精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2024届高三高考考前热身数学（文）试题

射洪中学高2021级高考考前热身试题 数学试题（文科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，然后求交集即可. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B. 2. 已知复数，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部. 【详解】因为， 所以复数的虚部是. 故选：B 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 4. 某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可知：平均数为，中位数为2，列式求解即可. 【详解】由题意可知：这组数据的平均数为， 除外，将数据按升序排列可得， 结合的任意性可知中位数为2，则，解得. 故选：D. 5. 已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的数量积的运算以及夹角公式，判断“，的夹角为”和“”的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由题意，为单位向量，，的夹角为， 则，则， 即充分性成立； 若，则，即， 则，而，故，即必要性成立， 故“，的夹角为”是“”的充要条件， 故选：C 6. 如图的程序框图表示求的值，则判断框内可以填的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用程序框图，一步一步计算，根据判断框成立，时，判断框不成立可得结论. 【详解】根据题意可知程序运行如下：；判断框成立， ；判断框成立， ；判断框成立， ；判断框成立， ；判断框成立， ；判断框成立， ；判断框不成立， 输出，所以选项满足题意. 故选：. 7. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理得，又 所以. 故选：C 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D. 9. 已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用函数对称轴可得，又由在上为单调函数，列不等式可得间的不等关系，进而可得的最大值. 【详解】函数一条对称轴为，， ，的对称轴可以表示为， 令，则，在上单调， 则，使得，解得，由，得， 当时，取得最大值为. 故选：C． 10. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到， 且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，. 故数列中存在最大项，且最大项为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题. 11. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解. 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 12. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题等价于在上单调递增，然后使用导数工具分类讨论的单调性即可. 【详解】原条件即为对恒成立，从而条件等价于在上单调递增. 设，则. 一方面，若在上单调递增，则对恒成立. 所以，即，得； 另一方面，若，设，则. 从而当时，当时. 故在上递减，在上递增. 所以当或时，有，即，进一步可得 . 这表明在和上递增，故在上递增. 综上，的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数分类讨论函数的单调性，属于较为常规的题目. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）． 13. 在区间内随机取一个数，则取到的数小于的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概型概率公式计算．求出取到的数小于的数所在区间的长度后可得． 【详解】区间为，取到的数小于的数所在区间为，区间长度为， 所以所求概率为． 故答案为：． 14. 点为圆上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，求出临界值，即可得解. 【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径为1， 的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率， 设过的圆的切线方程为，即． 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得． 的取值范围是． 故答案为：． 15. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题： ①如果，，，那么. ②如果，，那么. ③如果，，那么. ④如果，，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】 【详解】命题①，如果，，，可能平行或相交，故不能得出，故错误； 命题②，如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确； 命题③，如果，，那么与无公共点，则，故正确； 命题④，如果，，那么与所成的角和与所成的角均相等，故正确． 16. 已知函数，数列满足，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且，即， 可知为定义在上的奇函数； 且， 因为在上单调递增，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增，且为奇函数. 因为，则， 可得，即， 由可知：3为数列的周期，则， 且，所以. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角； （2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； 【小问2详解】 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 18. 众所周知，阅读能力在各个领域的作用都较为突出，开展阅读能力的培养与训练，对个人综合能力的提升有很大帮助. （1）某研究机构想知道阅读训练对阅读能力的提升有多大的帮助，随机抽查了100名坚持进行阅读训练的同学和100名没有坚持进行阅读训练的同学，对他们进行阅读理解能力测试（满分100分，规定不低于80分为优秀），得到如下列联表： 不优秀 优秀 坚持进行阅读训练 30 70 没有坚持进行阅读训练 60 40 问：能否有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关？ （2）数学学科具有较强的逻辑性和抽象性，为了做进一步研究，该机构又从阅读理解成绩优秀的同学中随机选取了10名同学，对这10名同学进行了数学测试（满分150分），这10名同学的两次测试成绩如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 阅读理解成绩（分） 88 92 88 96 96 90 90 94 94 92 数学成绩（分） 80 110 74 138 132 98 102 122 114 110 为判断数学成绩与阅读理解成绩的线性相关性，请利用这10名同学的成绩，求相关系数（精确到0.01）. 附：①，其中. ②独立性检验临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ③ ④ 【答案】（1）有 （2）0.97 【解析】 【分析】（1）计算的值，再结合临界值表分析可得答案； （2）利用相关系数的公式求解即可得. 【小问1详解】 根据列联表中的数据，得 因为， 所以有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关. 【小问2详解】 由表中数据，得，， 所以， 所以相关系数的值约为0.97. 19. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，为的中点 【解析】 【分析】（1）根据计算可得； （2）当为的中点时满足平面平面，设，连接，即可证明、，从而得到平面，平面，即可得证. 【小问1详解】 在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. 【小问2详解】 当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 20. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6. （1）求抛物线的方程. （2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可； （2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果. 【小问1详解】 点到圆上点的最大距离为，即，得, 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，则方程为，方程为, 联立与抛物线的方程可得，即, 因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为， 则点坐标为,同理可得点坐标为, 因此直线的斜率为, 代入点坐标可以得到方程为, 整理可以得到,因此经过定点. 21. 已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值； （2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 .解：因为的定义域为，可得. 当时，令，可得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值. 【小问2详解】 解：当时，由，可得， 整理得，即， 令， 则， 由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）写出C的直角坐标方程； （2）在极坐标系中，若直线过点，且与C仅有一个公共点，求的极坐标方程. 【答案】（1） （2） 或或或. 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转换公式求解即可； （2）依题意，点在直角坐标系中的坐标为，分斜率存在与不存在研究直线与C仅有一个公共点，得到直线方程，再转换为极坐标方程. 【小问1详解】 利用极坐标与直角坐标转换公式， 因为，即， 所以， 即，即， 整理可得C的直角坐标方程为. 【小问2详解】 点在直角坐标系中的坐标为. 当的斜率不存在时，显然与C没有公共点，不合题意； 当的斜率存在时，设的方程为，与C联立有. 当即时，与C的渐近线平行，与C仅有一个公共点， 此时的方程为或. 当时，若线与C仅有一个公共点，则， 解得，故的方程为或. 将代入的方程得到极坐标方程为： 或或或. 【选修4-5：不等式选讲】 23. 已知函数. （1）解不等式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，得出等价不等式组，即可求解； （2）根据题意，求得，转化为，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 则不等式等价于， 则或，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 因为，所以，即，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2021级高考考前热身试题 数学试题（文科） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 5. 已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图的程序框图表示求的值，则判断框内可以填的条件为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. B. C. D. 9. 已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 11. 已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）． 13. 在区间内随机取一个数，则取到的数小于的概率为__________. 14. 点为圆上的动点，则的取值范围为______. 15. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题： ①如果，，，那么. ②如果，，那么. ③如果，，那么. ④如果，，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号） 16. 已知函数，数列满足，，，则__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 18. 众所周知，阅读能力在各个领域的作用都较为突出，开展阅读能力的培养与训练，对个人综合能力的提升有很大帮助. （1）某研究机构想知道阅读训练对阅读能力的提升有多大的帮助，随机抽查了100名坚持进行阅读训练的同学和100名没有坚持进行阅读训练的同学，对他们进行阅读理解能力测试（满分100分，规定不低于80分为优秀），得到如下列联表： 不优秀 优秀 坚持进行阅读训练 30 70 没有坚持进行阅读训练 60 40 问：能否有的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关？ （2）数学学科具有较强的逻辑性和抽象性，为了做进一步研究，该机构又从阅读理解成绩优秀的同学中随机选取了10名同学，对这10名同学进行了数学测试（满分150分），这10名同学的两次测试成绩如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 阅读理解成绩（分） 88 92 88 96 96 90 90 94 94 92 数学成绩（分） 80 110 74 138 132 98 102 122 114 110 为判断数学成绩与阅读理解成绩的线性相关性，请利用这10名同学的成绩，求相关系数（精确到0.01）. 附：①，其中. ②独立性检验临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ③ ④ 19. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 20. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6. （1）求抛物线的方程. （2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 21. 已知函数. （1）讨论的最值； （2）若，且，求的取值范围. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）写出C的直角坐标方程； （2）在极坐标系中，若直线过点，且与C仅有一个公共点，求的极坐标方程. 【选修4-5：不等式选讲】 23. 已知函数. （1）解不等式； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $