精品解析：福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作 2023-2024学年第二学期联考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 3. 某学校一同学研究温差（单位：℃）与本校当天新增感冒人数（单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 16 20 25 28 36 由上表中数据求得温差与新增感冒人数满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） A. 与有正相关关系 B. 经验回归直线经过点 C. D. 时，残差为0.2 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ） 附：． 临界值表： 0.050 0.010 3.841 6.635 A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 7. 已知，，（e为自然对数的底数），则实数的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植的概率均分别为，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值，且至少有1人愿意种植时概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. ，当不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C. 若点，，，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D. 若事件满足，，，则有 10. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是 A. B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，函数取得极小值 D. 方程与均有三个实数根 11. 围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 存在，对任意的，都有 第Ⅱ卷 (非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则________． 13. 已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为______. 14. 骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为______；若甲直接挑战第3关时，记事件“三次点数之和等于15”，“至少出现一次5点”，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分（13＋15＋15＋17＋17）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1-10分别对应年份2013-2022． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由； （2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 16. 已知函数. （1）若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间与极值； （2）若函数在上仅有2个零点，求的取值范围. 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 18. 如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下. 2 2.5 0.4 0.6 1.5 2.5 0.5 0.5 2 3 m 2 3 0.5 0.5 （1）若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列； （2）小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值； （3）以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围. 19. 定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间． （1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数） （ⅰ）当时，求的弹性区间D； （ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 “德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作 2023-2024学年第二学期联考 高二数学试卷 (考试时间：120分钟 总分：150分) 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.知胸。函数’=/的图象在点P处的切线方程是”=-+8，则f)+f⑤（) y=-x+8 0 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得 f(5)=-5+8=3f'(5)=-1 【详解】由题意可得 故f5)+f)=3-1=2 故选：B 第1页/共25页 6学科网命组卷网 2已知随机变量X~N2,c),且P2≤X≤3)=04，则PX<)=() A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，列式计算即得 【详解】由 X~N2,o).得PX<=PX>3)=0.5-P2≤X≤3)=0.5-04=0.1 故选：D 3.某学校一同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数少（单位：人）的关系，该同学记录了 5天的数据： 6 P 9 12 16 20 25 28 36 由上表中数据求得温差x与新增感冒人数'满足经验回归方程y=bx+2.6, 则下列结论不正确的是( ) A.x与V有正相关关系 B.经验回归直线经过点 8,25) c方=2.4 D.x=9 时，残差为0.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据x和'的变化规律，即可判断A,计算（怎，），即可判断B:将样本点中心代入回归直线方 程，副可求5，即可判断C:银都国归直线方程计算=9时的，计'-)，则可判断D 【详解】由表格可知，x越大，'越大，所以x与y有正相关关系，故A正确： x=5+6+8+9+12=8万=16+20+25+28+36=25 5 5 样本点中心为（⑧25） 经验回归直线经过点（⑧，25），救B正确。 第2页/共25页 学科网命组卷网 将样本点中心代入直线方程，得25=86+2.6，所以6=2.8 故C错误： =28x+26.当x=9时，=27.8y-=28-278=02 故D正确 故选：C 4.已知函数f(:)=血x-“在区间L,3)上单调递减，则实数a的取值范围为() A.a≥1 B.a>1 ca≥3 D> 3 【答案】A 【解析】 9尖1 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为x恒成立问题，从而得解。 【详解】因为f(x)=nc-,所以f'()=是-a, 因为（女在区间L,3刊上单调递减。 所r闪s0,即as0.2≥女在上板政立. 因为y=在[，3]上单调递减，所以yx=1,故a≥1 故选：A 3 5.某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为4；若他第1球投不进，则第2球投进 2 的概率为4.若他第1球投进的概率为3，则他第2球投进的概率为() 5 2 A.12 B.2 C.12 D.3 【答案】A 第3页/共25页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果， 【详解】设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件 P8A-, Pa团-.-.这利P可=1-P0-1号 P倒-a小P小+a列P(国-号+号名 故选：A 6.某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为 6m(meN）, 男生中喜欢短视频的人数占男生人数的2，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的3，若 有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为() 附：= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 临界值表： d0.050 0.010 分 3.841 6.635 A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】 【分折】根据腿意先列出列联表计算（值，再根据父≥6.63 计算出m的最小值： 【详解】根据题意，列联表如下： 第4页/共25页 6学科网6组卷网 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m ..2 12m(3m-2m-3m.4m2 12m 6m.6m.7m.5m 35： :有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即X≥6.635 .12m26.635 35 .m≥19.352，又m∈N, 则m的最小值为20 故选：B, 7,已知a=lnV5,b=e,c=h5(e为自然对数的底数)，则实数a,hC的大小关系为() a<c<b b<a<c c<a<b B. C. D.c<b<a 【答案】A 【解析】 【分折】根据4Mc式子特点，构定西数f()- x，利用导数判断函数(x)的单调性，利用函数单调 性比较 C大小，再由)=血的单调性比较a,C大小，则可得结果 1s-,- 故当x∈(0，e)时，f>0,f(单调递增， 当x∈(e,+o)时，f"(<0,f(单调递减。 第5页/共25页 命学科网命组卷网 =e-e=0.c=h5-g0 而 e 因为<3.f@>f),放<b 因为函数y=hx在(0，+切)上为增函数， 2=[=&°-[3门=9，且8<9. 所以V2< ,所以a<c, 所以a<c<b. 故选：A 8.2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A,B,C三 111 种经济作物中选取两种进行种植推广通过调研得到当地村民愿意种植A,B,C的概率均分别为3’2’3，若 从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值A,且至少有1人愿意种植B时概率为 () 8 13 23 25 A.27 B.27 C.54 D.54 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案， 【详解】4人中，至少有2人愿意种植A,且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种： ①有2人愿意种植A,愿意种植B,C的各有1人， ②有2人愿意种植A,有2人愿意种植B, ③有3人愿意种植A,有1人愿意种植B, 第6页/共25页 6学科网命组卷网 故所求概率P 23 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.若随机变 5刀满足7=25+1，则D0)=2D5)+1 B.X~N(4,o）,当“不变时，o越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 C.若点(，乃)，(，），，(.）都落在直线x+y+2=0上，则变量，y的样本相关系数 r=-1 D.若事件AB满足P(4)>0,P(B)>0,P(BA)=P(B),则有P(AB)=P(A) 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的性质可判断A；根据正态分布的性质可判断B,根据相关系数定义可判断C；根据相 互独立事件和条件概率的概率计算公式可判定D】 【详解】由方差的性质可知，若随机变量5，刀满 ”满足7=25+1.则D()=4D5 ,则 ,故A错误； 若随机变量XN(4o）,当“不变时，口越大，则数据越分散，即该正态分布对应的正态密度曲线越透 胖，故B正确： 若点(：，），(：），，（化）都落在一条斜率为非零的直线+y+2=0上，则变量x,y呈负 相关，且变量x,y的样本相关系数r=1,故C正确； R先PBA)=4B=P4PO ΓP(A) 第7页/共25页 6学科网 命组卷网 A,B 所以事件 为相互独立事件， 所以P(AB)= P(AB)_P()P(B)-P(4). P(B)P(B) D正确， 故选：BCD 10.己知定义域为R的函数fx),且函数少=化 x的图象如图，则下列结论中正确的是 A.f'(I)=f'(-1)=0 B函数四在区间（0，-)上单调递增 C当=l时，函数 田取得极小值 D方程（四=0与f)=0 有三个实数根 【答案】ABC 【解析】 【分折】由己知函数的图象，根据原函数的单调性与导西数的正负性之间的关系，列表写出》，了W)和！ f(x 随的变化情况，即可逐一对选项进行判断. 【详解】解：对于A,当X=l时，)=∫ 0:当=-时，y=-f-0=0r 1)=0 时， ,即(1) =f'(-)=0 ,故A正确； 由函数图象可知， y,f(田和)随”的变化情况如下表： (-1,0) (0,1) (-00,-1) (1,+∞) 第8页/共25页 6学科网命组卷网 f'(x) f(x) 个 个 对于B,函数刊在0-上单调递格，即B正稀： 在 f(x)(0,1) (1,+0 对于C,函数 在 上单调递减，在 上单调递增，六在七=1 处取得极小值，即C正确： 对于D,f()= 仅有两个实数根，无法判断()=0 的根的情况，即D错误。 故选：ABC 【点睛】本题考查原函数与导函数的图象关系，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的关系是解题 的关键，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题， 11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一东汉的许慎在《说文解字)中说：“弈，围棋也”， 因此，“对弈"”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是P,其中甲只赢一盘的概率低 于甲只赢两盘的概率甲也与丙对奔三盘，每盘甲赢棋的概率是P,而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘 P(A)P(B) 的概率·若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是 和 ,则以 下结论正确的是() A.0<p<7p<I B.当A+P=l时，P(A)>P(B) C当P(A)=P(B)时，W+A+房>4 D.存在P,对任意的P2,都有P(A)>P(B) 第9页/共25页 6学科网列组卷网 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率得Cn-A<Cr1-P),得到 A<1,同到 1 <B<2,得到A选项：将=1-P凸带入P(4)中，得到 根据0<乃<2得到B选项P(4)=P(B)时，n-p=R-p,化简得 到C选项对于D,把它看成关于P的二次函数即可得到答案 【详解】对于A,根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为C卫，(-广，只赢两盘的概率为 c3p(1-p) 11 则CA0-a<CR-n.解得A>2,放2A<1 甲与丙对弈只赢一批的概率为C卫，(1-P2》,只赢两盘的概率为Cp(1-P), Cn-A了CE0-A小.g期号.0ns行.我0a兮A1,则AT 对于B,由A+P=1得A=1-n,则P(4=C(0-P广n,=C1-B)I- P, n-@小x0<A分bL限>创酸Bm 对于C,令P(4=P(B).则CSr(1-p)=CI-p),化简为P-店=-店， 故(D+p)(D-P)=(D-P)p+pP+p),即A+乃=p+p+p2, 第10页/供25页 6学科网命组卷网 又因为 <A兮A1.时n+.店+A+店号. 对于D.结合选项C,可得P(4)-P(B)p-P)[(,+p,)-(n2+pP,+p,'〗 由A选项知B>PB-P2>0 另一方面A+P,)(D+n+n)=-D,'+M-Dn+n-A1l可将其香作有关P的二次西 数MD,)=-n+n-n,+pn-AhA∈(O,若P(A)-P(B)>0对在意的B,∈(0，宁恒成立， 只p,)=-n,2+(n-p,+2-AI>0对任意的及e0宁恒成立 可知0=n-Al-Aa->0,的=公A子，二次西数别套本1肉下.写 4，可使对p∈(0， 2恒成立，故D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 直接翻译题意得到概率的大小关系， 二元换一元比较概率的大小关系 有双元时，看成一个变量的二次函数，另一个当常数，按二次函数性质做题 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X的分布列如下： 2 第11页/共25页 可学科网命组卷网 若E(X)=12 则D(X)= 9 【答案】0.36拼25 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望方差计算公式可求解 【详解】由 (x)=1.20×p+1×0.6+2×1-0.6-p)=1.2 ,得 解得P=01 依题意D()=0.1×(0-12}2+0.6x0-1.2}2+0.3×(2-1.2y2=0.36 故答案为：0.36 13.已知f(x)是定义在R上的可导函数，满足(0)=0，且对任意的x∈R,都有f'()>e,则不等 式f(血<x-e 解集为 【答案】 (0,e) 【解析】 【分折】条件'()>c可化为f()e>0,考虑构造函数F(四-f()-©，结合条件判断其单调 性，不等式血)Kx-e,可化为F(血)<F(0,利用单调性化简不等式求其解 【详解]因为()>c,所以f()-e>0, 考虑构造函数F()=()-e,则F(x)=∫'()-e>0 所以函数F(冈=f()C在R上单调递增。 不等式f(血)Kx-e,可化为f(血)-x<f()-e 第12页/供25页 命学科网命组卷网 所以F(血)水F() 所以nx<l, 所以0<x<e, 所以不等式f(血)<-e的解集为(0，c), 故答案为： (0,e) 14.骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字 n(n=1,2,3,4) 1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第 关要抛掷骰子n次， 每次观察向上面的点数并做记录，如果这m次抛掷所出现的点数之和大于2”+”， ,则算闯过第n关.假定 每次闯关互不影响.甲连续挑战前两关并过关的概率为一；若甲直接挑战第3关时，记事件A=“三次 点数之和等于15，B=“至少出现一次5点”，则P(B4) 7 【答案】 ①.24 ②.10o.7 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式结合条件概率公式求解即可 31 【详解】闯第1关时，2”+n=2+1=3,且基本事件为6，故概率为62， 1+2+3+4+5+67 闯第2关时，2”+n=22+2=6,且基本事件为62=36，故通过概率为 36 12, 7.17 因每次闯关互不影响，则两个事件相互独立，故由独立事件乘法公式得概率为12224： 第13页/共25页 6学科网 命组卷网 6=216,事件MB包 456,465,645,654,546,564,555, 而抛次的基本事件 ”包含 共7个基本事件，故 P(AB)= 7 216, 而满足A的有456,663,636,366,465,645,654,546,564,555，共10个基本事件，故 4-86. P(AB)7 由条件概率公式得 P(B)=(4)10 77 故答案为：24；10 四、解答题：本题共5小题，共77分(13+15+15+17+17).解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013 年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码110分别对应年份 2013-2022 个年研发投入y(亿元) 残差 2 85 80 75 70 方8910 年份代码x 12345678910年份代码x-2 ·一模型① ◆模型② 图1 图2 根据散点图，分别用模型①y=br+口，②y=C+Wx作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方 程模型，并进行残差分析， 得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 10 10 10 i=l =1 =1 i=1 第14页/共25页 命学科网组卷网 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 10 表中Vx,1 (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模 型？并说明理由： (2)根据(1)中所选模型，求出'关于x的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入. 附：对于一组数据，)，(：，乃)，，(），其经验回归直线少=a+c的斜率和截距的最小二乘估 2(x-y-列 6- 计分别 à=-bx 2-可 【答案】(1)选择模型②，理由为： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0 的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜 2)y=60.825+6,3、,预测该公司2028年的高利技所发投入86.025亿元 【解析】 【分析】(1)根据残差图判断： (2)利用最小二乘法求非线性回归方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设=Vx,所以y=c+d 2以-6- 所yd 2835=6.3 34-7y 4.5 c=y-dt=60.825 第15页/共25页 6学科网命组卷网 所以'关于x的经验回归方程为y=60.825+6.3√E】 令x=16, y=60.825+6.3×4=86.025 则 即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元 16已知函数f()=x2-3c+2,keR (1)若x=-2是函数f)的极值点，求k的值，并求其单调区间与极值； (2)若函数()在[0,2]上仅有2个零点，求k的取值范围 【答案】(1) f(女)的单调增区间为：（0，-2)，(2，+o）,单调减区间为：（-2,2)： 极大值为(-2)=18极小值为(2)=-14 【解析】 【分折1(1)由题查可得(-2)=0，解方程求出长=4，再代入（冈，对四求导，即可得出答案 2 2+2=3k (2)分离参数可得 此愿可转化为函数少=3跳的图象与西数()=产+ 的图象有2个不 同的交点，对8（女求导，求出8(）的单调性和最值，即可得出答案 【小问1详解】 f(x)=3x-3k,:x=-2是函数f()的极值点， f'(-2)=12-3k=0解得k=4, ·f'(x)=3(x+2)(x-2) 第16页/共25页 6学科网命组卷网 可知：x=2是函数()的极大值点，满足题意∴k=4 令()>0可得x>2或x<2,令f(四)K0可得2<x<2, 所以()的单调增区间为：（0，-2列，(2，+切），单调减区间为：（-2,2)， 极大值为(-2)=18，极小值为(2)=-14， 【小问2详解】 函数f(x)在[0,2]上仅有2个零点(0不是函数f(~)的零点) x2+2=3 则令f(x)=x-3x+2=0,所以x+x 可转化为函数)=站的图象与函影8()= x的图象有2个不同的交点， g问=2x2-2-lM++刊，xen2 21 +1-e+子aeaa.因0.匠交e毫装 x(,2时，8()>0，函数3()单调递增 x=1时，函数8（四）取得极小值即最小值，80)=3 当x趋近于0时，8()趋近正无穷，因为3(2)=5， 所以3<3k≤5，解得： 1<ks5 :k的取值范围是 第17页/供25页 6学科网列组卷网 17.某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设 计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个 2 题目的概率均为3，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试 题中分别随机抽取3题进行解答 (1)设甲答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差： (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】(1)分布列： P 5 5 E(X)=2.1 到-号 (2)应选拔甲学生代表学校参加竞赛. 【解析】 【分析】(1)得出X的所有可能取值并求出其对应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得期望与方 差 Y~B3, (2)设学生乙答对的题数为y,则 3 结合二项分布的期望公式与方差公式计算可得学生乙 答对的题数的期望与方差，与X的期望与方差比较即可得 【小问1详解】 X的所有可能取值为1,2,3， X的分布列为： X 2 3 第18页/共25页 6学科网6组卷网 所以E(x)=1x+2x3+3 =2 5 5 px)-g-2+2-2+6-2-号 【小问2详解】 设学生乙答对的题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3， 则a引 所uE)=3x号-2.D四)=3×号-)号 因为E(X)=E(Y).D(X)<D(Y) 即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛. 18如图，开车从A站到E站有3条路线甲、乙、丙路线分别为1→B→C→D→E,A→B→C →G→E,A→B→F→G→E开车从A站到B站需要3分钟，从C站到D站需要2分钟，从F站 到G站需要2分钟，从C站到G站需要，2.5分钟，从B站到C站需要1分钟，从B站到F站需要分钟， 从G站到E站需要分钟，从D站到E站需要4分钟，受路上的红绿灯影响，，凸，马，4都是随机变量， (0<m<1) 且分布列如下 第19页供25页 6学科网 命组卷网 ④ 2 2.5 P 0.4 0.6 1.5 2.5 P 0.5 0.5 2 3 P 1-m 2 ò 0.5 0.5 (1)若选择甲路线，开车从A站到E站的总时间为X分钟，求X的分布列： (2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他 开车经过C站的前提下，若他开车从C站到E站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求m的值： (3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求m的取值范围， 【答案】(1)X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 P 0.2 0.3 0.2 0.3 (2) m=0.3 (0.2,1) (3) 【解析】 第20页/供25页 6学科网命组卷网 【分析】(1)由题意X的可能取值为9,9.5,10,10.5，由独立乘法公式算出对应的概率即可得解： (2)由全概率公式即可列方程求解： (3)设选择乙路线开车从A站到E站的总时间为Y分钟，选择丙路线开车从A站到E站的总时间为Z分 钟，分别算出 E(X),E(Y),E(Z) 的表达式，即可列不等式组求解m的范围 【小问1详解】 X的可能取值为9,9.5,10,10.5， P(X=9)=0.4×0.5=0.2,PX=9.5)=0.6×0.5=0.3 P(X=10)=0.4×0.5=0.2,P(X=10.5)=0.6×0.5=0.3, 则X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 P 0.2 0.3 0.2 0.3 【小问2详解】若他开车经过C站，则他选择的路线是甲路线或乙路线， 记选择甲路线为事件M,选择乙路线为事件N,则PM)=PW)=0.5 若他开车从C站到B站的总时间少于5分钟，则5=2或4=2 所以由全概率公式得mP(M)+0.5P()=0.5m+0.25=0.4 解得m=0.3 【小问3详解】 设选择乙路线开车从A站到E站的总时间为Y分钟， PY=3+2+2.5+2)=P(Y=9.5)=0.4m, P(Y=3+2+2.5+3)=PY=10.5)=0.41-m), P(Y=3+2.5+2.5+2)=P(Y=10)=0.6m, P(Y=3+2.5+2.5+3)=P(Y=11)=0.61-m), 第21页/共25页 命学科网命组卷网 则 E(Y=9.5×0.4m+10.5×0.41-m+10×0.6m+11×0.61-m=10.8-m. 设选择丙路线开车从A站到E站的总时间为Z分钟， P(Z=3+1.5+2+2)=P(Z=8.5)=0.5m, 3+1.5+2+3=3+2.5+2+2=9.5,P(Z=9.5)=0.51-m)+0.5m=0.5, P(Z=3+2.5+2+3)=P(Z=10.5)=0.51-m) 则E(☑）=8.5×0.5m+9.5x0.5+10.5x0.50-m=10-m E(Z)<E(X), 若三条路线中只有丙路线最快捷，则E(Z)<E(Y), 10-m<0.2×(9+10)+0.3×(9.5+10.5) 即10-m<10.8-m 又0<m<1,所02<m<1,即m的取值范围 (0.2,1) 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是准确表示出E(X),E(Y),E(Z),列出不等式组即可顺利得解 g定义可导函数y=在x处的弹性函数为/). f(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.在区间D上， 若函数f 的米件的数位大于1，则意儿因在区间0上只有茶特，和应的区同D也药件四】。 的弹性区 间. （)若()=C-x+l,求”)的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数f()=(x-e+血x-(其中e为自然对数的底数) (1)当=0时，求f 的弹性区间D: ()若)>1 在()中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围. 第22页/供25页 6学科网命组卷网 @-(c-D. 【答案】（) e-x+1,x=0;(2)(i)(1,+∞)，(ii)(-o,-l]: 【解析】 【分析】)由()=￠-x+1,可得()=心-1，根据愚设条件，即可求得四的弹性函数及弹 性零点： （②（1)西数f=(K-1)e+l血r,可得函数的定义域为0，+o）,函数f(田是弹性图数 ->1 fx-)e+nx,得出不等式组，进而求得函数的弹性区间， (i)由f(x)>1在(1，+o)上恒成立，可得 /<(1-)e'+Ix-1 x在x>1上恒成立，设 hGx)=(1-)e'+Inx-1 x，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【详解】()由)=-x+1,可得r=e-1, 则r=e-x r(x) e'-x+1, 令=e-》 ，=0 r(x) e-x+1,解得x=0, 所以 弹性函数的零点为术=0 (2)（i)当1=0时，函数f=(x-)e+血x,可得函数fW的定义减为0，+o), 因为f'(=(x-le+lnx=e+c-0e+L=xc+l 第23页/供25页 6学科网命组卷网 函数f)是弹性函数f()· -x2e+1 一>1 f(x)(x-1)e*+Inx 此不等式等价于下面两个不等式组： (x-l)e+lnx>0① (x-l)e+lnx<0.③ (I) xe+1>(x-e+lnx.②或(I） x2e+1<(x-10e+lnx④ f(x) 因为①对应的函数就是 由∫'()>0，所以f)在定义域上单调递增， 又由f0=0 所以①的解为x>1, 由可得8()=rc+1-[c-l0e+lh=(x2-x+1)e+1-lnx>0 且8'()=(2x-10e+(x2-x+10e-1_x+r)e-」 在x>1上恒为正， 则8()在x>1上单调递增，所以8()>8()>0，故②在x>1上恒成立， 于是不等式组(I)的解为x>1, 同①的解法，求得③的解为0<x<1: 因为0<r<l时，④rc+l>0,(x-0e+hx<0 所以不成立， 所以不等式（Ⅱ）无实数解， 综上，函数 D=(1,+o) 的弹性区间 (）白闭>1在L+四)上间成立，可狗<0-女+h x在x>1上恒成立， +b,则4国=心-r+e+2-bs 设hw=0-e+血x-1 x2 第24页/供25页 命学科网命组卷网 而-x+1e+2-hx=g()+1 由(i)可知，在x>1上恒为正， 所以h(:>0,函数h()在，+o)上单调递增，所以h()>h(0=-」， 所以≤-1，即实数'的取值范围是 -0∞，-l1] 【点睛】本题主要考查了函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，利用导数研究不等式恒成立或解不等 式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从 而求出参数的取值范围：也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，试题综合性强， 属于难题 第25页/共25页