第七节指数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第七节　指数函数 课程目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 基础知识 1.指数函数的概念 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒　形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为　　　，值域为　　　　　 图象过定点　　　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　　　 　　　 提醒　指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　　） （2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　　） （3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.（　　） 2.（多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　） A.y＝x2　　　　　　 B.y＝ C.y＝2x　 D.y＝3x－1 3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是　　　　. 4.若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为　　　　. 常用结论 1.函数y＝ax与y＝（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），. 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 结论运用 1.已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（　　） 2.函数y＝ax－1－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 指数函数的图象及应用 【例1】　（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　） A.a＞1，b＜0　　　　 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0　 D.0＜a＜1，b＜0 （2）若函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围是　　　　. 方法技巧 有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 跟踪训练 1.函数y＝ax－a－1（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） 2.已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝　　　　. 考点2 指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 【例2】　（1）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b　 B.c＞b＞a C.a＞b＞c　 D.b＞a＞c （2）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.b＞c＞a　 B.b＞a＞c C.c＞b＞a　 D.c＞a＞b 方法技巧 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 考向2　解简单的指数方程或不等式 【例3】　已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝　　　　. 方法技巧 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 跟踪训练 1.若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是（　　） A.a＋b≤0　 B.a－b≥0 C.a－b≤0　 D.a＋b≥0 2.（2024·韶关一模）当0＜x＜时，方程ax＝（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是　　　　. 考点3 指数型函数性质的综合问题 【例4】（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　 B.[－2，0） C.（0，2]　 D.[2，＋∞） 变式1.若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　） A.（－∞，2]　 B.[2，＋∞） C.[－2，＋∞）　 D.（－∞，－2] 变式2.已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 方法技巧 指数型函数问题的求解策略 涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练 1.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是（　　） A.f（－4）＞f（1） B.f（－4）＝f（1） C.f（－4）＜f（1） D.不能确定 2.若函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，则（　　） A.a＞1，b＞1 B.a＞1，0＜b＜1 C.0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1，0＜b＜1 第六节　指数式、对数式的运算 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（　　） A.　 B. C.3　 D.2 2.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（　　） A. B.1 C. D.2 3.函数y＝图象的大致形状是（　　） 4.（2024·合肥模拟）已知a＝，b＝，c＝2，则（　　） A.b＜a＜c　 B.a＜b＜c C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 5.函数y＝（的单调递增区间是（　　） A.[1，2]　 B.[1，3] C.（－∞，2]　 D.[2，＋∞） 6.（多选）已知f（x）＝，则（　　） A.f（x）为奇函数　 B.f（x）为偶函数 C.f（x）为增函数　 D.f（x）为减函数 7.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过第　 　象限. 8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝　 　. 9.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝　 　. 10.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围； （2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围. 综合应用 B 巩固 11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（　　） A.（－∞，－） B.（－，＋∞） C.（－∞，－）∪（－，＋∞） D.R 12.设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝取函数f（x）＝2－｜x｜.当K＝时，函数fK（x）的单调递增区间为（　　） A.（－∞，0）　 B.（0，＋∞） C.（－∞，－1）　 D.（1，＋∞） 13.（多选）（2024·宜昌模拟）若函数f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（　　） A.a＝－1 B.f（x）是增函数 C.f（x）是减函数 D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为 14.已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）. （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最大值和最小值. 15.已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七节　指数函数 课程目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 　　基础知识 1.指数函数的概念 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒　形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为　R　，值域为　（0，＋∞）　 图象过定点　（0，1）　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　增函数　 　减函数　 提醒　指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　√　） （2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　×　） （3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.（　√　） 2.（多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　） A.y＝x2　　　　　 B.y＝ C.y＝2x　 D.y＝3x－1 解析：CD　y＝x2的值域为[0，＋∞）；y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；y＝2x的值域为（0，＋∞）；y＝3x－1的值域为（0，＋∞）. 3.已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是　（－∞，2）　. 解析：根据指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围是（－∞，2）. 4.若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为　（2，3）　. 解析：∵f（x）＝（a－2）x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 常用结论 1.函数y＝ax与y＝（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），. 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 结论运用 1.已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（　　） 解析：A　由结论3知选A. 2.函数y＝ax－1－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　（1，0）　. 解析：由结论2，在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过定点（1，0）. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 指数函数的图象及应用 　　 【例1】　（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　D　） A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 （2）若函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围是　（0，2）　. 解析：（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0. （2）在同一平面直角坐标系中画出y＝｜2x－2｜与y＝b的图象，如图所示.所以当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点.所以b的取值范围是（0，2）. 方法技巧 有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 跟踪训练 1.函数y＝ax－a－1（a＞0，且a≠1）的图象可能是（　　） 解析：D　函数y＝ax－的图象是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以B错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C错误.故选D. 2.已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝　0　. 解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2｜x＋a｜＝2｜－x＋a｜.根据指数函数的单调性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有当a＝0时，等式恒成立.故a＝0. 考点2 指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 【例2】　（1）（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b　 B.c＞b＞a C.a＞b＞c　 D.b＞a＞c （2）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.b＞c＞a　 B.b＞a＞c C.c＞b＞a　 D.c＞a＞b 答案：（1）D　（2）A 解析：（1） ∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D. （2）函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. 方法技巧 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 考向2　解简单的指数方程或不等式 【例3】　已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝　[－3，1]　. 解析：∵（）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. 方法技巧 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 跟踪训练 1.若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是（　　） A.a＋b≤0　 B.a－b≥0 C.a－b≤0　 D.a＋b≥0 解析：D　∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb①，令f（x）＝ex－π－x，则f（x）是R上的增函数，①式即为f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0. 2.（2024·韶关一模）当0＜x＜时，方程ax＝（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是　（4，＋∞）　. 解析：依题意，当x∈（0，）时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝的图象，如图，所以解得a＞4. 考点3 指数型函数性质的综合问题 【例4】　（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　 B.[－2，0） C.（0，2]　 D.[2，＋∞） 解析：D　设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. 变式1.若函数f（x）＝a｜2x－4｜（a＞0，且a≠1）满足f（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（　　） A.（－∞，2]　 B.[2，＋∞） C.[－2，＋∞）　 D.（－∞，－2] 解析：B　由f（1）＝，得a2＝，所以a＝或a＝－（舍去），即f（x）＝，由于y＝｜2x－4｜在（－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，y＝在（－∞，＋∞）上是减函数，所以f（x）在（－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞）上单调递减.故选B. 变式2.已知函数f（x）＝e｜x－a｜（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　（－∞，1]　. 解析：令t＝｜x－a｜，∴y＝et，t＝｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增.又y＝et为增函数，∴f（x）＝e｜x－a｜在（－∞，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，∴a≤1. 方法技巧 指数型函数问题的求解策略 涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练 1.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是（　　） A.f（－4）＞f（1） B.f（－4）＝f（1） C.f（－4）＜f（1） D.不能确定 解析：A　由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）. 2.若函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，则（　　） A.a＞1，b＞1 B.a＞1，0＜b＜1 C.0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1，0＜b＜1 解析：D　根据图象，函数f（x）＝ax－b是减函数，所以指数函数的底数a∈（0，1），根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈（0，1），解得b∈（0，1），即a∈（0，1），b∈（0，1）. 第六节　指数式、对数式的运算 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.函数f（x）＝（）x在区间[1，2]上的最大值是（　　） A.　 B. C.3　 D.2 解析：C　因为＞1，所以指数函数f（x）＝（）x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 2.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（　　） A. B.1 C. D.2 解析：D　由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0， ∴a＝2或a＝.当a＝2时，f（x）＝2x在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当a＝时，f（x）＝（）x在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.∴a＝2. 3.函数y＝图象的大致形状是（　　） 解析：C　∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断选项C符合. 4.（2024·合肥模拟）已知a＝，b＝，c＝2，则（　　） A.b＜a＜c　 B.a＜b＜c C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 解析：A　由a＝＝，b＝＝，c＝2＝，所以b＜a＜c.故选A. 5.函数y＝（的单调递增区间是（　　） A.[1，2]　 B.[1，3] C.（－∞，2]　 D.[2，＋∞） 解析：D　y＝（＝，∵y＝3x是增函数，y＝x2－4x在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，∴y＝在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增.故选D. 6.（多选）已知f（x）＝，则（　　） A.f（x）为奇函数　 B.f（x）为偶函数 C.f（x）为增函数　 D.f（x）为减函数 解析：AD　f（x）的定义域为R，关于原点对称，因为f（－x）＝＝＝－＝－f（x），所以f（x）为奇函数，A正确，B错误；因为f（x）＝＝－1，且y＝2x为增函数，所以y＝1＋2x为增函数，所以y＝－1为减函数，即f（x）为减函数，C错误，D正确.故选A、D. 7.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过第　三　象限. 解析：易知f（x）的图象恒过定点（2，2），所以m＝n＝2，所以g（x）＝2－2x，所以g（x）为减函数，且其图象过点（0，1），（1，0），所以g（x）的图象不经过第三象限. 8.已知函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝　或　. 解析：当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0（舍去）.当a＞1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0（舍去）.综上所述，a＝或a＝. 9.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝　1－（答案不唯一）　. 解析：f（x）＝1－，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1－为R上的增函数，且f（x）＝1－＜1，∴f（x）＝1－符合题意. 10.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）. （1）若f（x）的图象如图①所示，求实数a，b的取值范围； （2）若f（x）的图象如图②所示，｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，求m的取值范围. 解：（1）由f（x）＝ax＋b为减函数可得0＜a＜1， 又f（0）＝1＋b＜0，解得b＜－1， 所以实数a的取值范围为（0，1），实数b的取值范围为（－∞，－1）. （2）题图②中f（0）＝1＋b＝－2，所以b＝－3，函数y＝｜f（x）｜的图象如图所示. 由图象可知若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数解，则m＝0或m≥3，所以m的取值范围为{0}∪[3，＋∞）. 综合应用 B 巩固 11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在不等式a3x＋1＞a－2x中，x的取值范围是（　　） A.（－∞，－） B.（－，＋∞） C.（－∞，－）∪（－，＋∞） D. R 解析：A　∵函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，∴a－1＜0，即a＜1，∵a＞0且a≠1，∴0＜a＜1，∴y＝ax是减函数，又a3x＋1＞a－2x，∴3x＋1＜－2x，∴x＜－，即x∈（－∞，－）. 12.设函数y＝f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）＝取函数f（x）＝2－｜x｜.当K＝时，函数fK（x）的单调递增区间为（　　） A.（－∞，0）　 B.（0，＋∞） C.（－∞，－1）　 D.（1，＋∞） 解析：C　当K＝时，由f（x）＝2－｜x｜＞，得－1＜x＜1，由f（x）＝2－｜x｜≤，得x≤－1或x≥1，∴（x）＝∴（x）的单调递增区间为（－∞，－1）. 13.（多选）（2024·宜昌模拟）若函数f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，下列选项正确的是（　　） A.a＝－1 B.f（x）是增函数 C.f（x）是减函数 D.不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0的解集为 解析：ACD　因为f（x）＝a＋（x∈R）是奇函数，所以f（0）＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，A正确；因为y＝2x＋1为增函数，且y＝2x＋1＞1，所以y＝为减函数，所以f（x）是减函数，B不正确，C正确；因为f（x）是奇函数，所以不等式f（2t＋1）＋f（t－5）≤0等价于不等式f（2t＋1）≤f（5－t），因为f（x）是减函数，所以2t＋1≥5－t，解得t≥，D正确.故选A、C、D. 14.已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）. （1）求g（x）的解析式及定义域； （2）求函数g（x）的最大值和最小值. 解：（1）因为f（x）＝2x， 所以g（x）＝f（2x）－f（x＋2）＝22x－2x＋2. 因为f（x）的定义域是[0，3]， 所以 解得0≤x≤1. 即g（x）定义域为[0，1]. （2）g（x）＝（2x）2－4×2x＝（2x－2）2－4. 因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]， 所以当2x＝2即x＝1时，g（x）取得最小值－4； 当2x＝1即x＝0时，g（x）取得最大值－3. 15.已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围. 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. （2）由（1）得f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1）， ∵f（1）＜0，∴a－＜0， 又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1， ∴y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数， 故由单调性的性质可判断f（x）＝ax－a－x为减函数， 不等式f（m2－2）＋f（m）＞0可化为f（m2－2）＞f（－m）， ∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， ∴实数m的取值范围是（－2，1 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$