精品解析：吉林市第一中学2024届高三高考适应性训练（二）数学试题

2024届吉林市第一中学高考适应性训练（二） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解二次不等式，对数不等式化简集合A，B，后由补集，交集定义可得答案. 【详解】由，得，所以； 由，得，解得，所以. 所以或，所以. 故选：D． 2. 佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为8，高为30，则该建筑的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出侧面积. 【详解】由题知该建筑的底面直径为8， 所以底面半径为4， 所以母线长， 则其侧面积. 故选：C. 3. 已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意求得，然后结合二项式定理即可求解. 【详解】已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能， 从而的展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：A. 4. 在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合的取值范围可得出，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为、，则，故，则，故. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出． 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：． 故选：B． 6. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【详解】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 7. 已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换整理得，结合最值可得，解得，，代入即可得结果. 【详解】由题意可得： ， 则，解得， 且为第一象限角，则， 故. 故选：D. 8. 在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点，则点即为三棱锥外接球的球心，求出三棱锥外接球的半径，假设球心到平面的距离得答案． 【详解】解：设中点为，的外心为，的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两条垂线的交点， 则点即为三棱锥外接球的球心， 因为和都是边长为的正三角形，可得， 因为平面平面，，平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，所以四边形是边长为1的正方形， 所以外接球半径， 所以到平面的距离， 即点到平面距离的最大值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D. 【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确； 对B：设，， 则，即， 则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， ，选项B正确； 对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点）， 所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 的取值范围为，无最小值，选项C错误； 对D： ， 表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离， 为纯虚数或0，在轴上（除去点）， 当时取得最小值3，∴选项D正确. 故选：ABD． 10. 已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项. 【详解】是方程的两根，又， 解得， ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，，则，有， ， ，D选项正确. 故选：AD. 11. 设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的重心坐标为 C. 若，则 D. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据新定义判断A，由新定义得出三点坐标，再由重心坐标公式判断B，根据向量的数量积是否等于0判断C，由向量的夹角公式判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，，所以, 所以，即，故B正确； 因为，，所以， 所以错误，故C错误； 因为，，所以， 故面直线AP与BC所成角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，则，利用复合函数的单调性，可得在上为减函数，且恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设，则，若函数在上单调递减， 利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立， 即，解得，即a的取值范围为． 故答案为：． 13. 已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据题意，分析圆的圆心坐标以及半径，设中点为，由的坐标分析的坐标以及的值，可得以为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆与圆相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题知，圆， 即，圆心为，半径， 设中点为，因，， 则，， 以为直径的圆为， 因为圆上有且只有一点，使得， 则圆与圆相切， 又， 即有或， 解得或. 故答案为： 14. 在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题干条件得到点为的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案. 【详解】，变形为， 即， 其中表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 故在的平分线上， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 故， 因为，所以，故， 故平分， 故点为的内心， 过点作⊥于点，作⊥于点，作⊥于点， 则， 因为，所以， 又，所以， 由向量数量积得， 故. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论方程的根的个数. 【答案】（1）减区间为：，；增区间为：. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间. （2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数. 【小问1详解】 因为（）. 所以：. 由，又函数定义域为， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为，所以：当时，，方程无解； 当，函数在上递减，在递增， 所以，所以方程无解. 综上可知：方程的根的个数为. 16. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2. （1）求证：BD⊥PA； （2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取AD的中点E，连接PE， CDAB，， ， ， ， ∴∠DBA=45°， ， ∴AD2+BD2=AB2， ∴AD⊥BD， ∴PA=PD，E是AD的中点， ∴PE⊥AD ∵平面PAD⊥半面ABCD，平面平面ABCD=AD，半面PAD，PE⊥AD， ∴PE⊥平面ABCD， 平面ABCD， ∴PE⊥BD 又平面PAD，平面PAD， ∴BD⊥平面PAD，又平面PAD ∴BD⊥PA. （2）存在，N为PM的中点 【解析】 【分析】（1）先证明AD⊥BD，PE⊥BD，即可证明BD⊥平面PAD，从而BD⊥PA； （2）建立坐标系，用向量法求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM， 则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM， 以B为原点，以BM､BA､平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz， 则， ， 设， 则， 设平面PCD的法向量为，则，， 即 令可得， 设平面CDN的法向量为，则，， 即， 令可得， ， 若二面角P-DC-N的余弦值， 则 解得：或， 令可得，解得， 故当时，二面角P-DC-N为锐二面角， 当时，二面角P-DC-N为钝二面角， ，即在直线l上存在点N，当N为PM的中点时，二面角P-DC-N的余弦值为. 17. 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. （1）当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； （2）我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【小问1详解】 当时，男性员工有8人，女性员工有12人. 服从超几何分布，， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 【小问2详解】 ， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在处有极小值， 从而当时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是. 即N至少为145， 我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 另：或 又，故，下同法一 18. 如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． （1）求C的方程； （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 直线PQ过定点，理由如下： 设， 直线PQ的方程为， 联立， 整理得， 则， 所以， 所以，所以， 直线，所以， 又N，B，Q三点共线， 所以，即，即， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 整理可得， 所以，所以PQ过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又，解得a，b，即可得出答案； （2）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可得出答案； （3）设和的外接圆半径分别为，由正弦定理可得，又，可得，设直线PQ的方程为，与双曲线C的方程联立，可得，，由韦达定理得m的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案. 【小问1详解】 因为离心率，所以，双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设和的外接圆半径分别为 由正弦定理可得， 又， 所以，即， 设直线PQ的方程为x＝my+4， 与C的方程联立， 整理得， 则， 又，即， 所以，所以， 所以，即， 解得， 又因为， ， 所以， 因为，所以， 即. 19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． （1）已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析 （2）当时，为整数. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【小问1详解】 （ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. 【小问2详解】 由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届吉林市第一中学高考适应性训练（二） 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为8，高为30，则该建筑的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 4. 在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. 0.96 B. 0.94 C. 0.79 D. 0.75 6. 已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的等边三角形，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为3 10. 已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的重心坐标为 C. 若，则 D. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____________． 13. 已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可） 14. 在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）求的单调区间. （2）讨论方程的根的个数. 16. 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2. （1）求证：BD⊥PA； （2）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由. 17. 为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. （1）当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； （2）我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：，） 18. 如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． （1）求C的方程； （2）探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； （3）设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 19. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． （1）已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $