贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测（四）数学试题

11.已知函数f代x)=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点，则下列结论正确的是 A.a2-b2≤4 B0a+4 C.不等式x2+ax+b<0的解集为☑ D.若不等式x2+ax+b<4的解集为(x1,x2),则1-x2=4 12.已知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,w>0,0<p<r）的部分图象如图2所示，令g(x) =()-2n经++1，则下列说法正确的有 A.f(x)的最小正周期为T 且8)的图象关于直线x=看对称 C8()在0，引上的值域为-1，引 图2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）》 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）》 13.同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a,b,则|a-b|≤3的概率是 +2 sin 2 14.已知 2 sina+cosa 则cd的值是 15.在四面体ABCD中，AB⊥BC,CD⊥BC,BC=4,AB=CD=45,且异面直线AB与CD 所成的角为60°，则四面体ABCD的外接球的表面积为 16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当Vx1,:2∈[0，+∞)，且1≠x2时， f(x)-fx2 >4(x,+x2)恒成立，f(2)=16,则满足f(nm)≤4(nm)2的m的取值范围 七1一X2 为 高一数学·第3页（共6页） 19.(本小题满分12分) 设两个向量d,b满足|a1=1,161=2. (1)若(2a+b)·(a-b)=-3,求a与6的夹角0： (Ⅱ)若a,b的夹角为(I)中的0，向量ta+b与2a+tb的夹角为锐角，求实数t 的取值范围 20.（本小题满分12分)】 如图4，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=30°，∠CDA=45°， PA⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC的中点，PA=2AB. (I)求证：平面PAC⊥平面AEF; (Ⅱ)求二面角E-AC-B的大小， 图4 高一数学·第5页（共6页） 高一数学参考答案·第 1 页（共 9 页） 贵阳一中 2023 级高一年级教学质量监测卷（四） 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D D C B B C 【解析】 1．由题意可得 2 2 1 i 1 i (1 i) 2i i i i i 1 (i 1)(i 1) 2 z               ，故选 C． 2 ． 1A D A B     ，所以 2O D   ，还原如图 1 所示：则 2 2 2 1OD O D AB   ， ， 所 以 平 面 图 形 ABCD 面 积 | | | | 1 2 2 2 2S AB OD    ，故选 D． 3．因为 a b c，， 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，对于 A，若  ，  ， 则 与  可能相交，故 A 错误；对于 B， ∥ 或 α与 β相交，故 B 错误；对于 C，相交 或平行或异面，故 C 错误；对于 D，由两平面平行的性质定理知 a b ，由已知 a，b，c 共面且无公共点，所以 a b c  ，故选 D． 4．至少有 1 名男生包含 2 名全是男生､1 名男生 1 名女生，故 A D ， A C D ，故 A，C 正确；事件 B与 D是互斥事件，故 B D   ，故 B 正确； A B 表示的是 2 名全是男生 或 2 名全是女生，B D 表示 2 名全是女生或名至少有一名男生，故 A B B D  ，D 错 误，故选 D． 5．因为 π 1sin1 sin 6 2   ，所以 a c ，因为 πtan1 tan 3 3   ，所以 1lg(tan1) lg 3 lg 10 2    ， 即b c ，综上，b c a  ，故选 C． 6．∵向量 a b  ， 满足 | | 3 | | 2a b   ， ， 3 4 | | 5 5| | a b a b          ， ，∴ 3 4 3 2 5 5 a b         ， ，∴ 13 2 a b    ， 图 1 高一数学参考答案·第 2 页（共 9 页） 两边平方可得： 2 2 49 1 1 3 a b a b       ，即 2 1 3 a b     ， 3a b    ∴ ， 2| | ( )a b a b      ∴ 2 2 2 9 4 3 12 9a b a b           ，故选 B. 7．由 ln( 2) 1x   ，得到 0 2 ex   ，即 2 e+2x  ，所以 ln( 2) 1x   时，能得出 2x  ，当 2x  时，不妨取 3e 2x   ，此时 3ln( 2) ln e 3 1x     ，故 2x  时，得不出 ln( 2) 1x   ， 所以是“ 2x  ”是 ln( 2) 1x   的必要不充分条件，故选 B． 8．由于 3π 4 A  ，且 ABC△ 外接圆的直径为 4，所以 22 sin 4 2 2 2 a R A    ．由余弦定理 得 2 2 2 2 28 2 cos 2a b c bc A b c bc       ， 8 4 2bc ≤∴ ，则 2 2 2 2 4 S bc ≤ ，故 选 C． 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 题号 9 10 11 12 答案 AB BC ACD ACD 【解析】 9．根据表格可知：这 20 人成绩的众数为 105，故 A 对；极差为123 80 43  ，故 B 对； 20 25% 5 又 ， 所 以 25% 分 位 数 为 1 (95 100) 97.5 2   ， 故 C 错 ； 平 均 数 为 80 2 95 3 100 3 105 5 110 4 115 2 123 103.15 20              ，故 D 错，故选 AB． 10．函数 ( ) ln|1 | ln |1 |f x x x    ，由 |1 | 0 |1 | 0 x x      ，解得 1x   ，因此 ( )f x 的 定 义 域 为 ( 1) ( 1 1) (1 )     ， ， ， ， 显 然 ( ) ln|1 | ln |1 | ( )f x x x f x       ，函数 ( )f x 是奇函数，A 错误， B 正确；函数 1 2ln ln 1+ 1 1 ( ) xf x x x      ，显然 lny x 在 (0 ) ， 单调递增，当 1 1x   时， 2( ) ln 1 1 f x x      ，函数 2 1 1 y x    在 ( 1 1) ， 上单调递增， 图 2 高一数学参考答案·第 3 页（共 9 页） 于是 ( )f x 在 ( 1 1) ， 上单调递增，C 正确；当 1x   或 1x  时， 2( ) ln 1 1 f x x      ，函数 21 1 y x    在 ( 1) ， ， (1 ) ， 上单调递减，于是 ( )f x 在 ( 1) ， ， (1 ) ， 上单调 递减，图象如图 2 所示，所以值域为 R，故 D 错误，故选 BC． 11．因为 2 )( 0) (f x axx b a    有且只有一个零点，所以 2Δ 4 0a b   ，即 2 4 0a b  ．对 于选项 A，因为 2 2 2 24 ( 2) 04 4a bb bb      ≤ ，所以 2 2 4a b ≤ ，故选项 A 正确； 对于选项 B，因为 2 1 1 14 2 4 4a b b b b b   ≥ ，当且仅当 1 2 2 b a ， 时，等号成立， 故选项B 错误；对于选项 C，因为 2Δ 4 0a b   ，所以不等式 2 0x ax b   的解集为， 故选项 C 正确；对于选项 D，因为不等式 2 4x ax b   的解集为 1 2( )x x， ，所以方程 2 4 0x ax b    的 两 根 为 1 2x x， ， 且 1 2 1 2 4x x a x x b    ， ， 所 以 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) 4x x x x x x    2 24( 4) 4 16 16 4a ab b        ，故选项 D 正确，故 选 ACD． 12．对于函数 ( ) sin( )( 0 0 0 π)f x A x A        ， ， ，由图可知 5π π3 12 3 A        ， 3 3 2π 4 4 T     ， 则 2  ， 所 以 ( ) 3 sin(2 )(0 π)f x x      ， 又 5π 5π3 sin 2 3 12 12 f                ， 所 以 5π π2 2 π 12 2 k k     Z， ， 解 得 4π 2 π 3 k k    Z， ，又 0 π  ，所以 2π 3   ；则 2π( ) 3 sin 2 3 f x x       ，所以 22π 5π( ) 3 sin 2 2sin 1 3 2 g x x x                1 3 13 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 x x x x            3 πsin 2 cos 2 2 3 x x        ．对于 A： ( )f x 的最小正周期为 2π π 2  ，A 正确；对于 B：对 于 ( )g x ，令 π2 π 3 x k k  Z， ，得 ( )g x 的对称轴方程为 )π 6 π ( 2 k x k  Z ，B 错误；对 于 C：当 π0 2 x≤ ≤ 时， π π 4π2 3 3 3 x ≤ ≤ ，所以 π 11 cos 2 3 2 x       ≤ ≤ ，即 ( )g x 在 π0 2      ， 上 的值域为 11 2     ， ，C 正确；对于 D：令 ππ 2 π 2 2π 2 π 3 k x k k   Z≤ ≤ ， ，解得 高一数学参考答案·第 4 页（共 9 页） π 5ππ π 3 6 k x k k  Z≤ ≤ ， ，即 ( )g x 的单调递增区间为 π 5ππ π ( ) 3 6 k k k       Z， ，D 正确， 故选 ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 5 6 15 16 80π或 208π 22 1 e e      ， 【解析】 13．同时抛掷两枚骰子共有 6 6 36  种结果，其中满足 | | 3a b ≤ 有：(1 1)， ，(2 2)， ，(3 )3， ， (4 4)， ，(5 )5， ，(6 )6， ，(1 2)， ，(2 1)， ，(2 3)， ，(3 2)， ，(3 4)， ，(4 3)， ，(4 5)， ，(5 4)， ， (5 6)， ，(6 )5， ，(1 3)， ，(3 )1， ，(2 4)， ，(4 2)， ，(3 5)， ，(5 )3， ，(4 6)， ，(6 )4， ，(1 4)， ， (2 5)， ， (3 6)， ， (4 )1， ， (5 2)， ， (6 )3， ，共 30 种结果，所以 | | 3a b ≤ 的概率为 30 36 5 6  ． 14．因为 πsin 2 cos 2 22 cos sin sin cos sin cos 4                    ，所以 2(cos sin ) 1 2sin cos      11 sin2 8    ，所以 7sin2 8   ，因为 2 3 32cos π 1 cos π 2 sin2 4 2                  ，所以 2 3 1 15cos π (sin2 1) 4 2 16          ． 15．将四面体补形为直三棱柱如图 3 所示（设O O ， 为直三棱柱上下底面三角形的外接圆 圆心）： 图 3 甲 中 60ABD   ， 图 乙 中 120ABD   ， 在 图 甲 乙 中 可 知 ： BC AB BC BD AB BD B   ， ， ，所以 BC 平面 ABD，图甲乙中取O O 的中点O， 图 3 高一数学参考答案·第 5 页（共 9 页） 连接 OB ，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心， OB 为外接球的半径，图甲中 1 1 2 2 2 OO O O BC     ，且 ABD△ 为等边三角形，所以 1 2 4 cos30 AB BO    ，所以 2 2 2 24 2 2 5R OB OO BO       ，所以外接球的表面积为 24π 80πS R  ；图乙中， 1 1 2 2 2 OO O O BC     ，且 O BD △ 为等边三角形，所以 4 3BO AB   ，所以 2 2 2 2(4 3) +2 = 52R OB OO BO     ，所以外接球的表面积为 24π 208πS R  ． 16．设 1 2x x ，由 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 4( )f x f x x x x x     ，得 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4( )( ) 4( )f x f x x x x x x x      ， 所以 2 21 1 2 2( ) 4 ( ) 4f x x f x x   ，令 2( ) ( ) 4g x f x x  ，则 1 2( ) ( )g x g x ，所以函数 ( )g x 在 [0 ) ， 上单调递增，因为 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，所以 )( ()f x f x  ，所以对任 意的 xR， 2 2( ) ( ) 4( ) ( ) 4 ( )g x f x x x gf x x        ，所以，函数 ( )g x 为R 上的偶函 数，且 2(2) (2) 4 2 16 16 0g f      ，由 2(ln ) 4(ln )f m m≤ ，可得 2 0(ln ) 4(ln )f m m ≤ ， 即 ( ) ( )ln 2mg g≤ ，即 | ln | 2m ≤ ，所以 2 ln 2m ≤ ≤ ，解得 22 1 e e m      ， ． 四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得： (0.005 0.015 0.020 0.020 0.010) 10 1a       ， ……………………………………………（2 分） 解得 0.03a  ， ……………………………………………（3 分） 所以分数[70 80)， 内的频率为 0.03 10 0.3  ，………………………………………（4 分） 本次月考中不及格考生的人数为： (0.005 0.015) 10 2000 400    （人）． ……………………………………………（6 分） （Ⅱ）由题意得：因为成绩在[70 80)， 的频率最大，又 70 80 75 2   ， 所以众数为 75 分； ……………………………………………（8 分） 设中位数为 x，则 700.05 0.15 0.2 0.3 0.5 10 x       ， 解得 220 3 x  ，所以中位数为 220 3 ． ……………………………………………（10 分） 高一数学参考答案·第 6 页（共 9 页） 18．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意，方程 24m x x  在 ( 1 1) ， 上有解， 令 2( ) 4f x x x  ( 1 1)x   ，只需m在 ( )f x 值域内， …………………………（3 分） 易知 ( )f x 值域为 1 5 16     ， ， m∴ 的取值集合为 1 5 16 M m m         ≤ ． ………………………（5 分） （Ⅱ）由题意，M N ，显然 N不为空集． ①当 2a a  ，即 1a  时， (2 )N a a  ， ， 12 16 5 5 1 a a a a          ≥ ， ≥ ；∴ …………………………（8 分） ②当 2a a  ，即 1a  时， N ，不合题意舍去； …………………………（9 分） ③当 2a a  ，即 1a  时， ( 2 )N a a ， . 2 5 1 3 16 1 a a a a         ≥ ， ≤ ，∴ ……………………………（11 分） 5 3a a ≥ 或 ≤∴ ． …………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵ (2 ) ( ) 3a b a b       ， 2 22 3a a b b       ∴ ， ……………………………………………（3 分） 又 | | 1 | | 2a b    ，∵ ， 1a b   ∴ ， | || | cos 1a b a b      ，…………………………（4 分） 1cos 2  ∴ ，又 [0 π]  ， ， π 3  ∴ ． ……………………………………………（6 分） （Ⅱ） a b   ，∵ 的夹角为 60且 | | 1 | | 2a b   ， ， 1| | | | cos60 1 2 1 2 a b a b            ，∴ ∵向量 ta b  与 2a tb  的夹角为锐角， ( ) (2 ) 0ta b a tb       ∴ 且 ta b  与 2a tb  不共线， ………………………………（8 分） 高一数学参考答案·第 7 页（共 9 页） 2 2 2 2 2 | | ( 2) | | 0 2 0 t a t a b t b t            ，即 2 2 6 2 0 2 t t t       ， ………………………………（10 分） 解得： 3 7 3 7t t     或 且 2 2t t  且 ， ( 3 7) ( 3 7 2) ( 2 )t        ， ， ，∴ ． ………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：∵ PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD， ∴CD PA ． ……………………………………………（2 分） 又 =90ACD ，∴CD AC ， ∵ PA AC A ，∴CD 平面 PAC， ……………………………………………（4 分） 又在 PCD△ 中， E F， 分别为 PD PC， 中点， 故 EF DC∥ ，∴ EF 平面 PAC， ∵ EF 平面 AEF ， ∴平面 PAC 平面 AEF ． ……………………………………………（6 分） （Ⅱ）解：如图 4，取 AD的中点M ，连接 EM ，取 AC的中点 H ，连接 EH ，MH ， 由 EM PA∥ ， PA 平面 ABCD，可得 EM 平面 ABCD， 又MH CD∥ ，CD AC ，可得MH AC ， 因为MH 是斜线 EH 在平面 ABCD上的射影， 由三垂线定理可得 AC EH ， 所以 EHM 是二面角 E AC D  的平面角， ……………………………………………（9 分） 在 ABC△ 中，设 1AB  ，则 2PA  ， o o90 30ABC ACB   ， ， 可得 2AC  ，在 ACD△ 中， o o90 45ACD ADC   ， ， 可得 2CD  ，在直角三角形 EHM 中， 1MH EM  ，可得， o45EHM  ， 则二面角 E AC B  的大小为 o135 ． ……………………………………………（12 分） 图 4 高一数学参考答案·第 8 页（共 9 页） 21．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 π3 cos sin 2 B a b A   得： 3 sin sin 2 B a b A ， ……………………………………………（2 分） 由正弦定理得： 3 sin sin sin sin 2 B A B A ， 由 π0 (0 π) 2 2 B A      ， ， ， ，有 sin 0 sin 0 2 B A ， ，化简得 3cos 2 2 B  ， ……………………………………………（4 分） 得 π 2 6 B  ，所以 π 3 B  ． ……………………………………………（6 分） （Ⅱ）由 ABC ABD BCDS S S △ △ △ ，得 1 π 1 π 1 πsin 3 sin 3 sin 2 3 2 6 2 6 ac a c    ， ……………………………………………（8 分） 即 3 3 3 4 4 4 ac a c   ，得 1 1 1 a c   ， 21 12 (2 32) 3 2a cc a c a a c a c             ≥ ， ……………………………………（10 分） 当且仅当 2a c c a a c ac       ，即 21 2 2 1 a c        时等号成立， 所以 2a c 的最小值为3 2 2 ． ……………………………………………（12 分） 22．（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）对于任意的 1x ， 2 [0 1]x  ， ，有 1 21 1 1x x  ≤ ≤ ，即 1 2| 1| 1x x  ≤ ， ……………………………………………（3 分） 从而 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | || 1 | | |f x f x x x x x x x x x x x         ≤ ， ……………………………………………（5 分） 所以函数 2( ) 1x xf x   ， ]1[0x ， 是“平缓函数”． ………………………………………………………（6 分） 高一数学参考答案·第 9 页（共 9 页） （Ⅱ）当 1 2 1| | 2 x x  时，由已知，得 1 2 1 2 1| ( ) ( ) | | | 2 f x f x x x  ≤ ； 当 1 2 1| | 2 x x ≥ 时，因为 1x ， 2 [0 1]x  ， ， 不妨设 1 20 1x x≤ ≤ ，所以 1 2 1 2 x x ≤ ．……………………………………………（8 分） 因为 (0) (1)f f ， 所以 1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) (0) (1) ( ) |f x f x f x f f f x     1 2| ( ) (0) | | (1) ( ) |f x f f f x  ≤ ……………………………………………（10 分） 1 2| 0 | |1 |x x  ≤ 1 2 1x x   1 11 2 2   ≤ ， 所以对任意的 1x ， 2 [0 1]x  ， ，都有 1 2 1| ( ) ( ) | 2 f x f x ≤ 成立． ………………………………………………（12 分）