精品解析：浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

当湖高级中学2023学年第二学期阶段性测试 高一数学试题卷 2024.5 一．单选题：（每题5分） 1. 某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90， ，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第个数据，即89， 故选：B 2. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ） A. 32 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 3. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a，b的值. 【详解】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到， 故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以， 故选：D. 4. 已知直线和两个不同的平面 ，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，若，则可能与平行，故A错误； 对于B选项，若，则可能与平行或者在平面内，故B错误； 对于C选项，若，则 可能平行或者相交，则C错误； 对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于基础题. 5. 下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的平均数和中位数的概念及关系，即可求解. 【详解】由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系； 将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数， 平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，如图（1）中位数与平均数相等，如图（2）中位数小平均数，如图（3）中位数大于平均数，结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数更大一些，即. 故选：B. 6. 已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与方差的定义判断． 【详解】因为，因此平均数不变，即， 设其他48个数据依次为， 因此， ， ，所以， 故选：C． 7. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直， 在中，， ， ，设点到平面的距离为， 由，得，即，解得， 所以点到平面EFD的距离为. 答案：B 8. 如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为 ，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为 ，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为 ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 二．多选题：（每题6分） 9. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 乙班比甲班防守技术更稳定 C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差 D. 甲班很少不失球 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项. 【详解】对于A，从平均数角度考虑是对的，甲班每场比赛平均失球数大于乙班每场比赛平均失球数，故A正确； 对于B，从标准差角度考虑是错的，甲失球个数的标准差小，防守技术更稳定；故B错误； 对于C，乙失球个数的标准差大，防守中的表现不稳定，故C正确； 对于D，从平均数和标准差角度考虑是对的，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台母线与底面所成角为 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 【答案】AC 【解析】 【分析】求出圆台的高，根据圆台体积公式可判断A；根据圆台侧面积公式可判断B；作出圆台母线与底面所成角，解直角三角形可判断C；将圆台展开，将圆台的侧面上，从点到点的最短路径转化为展开图中的线段长，可判断D. 【详解】对于A：圆台的高为， 则圆台的体积，A正确； 对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为．故B错误； 对于C：过A作交底面于F，而底面，故底面， ∴即为母线与底面所成角． 在等腰梯形 中，，∴， ∵为锐角，∴．故C正确； 对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为 ，下底面圆周对应的扇形半径为 ， 设扇形圆心角为，则，则 ， 由于，则， 即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE， 由题意可得：．由为中点，∴， ∴．故D错误． 故选： 11. 如图，在四边形 中，，将沿 进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 始终有 B. 当平面平面时，平面 C. 当平面平面时，直线与平面成角 D. 当平面平面时，三棱锥 外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反证法证明即可判断A；根据面面垂直的性质与线面垂直的判定定理和性质可得，结合线面垂直的判定定理即可判断B；由选项B可知平面，确定线面角即可判断C；由选项BC知，如图，确定球心和半径，结合球的表面积公式计算即可判断D. 【详解】A：若假设 ，由， 得，又，所以， 即，又平面， 所以平面，又平面， 所以，与 矛盾，故A错误； B：在四边形 中，由已知可得：. 因为平面平面，又平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面，可得平面，故B正确； C：由选项B知，由平面，则为直线与平面所成的角是，故C正确； D：当平面平面时，由B、C选项知，平面，平面， 平面，平面，所以， 所以取的中点，有， 即为三棱锥 外接球的球心，且半径， 所以三棱锥 外接球表面积，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三．填空题：（每题5分） 12. 常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由分层抽样的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，高三年级抽取了人， 故该高中共有学生：人. 故答案为：. 13. 四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是______. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】在四面体 中，取的中点，连接， 由M、N分别为BC、AD的中点，得， 则是异面直线AC与BD所成的角或其补角， 显然，而，有， 于是， 所以异面直线AC与BD所成的角是. 故答案为： 14. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，，即可证明平面平面，从而得到点的轨迹为线段，求出，，即可求出的取值范围. 【详解】 如图所示，分别取的中点，连接，，， 因为为所在棱的中点， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 因为 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面， 平面， 所以平面； 又因为，且平面，平面, 所以平面平面， 因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 又， 在中，由余弦定理得 ， 所以为钝角，所以当在线段运动时，最短为，最长为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：对于立体几何中动点问题，关键是确定动点的轨迹，主要是确定面面平行，得到线面平行. 四．解答题：（本题共5小题，共77分．） 15. 如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积，即可得出答案； （2）分别求出两个半圆锥的表面积，ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分，求出，，则阴影部分形成的几何体的表面积为，求解即可. 【小问1详解】 过点C作，垂足为点，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥． ，，，， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为， ， 半圆面以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为， . 【小问2详解】 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为 ， 以直线AB为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为 ， ACB以直线AB为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为， 正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：， . 16. 已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： （1）E、F、D、B四点共面 （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，即可得结果； （2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【小问1详解】 证明： 分别是、的中点， 所以， 又， 所以四边形是平行四边形， . ， 即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面. 【小问2详解】 （2）M、N分别是、的中点， .又平面，平面，平面. 连接，如图所示，则，. 四边形是平行四边形. . 又平面，平面. 平面. 都在平面 ,且,所以平面平面. 17. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计 的区间，再计算区间 的频率和为0.85时，求解的值. 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得 ， 解得. （Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为 ， 由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 . (Ⅲ) 前6组的频率之和为 ， 而前5组的频率之和为 ， 由 ，解得， 因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准. 18. 如图，在斜三棱柱中， 为AC的中点， . （1）证明： . （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接 ，如图所示. 因为为的中点，所以 又，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以四点共面， 因为 且都在面， 所以平面，又因为 平面， 所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接 ，将 转换为线面平面，通过线面垂直的判断定理证明即可； （2）先通过线面证明 平面，并求出 ，，直线 与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 面，所以. 又 ，由，即， 因为， 所以，则 由题设知，因为 ，且都在内， 所以 平面， 面，所以 ，且 设到平面的距离为， 由，且都在面内，故面， 因为 ，平面， 平面，所以平面， 综上， 设直线 与平面所成的角为，则. 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ，， ，O是的中点． （1）求证：平面平面； （2）点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2），二面角的正切值为 【解析】 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面 ，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值，取靠近点的四等份点，连接，过点作于 ，连接 ，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果 【小问1详解】 连接， 因为底面 中，， ， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面 ，平面 平面， 所以平面 ， 因为平面 ， 所以， 因为, 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 因为底面 中，， ，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面 ，平面 ， 所以， 所以， 因为， 所以，所以, 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， 取靠近点的四等份点，连接，则∥， 因为平面 ，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 过点作于 ，连接 ， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为, 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当湖高级中学2023学年第二学期阶段性测试 高一数学试题卷 2024.5 一．单选题：（每题5分） 1. 某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 2. 一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ） A. 32 B. C. D. 3. 某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知直线和两个不同的平面 ，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 6. 已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：（每题6分） 9. 学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（ ） A. 平均来说乙班比甲班防守技术好 B. 乙班比甲班防守技术更稳定 C. 乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差 D. 甲班很少不失球 10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（ ） A. 圆台的体积为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台母线与底面所成角为 D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 11. 如图，在四边形中，，将沿进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 始终有 B. 当平面平面时，平面 C. 当平面平面时，直线与平面成角 D. 当平面平面时，三棱锥 外接球表面积为 三．填空题：（每题5分） 12. 常言道：国以民为本，民以食为天．食品安全问题是人类生存的第一需要．学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人． 13. 四面体ABCD中，，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是______. 14. 在棱长为1的正方体中，E，F分别为和的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是________． 四．解答题：（本题共5小题，共77分．） 15. 如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，，若将图中阴影部分绕直线AB旋转180°得到一个几何体． （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积． 16. 已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： （1）E、F、D、B四点共面 （2）平面平面. 17. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值； （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由． 18. 如图，在斜三棱柱中， 为AC的中点， . （1）证明： . （2）若，求直线 与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，， ，O是的中点． （1）求证：平面平面； （2）点M在棱上，满足，且三棱锥的体积为，求的值及二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $