第八节对数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第八节　对数函数 课程目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）. 基础知识 1.对数函数 （1）定义：函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　　　　. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1. （2）图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　　　 值域：R 图象过定点　　　　，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0；当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是　　　 在（0，＋∞）上是　　　 提醒　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论. 2.反函数 （1）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换； （2）y＝ax与y＝logax的函数图象关于　　　对称. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　　） （2）函数y＝ln 与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同.（　　） （3）函数y＝log2x与y＝lo的图象重合.（　　） 2.已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有（　　） A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜a＜b　 D.c＜b＜a 3.函数y＝log2（x＋1）的图象大致是（　　） 4.（2024·信阳模拟）函数f（x）＝的定义域为　　　　. 常用结论 1.函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称. 2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，－1），函数图象只在第一、四象限. 3.对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 结论应用 1.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是（　　） A.0＜c＜b＜1＜a　 B.0＜b＜c＜1＜a C.1＜b＜c＜a　 D.1＜c＜b＜a 2.函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 对数函数的图象及应用 【例1】　（1）函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） （2）已知函数f（x）＝｜log2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝　　　　. 方法技巧 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 （1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想； （2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 跟踪训练 1.已知f（x）＝a－x，g（x）＝logax，且f（2）·g（2）＞0，则函数f（x）与g（x）的图象是（　　） 2.已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　　　　. 考点2 对数函数的性质及应用 考向1　比较对数式的大小 【例2】　（1）已知实数a＝log23，b＝lo，c＝log3，则（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a （2）已知0＜＜a＜1，则logba，logab，loga，－1，1，0的大小关系是　　　　.（用“＜”连接） 方法技巧 比较对数式大小的常见类型及解题方法 考向2　解对数方程或不等式 【例3】　（必修第一册第141页12题改编）若loga4＜1，则a的取值范围为　　　　. 变式 若loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，则a的取值范围是（　　） A.（0，1）　 B.（0，） C.（，1）　 D.（0，1）∪（1，＋∞） 方法技巧 求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 跟踪训练 1.a＝loπ，b＝log3π，c＝log4π，则（　　） A.a＜c＜b　 B.c＜b＜a C.a＜b＜c　 D.b＜c＜a 2.设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　） A.[－1，2]　 B.[0，2] C.[1，＋∞）　 D.[0，＋∞） 考点3 对数型函数性质的综合问题 【例4】　已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）的最小值为0，求a的值. 方法技巧 　　与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 跟踪训练 1.设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减 B.是奇函数，且在（－3，3）上单调递减 C.是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增 D.是偶函数，且在（－3，3）上单调递增 2.已知函数f（x）＝loga（2x－a）在区间［，］上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是　　　　. 第八节　对数函数 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　） A.log2x　　　　　　　 B. C.lox　 D.2x－2 2.函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域是（　　） A.　 B. C. D. 3.已知函数f（x）＝｜lg x｜，若a＝f，b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c　 B.b＞c＞a C.a＞c＞b　 D.c＞a＞b 4.函数f（x）＝log2·log4（4x2）的最小值为（　　） A.－　 B.－2 C.－　 D.0 5.（多选）函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A.a＞1　 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 6.（多选）已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（　　） A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的最大值为0 D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增 7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为　 　. 8.写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝　 　. ①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减. 9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为　 　. 10.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间［0，］上的最大值. 综合应用 B 巩固 11.若函数f（x）＝loga（x2＋x）（a＞0，且a≠1）在区间内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（0，＋∞）　 B.（2，＋∞） C.（1，＋∞）　 D.（，＋∞） 12.（多选）已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A.f（x）在（0，2）上单调递增 B.f（x）在（0，2）上的最大值为0 C.f（x）的图象关于直线x＝1对称 D.f（x）的图象关于点（1，0）对称 13.已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是　 　. 14.已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a＞0且a≠1. （1）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围. 15.已知函数f（x）＝log2（＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八节　对数函数 课程目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）. 　　基础知识 1.对数函数 （1）定义：函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　（0，＋∞）　. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1. （2）图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：　（0，＋∞）　 值域：R 图象过定点　（1，0）　，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是　增函数　 在（0，＋∞）上是　减函数　 提醒　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论. 2.反函数 （1）指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换； （2）y＝ax与y＝logax的函数图象关于　y＝x　对称. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　×　） （2）函数y＝ln 与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同.（　√　） （3）函数y＝log2x与y＝lo的图象重合.（　√　） 2.已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有（　　） A.a＜b＜c　 B.a＜c＜b C.c＜a＜b　 D.c＜b＜a 解析：A　a＝log32＜log33＝1＜b＝log2π＜c＝log2，故选A. 3.函数y＝log2（x＋1）的图象大致是（　　） 解析：C　函数y＝log2（x＋1）的图象是由函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点（0，0），函数定义域为（－1，＋∞），且在（－1，＋∞）上是增函数，故选C. 4.（2024·信阳模拟）函数f（x）＝的定义域为　[2，＋∞）　. 解析：要使函数f（x）＝有意义，只需即解得x≥2，所以函数f（x）的定义域为[2，＋∞）. 常用结论 1.函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称. 2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，－1），函数图象只在第一、四象限. 3.对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 结论运用 1.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是（　　） A.0＜c＜b＜1＜a　 B.0＜b＜c＜1＜a C.1＜b＜c＜a　 D.1＜c＜b＜a 解析：A　作直线y＝1（图略），由结论3可得0＜c＜b＜1＜a. 2.函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　（2，2）　. 解析：当x＝2时，函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值为2，所以图象恒过定点（2，2）. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 对数函数的图象及应用 　　 【例1】　（1）函数y＝logax与y＝－x＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　A　） （2）已知函数f（x）＝｜log2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a）＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则＋b＝　4　. 解析：（1）当a＞1时，函数y＝logax的图象为选项B，D中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B、D错误；当0＜a＜1时，函数y＝logax的图象为选项A，C中的曲线，此时函数y＝－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，A正确. （2）∵f（x）＝｜log2x｜，∴f（x）的图象如图所示，又f（a）＝f（b）且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图知，f（x）max＝f（a2）＝｜log2a2｜＝－2log2a＝2，∴a＝，∴b＝2.∴＋b＝4. 方法技巧 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 （1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想； （2）对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 跟踪训练 1.已知f（x）＝a－x，g（x）＝logax，且f（2）·g（2）＞0，则函数f（x）与g（x）的图象是（　　） 解析：D　因为f（2）·g（2）＞0，所以a＞1，所以f（x）＝a－x与g（x）＝logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D. 2.已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：问题等价于函数y＝f（x）与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1. 考点2 对数函数的性质及应用 考向1　比较对数式的大小 【例2】　（1）已知实数a＝log23，b＝lo，c＝log3，则（　A　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a （2）已知0＜＜a＜1，则logba，logab，loga，－1，1，0的大小关系是　logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga　　.（用“＜”连接） 解析：（1）因为a＝log23＞1，b＝lo＝log32∈（0，1），c＝log3＝－log32＜0，所以a＞b＞c. （2）∵0＜＜a＜1，∴0＜a＜1，b＞1，∴loga＞logaa＝1，－1＝logb＜logba＜logb1＝0，即loga＞1，－1＜logba＜0，∴logab＜－1，∴logab＜－1＜logba＜0＜1＜loga. 方法技巧 比较对数式大小的常见类型及解题方法 考向2　解对数方程或不等式 【例3】　（必修第一册第141页12题改编）若loga4＜1，则a的取值范围为　（0，1）∪（4，＋∞）　. 解析：当a＞1时，由loga4＜1⇒loga4＜logaa⇒a＞4；当0＜a＜1时，由loga4＜1⇒loga4＜logaa⇒a＜4，即0＜a＜1，综上所述，a的取值范围为（0，1）∪（4，＋∞）. 变式 若loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，则a的取值范围是（　　） A.（0，1）　 B.（0，） C.（，1）　 D.（0，1）∪（1，＋∞） 解析：C　由题意得a＞0且a≠1，又a2＋1＞2a，loga（a2＋1）＜loga（2a）＜0，所以0＜a＜1，且2a＞1，所以＜a＜1.故a的取值范围是. 方法技巧 求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解. 跟踪训练 1.a＝loπ，b＝log3π，c＝log4π，则（　　） A.a＜c＜b　 B.c＜b＜a C.a＜b＜c　 D.b＜c＜a 解析：A　由已知a＝loπ＜lo1＝0，又b＝log3π＝＞1，c＝log4π＝，有0＜＜1，即0＜c＜1，综上得a＜c＜b.故选A. 2.设函数f（x）＝则满足f（x）≤2的x的取值范围是（　　） A.[－1，2]　 B.[0，2] C.[1，＋∞）　 D.[0，＋∞） 解析：D　当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞）.故选D. 考点3 对数型函数性质的综合问题 【例4】　已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）的最小值为0，求a的值. 解：（1）因为f（1）＝1，所以log4（a＋5）＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）. 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f（x）的定义域为（－1，3）. 令g（x）＝－x2＋2x＋3（－1＜x＜3），则g（x）在（－1，1]上单调递增，在[1，3）上单调递减. 又y＝log4x在（0，＋∞）上为增函数，所以f（x）的单调递增区间是（－1，1]，单调递减区间是[1，3）. （2）若f（x）的最小值为0，则h（x）＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有 解得a＝. 方法技巧 　　与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 跟踪训练 1.设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减 B.是奇函数，且在（－3，3）上单调递减 C.是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增 D.是偶函数，且在（－3，3）上单调递增 解析：A　函数f（x）的定义域为{x｜x≠±3}，f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g（x）＝｜x2－9｜，则f（x）＝ln g（x），由函数g（x）的图象（图略）可知，当x∈（－∞，－3），x∈（0，3）时，g（x）单调递减，当x∈（－3，0），x∈（3，＋∞）时，g（x）单调递增，由复合函数的单调性得f（x）的单调区间；由f（－x）＝ln｜（－x）2－9｜＝ln｜x2－9｜＝f（x）得f（x）为偶函数.故选A. 2.已知函数f（x）＝loga（2x－a）在区间［，］上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是　（，1）　. 解析：由题意得或解得＜a＜1. 第八节　对数函数 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　） A.log2x　　　　　　　 B. C.lox　 D.2x－2 解析：A　由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f（x）＝log2x. 2.函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域是（　　） A.　 B. C. D. 解析：C　函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域满足即. 3.已知函数f（x）＝｜lg x｜，若a＝f，b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c　 B.b＞c＞a C.a＞c＞b　 D.c＞a＞b 解析：C　∵a＝＝｜－lg 4｜＝lg 4，b＝＝｜－lg 2｜＝lg 2，c＝｜lg 3｜＝lg 3，且f（x）＝lg x在（0，＋∞）上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C. 4.函数f（x）＝log2·log4（4x2）的最小值为（　　） A.－　 B.－2 C.－　 D.0 解析：A　由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），所以f（x）＝（－2＋log2x）（1＋log2x）＝（log2x）2－log2x－2＝－≥－.当x＝时，函数取得最小值.故选A. 5.（多选）函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A.a＞1　 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 解析：BC　由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 6.（多选）已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（　　） A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的最大值为0 D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增 解析：BC　函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2（1－｜x｜）为偶函数，所以A错误，B正确；根据f（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）≤log21＝0，故C正确. 7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为　（1，4）　. 解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点（1，4）. 8.写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝　lox（答案不唯一）　. ①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减. 解析：由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，f（x）在定义域（0，＋∞）上为减函数，故f（x）可以为lox. 9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为　（－∞，－3）∪（3，＋∞）　. 解析：当x≥0时，由f（x）＝lg（3x＋1）－1＞0，得x＞3.又因为函数f（x）为偶函数，所以不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）. 10.设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间［0，］上的最大值. 解：（1）∵f（1）＝2，∴loga4＝2.又a＞0，且a≠1， ∴a＝2. 由得－1＜x＜3， ∴函数f（x）的定义域为（－1，3）. （2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）·（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增； 当x∈（1，］时，f（x）单调递减，故函数f（x）在［0，］上的最大值是f（1）＝log24＝2. 综合应用 B 巩固 11.若函数f（x）＝loga（x2＋x）（a＞0，且a≠1）在区间内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（0，＋∞）　 B.（2，＋∞） C.（1，＋∞）　 D.（，＋∞） 解析：A　令M＝x2＋x，当x∈（，＋∞）时，M∈（1，＋∞），恒有f（x）＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝（x＋）2－，所以M的单调递增区间为（－，＋∞）.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）. 12.（多选）已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A.f（x）在（0，2）上单调递增 B.f（x）在（0，2）上的最大值为0 C.f（x）的图象关于直线x＝1对称 D.f（x）的图象关于点（1，0）对称 解析：BC　f（x）＝ln x＋ln（2－x），定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x），令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈（0，2）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A不正确；f（x）max＝f（1）＝0，故B正确；∵f（1＋x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），f（1－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x），∴f（1＋x）＝f（1－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确. 13.已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是　［－，）　. 解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足即所以－≤a＜. 14.已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a＞0且a≠1. （1）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （2）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围. 解：（1）f（x）是奇函数，证明如下： 因为f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）， 所以 解得－1＜x＜1，f（x）的定义域为（－1，1）. f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（1＋x）－loga（－x＋1）]＝－f（x）， 故f（x）是奇函数. （2）因为当a＞1时，y＝loga（x＋1）是增函数， y＝loga（1－x）是减函数， 所以当a＞1时，f（x）在定义域（－1，1）内是增函数， f（x）＞0即loga（x＋1）－loga（1－x）＞0， loga＞0，＞1，＞0， 2x（1－x）＞0，解得0＜x＜1， 故使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）. 15.已知函数f（x）＝log2（＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 解：（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0， ∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数. ∴a＝0. （2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1＋a），最小值是f（1）＝log2（＋a）. 由题设得log2（1＋a）－log2（＋a）≥2， 则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）. ∴解得－＜a≤－. 故实数a的取值范围是（－，－ 学科网（北京）股份有限公司 $$