精品解析：陕西省礼泉县2023-2024学年第二学期期中质量调研高二数学

礼泉县2023~2024学年度第二学期期中质量调研 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 180 B. 60 C. 25 D. 15 2. 下列问题不属于排列问题的是（ ） A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地 B. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C. 从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D. 从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 3. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．则四名同学的报名情况共有（ ） A 81种 B. 64种 C. 24种 D. 12种 4. 下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（ ） A ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 5. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 6. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 7. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ） 1 3 A. B. C. D. 11 平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ） A. 这两组平行线有70个交点 B. 这两组平行线有140个交点 C. 这两组平行线可以构成280条射线 D. 这两组平行线可以构成945个平行四边形 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______． 13. 西安地铁2号线是贯穿市区南北中轴线的核心线路，共有草滩北站、红会医院北区站、西安北站等25个站点，则应为这25个站间准备不同的地铁票种数为_______． 14. 第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有_______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人． （1）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 16. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求的值． 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）． 18. 小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照． （1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？ （2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 19. 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1:2:1，且盒中2号球的个数为4． （1）求取到异号球的概率； （2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立） 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 100 500 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 礼泉县2023~2024学年度第二学期期中质量调研 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 180 B. 60 C. 25 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：D 2. 下列问题不属于排列问题的是（ ） A. 从10个人中选2人分别去种树和扫地 B. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C. 从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D. 从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列的定义判断即可. 【详解】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 3. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．则四名同学的报名情况共有（ ） A. 81种 B. 64种 C. 24种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】人选项目，各有三种选择，每人都从三个项目中去选一种，所以有种报名情况. 【详解】由题每人都要报名且限一项项目， 又每人都有三个项目可供选择，故四名同学的报名情况共有种. 故选：A. 4. 下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答. 【详解】对于①，半小时内经过车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 故选：C 5. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【详解】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则， 则展开式的通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故选：A 6. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ） A. 35 B. 34 C. 31 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可. 【详解】从这七个点任意选取三个点有个， 其中共线的四点中有个不能构成三角形， 所以不同的三角形个数有31个， 故选：C. 7. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A. 8. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用排列组合，先选人，再选时间，最后求出乘积即可. 【详解】分步完成， 先从5名学生中选出2人，共有种， 再讲这2人安排到星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动共有种， 所以一共有种， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，显然两式不等，故C错误； ，显然两式相等，故D正确. 故选：ABD 10. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ） 1 3 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用分布列的性质求得，进而求得，从而得解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得，解得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 11. 平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ） A. 这两组平行线有70个交点 B. 这两组平行线有140个交点 C. 这两组平行线可以构成280条射线 D. 这两组平行线可以构成945个平行四边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用分步计数原理判断A、B，根据交点个数确定射线条件，即可判断C，利用组合数公式及分步计数原理判断D. 【详解】对于A、B，这两组平行线相交有个交点，故A正确，B错误； 对于C，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，故C正确； 对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形， 则可以构成个平行四边形，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据问题结构特征对二项式赋值即可求解. 【详解】令， 则二项式展开式左边，右边， 故. 故答案为：1. 13. 西安地铁2号线是贯穿市区南北中轴线的核心线路，共有草滩北站、红会医院北区站、西安北站等25个站点，则应为这25个站间准备不同的地铁票种数为_______． 【答案】600 【解析】 【分析】根据地铁票的设定方法，利用排列数公式即可求解. 【详解】因为任意两个站点之间有往返两种不同的地铁票， 故应为这25个站间准备不同的地铁票种数为种. 故答案为：600. 14. 第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有_______种． 【答案】150 【解析】 【分析】先将项目按要求分成三组，再将分好的三组分配到三个场地即可求解. 【详解】先将5个项目分成三组有两类分法：1，2，2或1，1，3， 故分组方法共有种， 再将分好的三组分配到三个场地有种， 所以三个场地A，B，C分别承担故5个新增项目，且每个场地至少承办其中一个项目的不同的安排方法有种. 故答案为：150. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某大学组织学生无偿献血，在一个班级体检合格的学生中，型血有11人，型血有7人，型血有6人，型血有5人． （1）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ （2）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？ 【答案】（1）29 （2）2310 【解析】 【分析】（1）根据分类加法原理即可求得答案； （2）根据分步乘法原理即可求得答案. 【小问1详解】 由题意，从中任选1名学生去献血，有种选法. 【小问2详解】 由题意，从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有种选法. 16. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所有二项式系数的和为列式求解； （2）写出通项，令指数等于即可求得答案. 【小问1详解】 ∵所有二项式系数的和为32， ∴， ∴． 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令， ∴展开式中的系数为， ∴解得． 17. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”，依题意可得、、，以及、、，由全概率公式得； （2）“求次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案； 【小问1详解】 设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”， 则，且，，两两互斥， 根据题意得，，，， ，，， 由全概率公式得 ； 【小问2详解】 “求次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， 所以； 18. 小平、老金、大魏、小刘、小张和小徐共6人要排成一排拍照． （1）若小张和小徐必须相邻．则共有多少种排队种数？ （2）若大魏和小刘不能相邻，则共有多少种排队种数？ （3）若小张和小徐必须相邻，大魏和小刘不能相邻，小平和老金不能相邻，则共有多少种排队种数？ 【答案】（1）240；（2）480；（3）96． 【解析】 【分析】（1）根据捆绑法，将小张和小徐全排后看成一个人，再与其它四人全排，即可得出结果； （2）先将其他四人全排，再由插空法将大魏和小刘排入，即可得出结果； （3）先将小张和小徐全排后看成一人，再分两种情况，先后用插空法求解，即可得出结果 【详解】（1）若小张和小徐必须相邻．则共有种； （2）先将除大魏和小刘外的四人全排，则有种情况，可产生个空，再将大魏和小刘插空，则共有种； （3）因为小张和小徐必须相邻，则这两人有种情况； 若先排大魏和小刘，再排小平和老金，则有种情况； 若先排小平和老金，再排大魏和小刘，则有种情况； 因此共有种排队种数. 【点睛】本题主要考查排列的应用题，考查计数原理的应用，属于常考题型. 19. 某商场举行“庆元宵，猜谜语”促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1:2:1，且盒中2号球的个数为4． （1）求取到异号球的概率； （2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立） 球号 1号球 3号球 答对概率 0.8 0.5 奖金 100 500 【答案】（1） （2）甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）分别求出先回答1号球再回答3号球和先回答3号球再回答1号球获得奖金总额的分布列，根据分布列求均值，比较均值即可求解. 【小问1详解】 由题意可得1，2，3号球的个数分别为2，4，2， 则取到异号球的概率. 【小问2详解】 若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语， 因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，100元，600元， ， ， ， 的分布列为 0 100 600 0.2 0.4 0.4 的均值为， 若甲先回答3号球再回答1号球， 因为猜对谜语的概率相互独立，记为甲获得的奖金总额，则可能的取值为0元，500元，600元， ， ， ， 的分布列为 0 500 600 0.5 0.1 0.4 的均值为， 因为，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$