关的最值问题 题型3：与周长有关的最值问题 题型4：与面积有关的最值问题 题型5：与具体表达式有关的最值问题 一、求最值范围问题的预备知识： 1、正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。 2、余弦定理： 3、三角形的面积公式： （1）（为三角形的底，为对应的高） （2）， （3） （4）由正弦定理可得； （5）海伦公式：，其中 4、三角形内角和定理： （1）正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） （2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。 5、两角和与差的正、余弦公式： 6、降幂公式： 7、辅助角公式：，其中 8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值 二、三角形中的最值范围问题处理方法 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值-化角为边； 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 (2) 利用三角函数求范围或最值-化边为角； 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 三、边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 四、三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 五、解三角形中有关面积的取值范围 解题思路：（1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②，③④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （3） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 六、三角形中的有关角最值问题 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 七、三角形中的有关模型的最值问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 模型1 已知三角形的一角及其对边 如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ① ②正弦定理：（其中R为外接圆的半径）（实现了边角的相互转化） 即 ③余弦定理：，即（可看作的方程） 变形：, 以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法． 例如，在上述条件下可求： （1） ； （2） 外接圆的半径； （3） 的取值范围（拓展到求的最值）； 类似还有：（若为锐角三角形？） （4） 的取值范围（拓展到求的最值）； （5） 的取值范围 （6） 周长的最大值（即求的最大值）； （7） 面积的最大值 （8） 的取值范围 已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值 ①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤： （1） 利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2） 将所求式子化简为的形式或二次函数型 （3） 确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果是锐角三角形，则需要满足 ，， （4） 根据角的范围求最值（范围） ②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。 （口诀：余弦定理化边，不等式求最值） 核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值） 求周长的最大值 求面积的最大值 模型2 已知三角形的一角及其邻边 例：如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其邻边），若为锐角三角形，求面积的取值范围 方法一：是锐角三角形，由得到，故，解得 .由三角形的面积公式有，由正弦定理可得，， 故故即面积的取值范围是 方法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，且，即，即 解得，可得面积，． 总结：在三角形中已知一边和一角的系统求解策略是：将边的表达式转化为角的三角函数进行处理，这是通法．而已知三角形的“一角两边”“两角一边”“三边”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是确定的，也就不存在求解范围的问题了！这样一来，解三角形中已知 “一角一边”的问题就得到了系统的认识，学生在教师的带领下也就形成了解决三角形问题中已知边角问题的整体解决方案，当然也就形成了解决一类问题的系统方法. 模型3 已知两条边 例：已知锐角∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 其中a = 2, b = 1, 求∆ABC 面积的取值范围. 方法一：（正弦定理）由正弦定理得，所以.因为是锐角三角形，所以，所以即，所以，所以所以，从而. 方法二：（余弦定理）由余弦定理得，又因为为锐角三角形，所以，即，解得，即，从而. 模型4 已知一条边和另外两条边的和的关系 例：已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, a + b = 4, 求 ∆ABC 面积的最大值. （余弦定理+二次函数）由余弦定理可得，因为，所以求得又因为，所以，由三角形三边关系有，即，得，所以在对称轴处，即，面积最大值为 题型1：与角度有关的最值问题 1.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 2.已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 3.在中，内角所对的边分别为，已知，且为钝角，则 ；的取值范围是 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 5.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 6.设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为 . 7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是 . 8.在中，，，所对的边分别为，，，已知. (1)若，求的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 题型2：与边长有关的最值问题 9.锐角中，，，则的取值范围是 . 10.在中，，求的最大值． 11.已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 . 12.在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为 ． 13.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． (1)求角C； (2)若，求的取值范围． 14.在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 15.在中，角的对边分别为． (1)求角； (2)若为边上一点，，求的最大值． 题型3：与周长有关的最值问题 16.已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 . 17.设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ． 18.在中，，，则锐角周长的范围是 . 19.已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 题型4：与面积有关的最值问题 20.记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 21.已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值． 22.已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 23.已知中内角对的边分别为，，平分交于点，，则面积的最小值为 ． 24.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 25.在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 26.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 题型5：与具体表达式有关的最值问题 27.在中，角的对边分别是,若是锐角三角形且角，则的取值范围为 . 28.已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是 . 29.的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 30.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且． (1)求角A； (2)求的取值范围． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题08 三角形中的范围与最值问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1：与角度有关的最值问题 题型2：与边长有关的最值问题 题型3：与周长有关的最值问题 题型4：与面积有关的最值问题 题型5：与具体表达式有关的最值问题 一、求最值范围问题的预备知识： 1、正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。 2、余弦定理： 3、三角形的面积公式： （1）（为三角形的底，为对应的高） （2）， （3） （4）由正弦定理可得； （5）海伦公式：，其中 4、三角形内角和定理： （1）正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） （2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。 5、两角和与差的正、余弦公式： 6、降幂公式： 7、辅助角公式：，其中 8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值 二、三角形中的最值范围问题处理方法 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值-化角为边； 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 (2) 利用三角函数求范围或最值-化边为角； 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 三、边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 四、三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 五、解三角形中有关面积的取值范围 解题思路：（1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②，③④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （3） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 六、三角形中的有关角最值问题 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 七、三角形中的有关模型的最值问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 模型1 已知三角形的一角及其对边 如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ① ②正弦定理：（其中R为外接圆的半径）（实现了边角的相互转化） 即 ③余弦定理：，即（可看作的方程） 变形：, 以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法． 例如，在上述条件下可求： （1） ； （2） 外接圆的半径； （3） 的取值范围（拓展到求的最值）； 类似还有：（若为锐角三角形？） （4） 的取值范围（拓展到求的最值）； （5） 的取值范围 （6） 周长的最大值（即求的最大值）； （7） 面积的最大值 （8） 的取值范围 已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值 ①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤： （1） 利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2） 将所求式子化简为的形式或二次函数型 （3） 确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果是锐角三角形，则需要满足 ，， （4） 根据角的范围求最值（范围） ②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。 （口诀：余弦定理化边，不等式求最值） 核心示例：已知△ABC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值） 求周长的最大值 求面积的最大值 模型2 已知三角形的一角及其邻边 例：如图，已知的三个内角为A，B，C，及其对应边分别为，且（即已知三角形的一角及其邻边），若为锐角三角形，求面积的取值范围 方法一：是锐角三角形，由得到，故，解得 .由三角形的面积公式有，由正弦定理可得，， 故故即面积的取值范围是 方法二：若为锐角三角形，且，由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，且，即，即 解得，可得面积，． 总结：在三角形中已知一边和一角的系统求解策略是：将边的表达式转化为角的三角函数进行处理，这是通法．而已知三角形的“一角两边”“两角一边”“三边”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是确定的，也就不存在求解范围的问题了！这样一来，解三角形中已知 “一角一边”的问题就得到了系统的认识，学生在教师的带领下也就形成了解决三角形问题中已知边角问题的整体解决方案，当然也就形成了解决一类问题的系统方法. 模型3 已知两条边 例：已知锐角∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 其中a = 2, b = 1, 求∆ABC 面积的取值范围. 方法一：（正弦定理）由正弦定理得，所以.因为是锐角三角形，所以，所以即，所以，所以所以，从而. 方法二：（余弦定理）由余弦定理得，又因为为锐角三角形，所以，即，解得，即，从而. 模型4 已知一条边和另外两条边的和的关系 例：已知 a, b, c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且 c = 2, a + b = 4, 求 ∆ABC 面积的最大值. （余弦定理+二次函数）由余弦定理可得，因为，所以求得又因为，所以，由三角形三边关系有，即，得，所以在对称轴处，即，面积最大值为 题型1：与角度有关的最值问题 1.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，即. 因为，所以. 因为，所以. （2）由（1）知 . 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即的取值范围是. 2.已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)判断的形状并给出证明； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下： 由及正弦定理得，， 即， 即， 整理得，所以， 故或， 又、、为的内角，所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形， 且，故，且， 所以， 因为，故， 得，所以， 因此的取值范围为． 3.在中，内角所对的边分别为，已知，且为钝角，则 ；的取值范围是 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角函数的性质求解，进而利用和差角公式以及二次函数的性质求解. 【详解】在中，内角所对的边分别为，已知，且为钝角， 故，又，故， 由于在中，所以或（舍去），故； 由于，，所以， 故 ， 由于，所以， 故， 故的取值范围为. 故答案为：； 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证. （2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理得，，由余弦定理得， 所以，又，所以. 又，，所以或， 所以或， 又，所以，所以，得证. （2）由（1）知，所以， 又，所以 ， 因为，所以，所以， 因为函数在单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 5.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，由余弦定理得，所以， ， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以，，， 由，得，， ， ，所以． 故答案为：． 6.设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】∵ 由正弦定理边角互化得 ， 又∵  ， ∴  ， ∴   ∵  当或时，等式不成立， ∴  ，， ∴  ， 又∵  ， ∴  ， 当且仅当，即等号成立， ∴  . 故答案为： 7.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由得： ， 故 ， 当且仅当 时取等号， 由于 ,故 ， 则 ，则 ， 故答案为： 8.在中，，，所对的边分别为，，，已知. (1)若，求的值； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解. （2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得，再把化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围. 【详解】（1）在中，，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故，得. （2）在中，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故. 据正弦定理，可得， 所以， 即， 所以，， 因为，所以，或， 即或（舍）. 所以. 因为是锐角三角形，所以得， 所以，故， ， 所以的取值范围是. 题型2：与边长有关的最值问题 9.锐角中，，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】若a为最大边，有，则，即，所以， 若c为最大边，有，则，即，所以， 故. 10.在中，，求的最大值． 【答案】 【分析】根据正弦定理可得，进而利用三角函数的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 因此，因为，且，， 故当时，取到最大值为． 11.已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设，而， 所以或，又的三边长互不相等，即且， 由，故，仅当时等号成立，又， 所以，又，故的取值范围是. 故答案为： 12.在中，三个内角所对的边分别为， ， ，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知利用余弦定理和基本不等式，可以求出的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围． 【详解】因为，，由余弦定理得， 所以， 当且仅当时等号成立． ∴，又    ∴，又因为， 所以，即取值范围为． 故答案为： 13.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． (1)求角C； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）若选①：， 则， ∴ ∴ ∵，， ∴，∵，∴. 若选②：， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴． 若选③：， 则， 由正弦定理得， ∴∴， ∴， ∵，∴． （2）由正弦定理得， 故， 则， ， 由于，，， ∴. 14.在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此 当且仅当，即时取等号，即的最小值为. 故答案为：9 15.在中，角的对边分别为． (1)求角； (2)若为边上一点，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角余弦公式化简，再利用正弦定理，余弦定理运算求解； （2）由，可得，根据余弦定理和基本不等式可求得的范围，得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 因为，所以． （2）因为，且， 所以， 化简，得，解得， 由（1），得，即， 由，得， 解得（当且仅当时取等号）， 又，所以． 而，且是关于的增函数， 所以当时，． 题型3：与周长有关的最值问题 16.已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，再由三角形三边关系可得，可得，进一步可得周长的取值范围. 【详解】因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，此时， 由三角形三边关系可得，所以， 则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 17.设的内角所对的边分别为，，，若，且，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，由正弦定理得， 又， 所以， 由于，故， 故， 因为，所以， 由正弦定理得，； 故 ， 由于， 故， 所以， 故周长的取值范围为． 故答案为： 18.在中，，，则锐角周长的范围是 . 【答案】 【解析】依题意，由正弦定理得， 则，则 ， 由于三角形是锐角三角形，所以，即， 所以三角形的周长为 ， ，， 所以， 所以. 故答案为： 19.已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 所以，， 可得，由，可得. （2）因为，由正弦定理， 可得， 可得 ， 因为锐角三角形中，所以，解得，所以， 所以，可得. 周长的取值范围为. 题型4：与面积有关的最值问题 20.记的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解； （2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得， 又，所以， 即. 又，所以. （2）由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 21.已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据二倍角公式及两角和与差的正余弦公式进行化简即可求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）在中，由及二倍角公式， 得，即， 整理得， 因此，即，而，所以． （2）由（1）及已知，得，即有， 由余弦定理得，即， 因此，即， 于是，当且仅当时取等号， 而， 所以面积的最小值为． 22.已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.因为a2+b2+2c2＝8， 所以， 由余弦定理得， 即① 由正弦定理得， 即② 由①，②平方相加得， 所以， 即，所以， 当且仅当且即时，取等号. 故选：B 23.已知中内角对的边分别为，，平分交于点，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，故，化简得，，故，，，故三角形面积. 24.在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若的周长为6，求面积S的最大值． 【解析】（1）由余弦定理，得，即 则， 所以 又，所以． （2）由题意，， 根据余弦定理，得， 则， 所以， 当且仅当时取等号 所以面积， 故面积S的最大值为． 25.在中，角所对的边分别为，且满足. (1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长； (2)若为锐角三角形，求面积的范围. 【解析】（1）由题设，则，故， 又，则，又，则为等边三角形，故， 由，则， 所以（负值舍），故. （2）由题意，则，又，则， 所以， 由，而， 所以. 26.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，又，所以 ， 所以当即时，面积的最大值为. 故选：B 题型5：与具体表达式有关的最值问题 27.在中，角的对边分别是,若是锐角三角形且角，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由正弦定理可得，, 因为是锐角三角形， 所以 即 即 即 ， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为： 28.已知是锐角三角形，分别是的对边.若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，， ， 又是锐角三角形， ，解得， 由正弦定理得：， 由，得，即， 令 ， 令， 则在上单调递增， ，即的范围是. 故答案为：. 29.的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【解析】（1）由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 在中，， ，即. ，则，解得； （2）由（1）知， 若时，结合可得， 是锐角三角形，，不成立； 若时，结合可得. 所以，解得,则 ， . 30.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且． (1)求角A； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用三角形面积公式及余弦定理结合辅助角公式即可求解; （2）应用余弦定理及正弦定理，结合辅助角公式，二倍角公式即可求解. 【详解】（1）由三角形面积公式可得： ， 即， 则， 即， 则， 则 因为，所以. （2）， 则，由正弦定理得， ， 又，则， 所以 $$