精品解析：河北省衡水市故城县河北郑口中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

郑口中学高一年纪下学期质检三考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算即可求解. 【详解】， 故， 故选：B 2. 下列命题正确的为（ ） A. 已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B. 已知为三条直线，若，则 C. 若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 D. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，可举出反例；C选项，根据点，线，面之间的关系得到，，故C正确. 【详解】对于，直线异面，异面，则可能平行、相交或异面，所以A错误； 对于，，则可能平行、相交或异面，所以B错误； 对于C，如图，设平面平面，因为平面，所以， 同理，故三点共线，C正确； 对于D，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等， 如图：为等腰直角三角形，，为等边三角形， 故， 故不一定是正三棱锥，所以D错误， 故选：C． 3. 已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ） A. －5，16 B. －5，4 C. 4，16 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式判断即可. 【详解】设样本数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为，标准差为， 故数据的平均数为，方差为. 故选：A. 4. 已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出异面直线CM与AD所成角，再在三角形中求解即得. 【详解】设正四面体的棱长为2，取BD的中点N，连接MN，CN，如图， 由M是AB的中点，得，则是CM与AD所成的角或其补角， 显然，取MN的中点E，连接CE，则， 在中，，因此， 所以直线CM与AD所成角的余弦值为. 故选：C 5. 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 改革后，其他收入减少 B. 改革后，外出打工收入是改革前的 C. 改革后，养殖收入增加了一倍 D. 改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【解析】 【分析】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【详解】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 故选：D 6. 已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为． 【详解】如图， 由知为中点， 又为外接圆圆心，，， ， ，，， ∴在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影向量为：． 故选：D． 7. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合斜二测画法确定直棱柱的底面为矩形，再确定其长和宽，再求直棱柱的体对角线，由此可求其外接球的半径，再由球的表面积公式求结论. 【详解】由已知， 根据斜二测画法的性质可得， 该直棱柱的底面， 所以该直棱柱的底面为长为4宽 2的矩形， 其对角线， 所以该直棱柱外接球的半径， 则该直棱柱外接球的表面积， 故选：C. 8. 若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合方差的定义以及性质代入计算，即可得到结果. 【详解】设样本数据的平均数为，则， 设样本数据的平均数为，由， 则，所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为1，3，5，7，9，则（ ） A. 这两组数据的第80百分位数相等 B. 这两组数据的极差相等 C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变 D. 甲组数据比乙组数据分散 【答案】BC 【解析】 【分析】ABC选项，根据百分位数，极差，平均数定义计算，对选项一一判断，D选项，计算出两组数据的方差，根据方差判断出答案. 【详解】对于A项，由，得甲组数据的第80百分位数为7， 由，得乙组数据的第80百分位数为8，A项错误； 对于B项，甲组数据与乙组数据的极差均为8，B项正确； 对于C项，甲组数据去掉前、后的均值分别为， ， 乙组数据去掉前、后的均值分别为，，C项正确； 对于D项，甲组数据的方差， 乙组数据的方差， 因为，所以乙组数据较分散，D项错误． 故选：BC． 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，且，则内切圆面积的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积的定义化简可判断A，根据余弦定理解三角形可判断B，由正弦定理化为角判断C，根据条件可得三角形为直角三角形，求出内切圆的半径，利用均值不等式求出半径的最大值判断D. 【详解】对于A项，若， 则，即， 即，即，故B＝C，所以为等腰三角形，A项正确． 对于B项，若，，则，由， 得，解得或，故有两解，B项正确． 对于C项，由，得， 所以，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，C项错误． 对于D项，由，得， 即，对该等式通分得到，即，即， 所以， 由，得，所以，且c＝1， 所以的内切圆半径． 又， 当且仅当时等号成立，所以， 故的内切圆面积． 验证知当时，等号成立，所以的内切圆面积的最大值是，D项正确． 故选：ABD 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则（ ） A. 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 B. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 勒洛四面体中过三点的截面面积为 D. 勒洛四面体的体积 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于，进行判断；对于B，求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C，找到最大截面，求出截面面积；对于D，勒洛四面体的体积介于正四杨体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确； 勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，    其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心， 由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接， 易知，，三点共线， 设正四面体的外接球半径为， 由题意得：，解得， ，， 由题意得，故B错误； 勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，    则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积， 即，故C错误； 对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，    正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为， 正四面体的高为， 正四面体的体积， 设正四面体的外接球半径为，则由题意得： ，解得， 正四面体的外接球的体积为， 勒洛四面体的体积满足，故D正确． 故选：AD． 【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下; (1)定球心:如果是内切球，球心到切点的距离相等目为球的半径;如果是外接球，球心到接点的距离相等目为半径; (2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平 面化的目的; (3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某社区有60岁以上的居民800名，20岁至60岁的居民1800名，20岁以下的居民400名，该社区卫生室为了解该社区居民的身体健康状况，准备对该社区所有居民按年龄采用分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中年龄在20岁以下的居民的人数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】按分层抽样的规则计算指定层被抽取的数量. 【详解】由分层抽样的定义可知， 样本中年龄在20岁以下的居民的人数为. 故答案为：20. 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高后，由体积公式计算． 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 所以圆台的高为， 体积为 故答案为：． 14. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复平面内表示复数（）的点为. （1）若点在函数图像上，求实数的值； （2）若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可； （2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可. 【小问1详解】 因为点在函数图像上， 所以，解得. 【小问2详解】 ，， 因为与的夹角为钝角，所以， 所以， 即，即， 当两向量共线且反向时，设， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这m个人的年龄的中位数和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1．求这m人中35~45岁的所有人的年龄的方差． 【答案】（1）中位数为，众数为27.5； （2）10． 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，求出这m个人的年龄的中位数的众数. （2）利用分层抽样求出第四组、第五组抽取的人数，再利用分层抽样的方差计算公式计算即得. 【小问1详解】 因为，， 所以这m个人的年龄的中位数为， 众数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图得各组人数之比为， 则各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄的平均数为，方差为， 则， ， 所以第四组和第五组所有宣传使者的年龄的方差为10， 所以估计这m个人中35～45岁的所有人的年龄的方差约为10． 17. 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， ∵是菱形的对角线，的交点， ∴，且， 又∵，且， ∴，且， 从而为平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：连接， ∵四边形为菱形，∴， ∵，是的中点，∴， 又，平面， ∴平面，又平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面； （2）只需证明平面，即可证明平面平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若D为延长线上一点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知，由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简，得，可求； （2）在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，得，由角的范围求的取值范围. 【小问1详解】 角A，B，C是的内角，故． 在锐角中，， 由正弦定理得，， 即， 所以，即， 故， 又，所以. 【小问2详解】 在中，， 由正弦定理有，则， 在中，由正弦定理有，即， 则， 所以， ， 故 . 因为为锐角三角形，， 所以，解得， ， 所以，所以， 从而． 故的取值范围为． 19. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则． （1）设，解决下面问题： ①求； ②设与的夹角为，求； （2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：． 【答案】（1）①；② （2）任取，，计算内积，设这些内积之和为， 则，设的第个分量之和为， 又因为，故，所以 又， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用题设定义的运算，即可求出结果； （2）任取，，得到，设的第个分量之和为，结合，即可求出结果. 【小问1详解】 因为， 所以， ①， ②因为，，所以. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，任取，，根据条件得到，再利用来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑口中学高一年纪下学期质检三考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的为（ ） A. 已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B. 已知为三条直线，若，则 C. 若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 D. 底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 3. 已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（ ） A. －5，16 B. －5，4 C. 4，16 D. 4，4 4. 已知在正四面体中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 改革后，其他收入减少 B. 改革后，外出打工收入是改革前的 C. 改革后，养殖收入增加了一倍 D. 改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 6. 已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为1，3，5，7，9，则（ ） A. 这两组数据的第80百分位数相等 B. 这两组数据的极差相等 C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变 D. 甲组数据比乙组数据分散 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则有两解 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，且，则内切圆面积的最大值是 11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则（ ） A. 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 B. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C. 勒洛四面体中过三点的截面面积为 D. 勒洛四面体的体积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某社区有60岁以上的居民800名，20岁至60岁的居民1800名，20岁以下的居民400名，该社区卫生室为了解该社区居民的身体健康状况，准备对该社区所有居民按年龄采用分层随机抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为150的样本，则样本中年龄在20岁以下的居民的人数为__________. 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 14. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复平面内表示复数（）的点为. （1）若点在函数图像上，求实数的值； （2）若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这m个人的年龄的中位数和众数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1．求这m人中35~45岁的所有人的年龄的方差． 17. 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，. （1）若，求证：平面； （2）若，求证：平面平面. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若D为延长线上一点，且，求的取值范围． 19. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则． （1）设，解决下面问题： ①求； ②设与的夹角为，求； （2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $