第六节指数式、对数式的运算讲义-2025届高三数学一轮复习

第六节　指数式、对数式的运算 课程目标 1.通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 基础知识 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么　　　叫做a的n次方根； ②式子叫做　　　　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝　　　.当n为奇数时，＝　　　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　 　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.对数 概念 如果　　　　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　　　　，其中a叫做对数的　　　　，N叫做　　　　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　　　　 负数和0没有对数 1的对数是　　　　：loga1＝　　　　 底数的对数是　　　：logaa＝　　　　 对数恒等式：＝　　　　 运算性质 loga（MN）＝　　　　　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　　　　 logaMn＝　　　　（n∈R） 换底公式 logab＝（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1） 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝－4.（　　） （2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　　） （3）log2x2＝2log2x.（　　） （4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga（M＋N）＝logaM＋logaN.（　　） 2.化简 （x＜0，y＜0）＝（　　） A.2x2y　 B.－2x2y C.2xy2　 D.－2xy2 3.（多选）下列等式成立的是（　　） A.（－2）－2＝　 B.2a－3＝ C.（－2）0＝－1 D.（）4＝ 4.计算：（1）lg ＋lg ＝　　　　； （2）log345－log35＝　　　　； （3）（）－2＋（2－（－1）0＝　　　　. 常用结论 1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. 结论运用 1.（2024·潍坊模拟）若log35·log2527＝a，则a＝　　　　. 2.log23·log34·log42＝　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 指数幂的化简与求值 【例1】　化简下列各式： （1）（2）0＋2－2×（2－（0.01）0.5； （2）（a＞0，b＞0）； （3）（×（－）0＋×－. 方法技巧 指数幂的运算 跟踪训练 1.已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝　　　. 2.化简与求值： （1）（－（2）0.5＋（0.027； （2）÷（（a＞0，b＞0）. 考点2 对数式的化简与求值 考向1　对数式的化简与计算 【例2】　计算下列各式： （1）log225·log3（2）·log59； （2）； （3）log23·log38＋（. 方法技巧 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误. 考向2　指数式与对数式的综合应用 【例3】　（1）已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝（　　） A.3　 B. C.9　 D. （2）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　　） A.　 B.10 C.20　 D.100 方法技巧 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解. 跟踪训练 1.已知2a＝5，b＝log83，则4a－3b＝（　　） A.25　 B.5 C.　 D. 2.计算：（1）log535＋2lo－log5－log514； （2）（＋eln 3＋lo－log34·log23. 　　 第六节　指数式、对数式的运算 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.已知a＞0，则＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C.　 D. 2.若代数式＋有意义，则＋2＝（　　） A.2　　 B.3　　C.2x－1　　 D.x－2 3.若log2x＋log4y＝1，则（　　） A.x2y＝2　 B.x2y＝4 C.xy2＝2　 D.xy2＝4 4.（2024·济宁模拟）已知a＝log23，b＝log25，则log415＝（　　） A.2a＋2b　 B.a＋b C.ab　 D.a＋b 5.（2024·宁波一模）计算［（－）－2＋log25－log210＝（　　） A.－10　 B.－8 C.10　 D.8 6.（2024·河西区模拟）计算2log32－log3＋（－1）0＋log38－2＝（　　） A.－7　 B.－3 C.0　 D.－6 7.（多选）设f（x）＝，g（x）＝，则下列结论正确的有（　　） A.[g（x）]2－[f（x）]2＝1 B.[g（x）]2＋[f（x）]2＝g（2x） C.g（2x）＝2f（x）g（x） D.f（2x）＝2f（x）g（x） 8.（2）（－6）÷（－3）（a＞0且b＞0）＝　 　. 9.（2024·六盘水一模）若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝　 　. 10.计算： （1）1－－－＋（－）0； （2）log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－. 综合应用 B 巩固 11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 12.（多选）（2024·咸宁模拟）下列运算中正确的是（　　） A.－（＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 13.（2024·南通一模）已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A＝　 　. 14.若a＝log23，3b＝2，则2a＋2－a＝　 　，ab＝　 　. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六节　指数式、对数式的运算 课程目标 1.通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 基础知识 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根； ②式子叫做　根式　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝　a　.当n为奇数时，＝　a　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概 念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运 算 性 质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.对数 概念 如果　ax＝N　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　logaN　，其中a叫做对数的　底数　，N叫做　真数　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　x＝logaN　 负数和0没有对数 1的对数是　0　：loga1＝　0　 底数的对数是　1　：logaa＝　1　 对数恒等式：＝　N　 运算性质 loga（MN）＝　logaM＋logaN　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　logaM－logaN　 logaMn＝　nlogaM　（n∈R） 换底公式 logab＝（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1） 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝－4.（　×　） （2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　×　） （3）log2x2＝2log2x.（　×　） （4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga（M＋N）＝logaM＋logaN.（　×　） 2.化简 （x＜0，y＜0）＝（　　） A.2x2y　 B.－2x2y C.2xy2　 D.－2xy2 解析：B　因为x＜0，y＜0，所以＝（16x8·y4＝（16·（x8·（y4＝2x2｜y｜＝－2x2y. 3.（多选）下列等式成立的是（　　） A.（－2）－2＝　　　 B.2a－3＝ C.（－2）0＝－1 D.（）4＝ 解析：AD　对于A项，（－2）－2＝，故A项正确；对于B项，2a－3＝，故B项错误；对于C项，（－2）0＝1，故C项错误；对于D项，（）4＝，故D项正确.故选A、D. 4.计算：（1）lg ＋lg ＝　　； （2）log345－log35＝　2　； （3）（）－2＋（2－（－1）0＝　49 　. 解析：（1）lg ＋lg ＝lg（×）＝lg＝lg 1＝. （2）log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2. （3）（）－2＋（2－（－1）0＝72＋（－1＝49＋－1＝49. 常用结论 1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. 结论运用 1.（2024·潍坊模拟）若log35·log2527＝a，则a＝　　. 解析：由结论1知，log35·log2527＝log35·lo33＝log35·log53＝，所以a＝. 2.log23·log34·log42＝　1　. 解析：由结论2知，log23·log34·log42＝log22＝1. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 指数幂的化简与求值 【例1】　化简下列各式： （1）（2）0＋2－2×（2－（0.01）0.5； （2）（a＞0，b＞0）； （3）（×（－）0＋×－. 解：（1）原式＝1＋×（－（＝1＋×－＝1＋－＝. （2）原式＝＝·＝. （3）原式＝（×1＋×－（＝2. 方法技巧 指数幂的运算 跟踪训练 1.已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝　7　. 解析：由f（a）＝3得2a＋2－a＝3，所以（2a＋2－a）2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f（2a）＝22a＋2－2a＝7. 2.化简与求值： （1）（－（2）0.5＋（0.027； （2）÷（（a＞0，b＞0）. 解：（1）原式＝（－（）0.5＋（0.3＝－＋0.09＝－0.16. （2）原式＝÷（ ＝÷（ ＝÷（ ＝÷（ab） ＝ ＝. 考点2 对数式的化简与求值 考向1　对数式的化简与计算 【例2】　计算下列各式： （1）log225·log3（2）·log59； （2）； （3）log23·log38＋（. 解：（1）法一　log225·log3（2）·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二　log225·log3（2）·log59＝··＝··＝6. （2）原式＝＝＝1. （3）原式＝·＋＝3＋＝3＋2＝5. 方法技巧 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误. 考向2　指数式与对数式的综合应用 【例3】（1）已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝（　　） A.3　　　　　　　　 B. C.9　 D. （2）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　　） A.　 B.10 C.20　 D.100 答案：（1）D　（2）A 解析：（1）∵loga＝m，loga3＝n，∴am＝，an＝3.∴am＋2n＝am·a2n＝am·（an）2＝×32＝. （2）∵2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝（舍m＝－）. 方法技巧 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解. 跟踪训练 1.已知2a＝5，b＝log83，则4a－3b＝（　　） A.25　 B.5 C.　 D. 解析：C　由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝log25.又b＝log83＝＝log23，所以a－3b＝log25－log23＝log2＝＝2log4＝log4，所以4a－3b＝＝，故选C. 2.计算：（1）log535＋2lo－log5－log514； （2）（＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：（1）原式＝log535－log5－log514＋lo（）2＝log5＋lo2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. （2） 原式＝（＋3－log2－2log32·log23＝＋3－－2＝3. 第六节　指数式、对数式的运算 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.已知a＞0，则＝（　　） A.　　　　　　　　 B. C.　 D. 解析：B　＝＝＝.故选B. 2.若代数式＋有意义，则＋2＝（　　） A.2　　 B.3　　C.2x－1　　 D.x－2 解析：B　由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＝＋2｜x－2｜＝｜2x－1｜＋2｜x－2｜＝2x－1＋2（2－x）＝3. 3.若log2x＋log4y＝1，则（　　） A.x2y＝2　 B.x2y＝4 C.xy2＝2　 D.xy2＝4 解析：B　log2x＋log4y＝log2x＋log2y＝log2x＋log2＝log2（x）＝1，所以x＝2，两边平方得x2y＝4.故选B. 4.（2024·济宁模拟）已知a＝log23，b＝log25，则log415＝（　　） A.2a＋2b　 B.a＋b C.ab　 D.a＋b 解析：D　log415＝log215＝（log23＋log25）＝a＋b，故选D. 5.（2024·宁波一模）计算［（－）－2＋log25－log210＝（　　） A.－10　 B.－8 C.10　 D.8 解析：D　［（－）－2＋log25－log210＝（36＋log2＝9－1＝8.故选D. 6.（2024·河西区模拟）计算2log32－log3＋（－1）0＋log38－2＝（　　） A.－7　 B.－3 C.0　 D.－6 解析：D　原式＝log34－log3＋log38＋1－＝log3（4××8）＋1－＝log39＋1－9＝－6. 7.（多选）设f（x）＝，g（x）＝，则下列结论正确的有（　　） A.[g（x）]2－[f（x）]2＝1 B.[g（x）]2＋[f（x）]2＝g（2x） C.g（2x）＝2f（x）g（x） D.f（2x）＝2f（x）g（x） 解析：ABD　因为[g（x）]2－[f（x）]2＝[g（x）＋f（x）]·[g（x）－f（x）]＝ex·e－x＝1，所以A选项正确；因为[g（x）]2＋[f（x）]2＝，g（2x）＝，所以B选项正确；因为2f（x）g（x）＝，g（2x）＝，所以C选项不正确；因为f（2x）＝，2f（x）g（x）＝，所以D选项正确.故选A、B、D. 8.（2）（－6）÷（－3）（a＞0且b＞0）＝　4a　. 解析：原式＝·＝4a. 9.（2024·六盘水一模）若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝　ln 2　. 解析：ex＝2 024，e－y＝1 012，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 10.计算： （1）1－－－＋（－）0； （2）log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－. 解：（1）1－－－＋（－）0 ＝1－－－＋1 ＝1－－2＋－＋1＝－. （2）log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln ＋＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2＝. 综合应用 B 巩固 11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（　　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 解析：B　由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 12.（多选）（2024·咸宁模拟）下列运算中正确的是（　　） A.－（＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 解析：AB　对于A，－＝－＝－＝－2，正确；对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，不正确.故选A、B. 13.（2024·南通一模）已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A＝　7　. 解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A＞0，故A＝＝7. 14.若a＝log23，3b＝2，则2a＋2－a＝　　，ab＝　1　. 解析：2a＋2－a＝＋＝3＋＝.∵3b＝2，∴b＝log32，∴ab＝log23×log32＝ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$