第五节幂函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第五节　幂函数 课程目标 1.通过具体实例，理解幂函数的概念. 2.结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律. 基础知识 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝　　　　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 提醒　幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项. 2.常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} 　　　 奇偶性 奇函数 　　函数 奇函数 　　　函数 奇函数 单调性 增函数 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 增函数 增函数 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2是幂函数.（　　） （2）当n＞0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上单调递增.（　　） （3）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.（　　） 2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　） A.　　　　　　　　 B.4 C.　 D. 3.已知幂函数f（x）＝，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减 D.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增 4.已知α∈{－2，－1，，1，2，3}.若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则α＝　　　　. 常用结论 幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 结论运用 函数y＝－1的图象大致是（　　） 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 幂函数的图象与性质 【例1】　（1）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ D.－1＜n＜0＜m＜1 （2）幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝　　　　. 方法技巧 幂函数的图象与性质特征的关系 （1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； （2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断； （3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上单调递减，则α＜0. 跟踪训练 有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　　　　. 考点2 幂函数性质的应用 【例2】　（1）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c　　 　　　 B.a＞c＞b C.c＞a＞b　 D.b＞c＞a （2）已知幂函数f（x）的图象过点（－8，－2），且f（a＋1）≤－f（a－3），则实数a的取值范围是　　　　. 方法技巧 比较幂值大小的策略 （1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较； （2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较； （3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来进行比较. 跟踪训练 1.若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（　　） A.（，）　　　　　　 B.（－∞，－1） C.（－∞，－1）∪（，）　 D.⌀ 2.（多选）幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　　） A.m＝3 B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 第五节　幂函数 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 　　 1.若f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）＝（　　） A.3　 B.－3 C.　 D.－ 2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A.y＝x5　　　　　　 B.y＝3｜x｜ C.y＝　 D.y＝log3x 3.已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 4.若幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数y＝f（x）＋1－x的最大值为（　　） A.1　 B. C.2　 D. 5.已知函数f（x）＝x－3，若a＝f（0.60.6），b＝f（0.60.4），c＝f（0.40.6），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜c＜b　 B.b＜a＜c C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 6.（多选）已知函数g（x）＝ax－2－（a＞0且a≠1）的图象过定点A，幂函数 f（x）＝xb的图象经过点A，则（　　） A.f（x）在其定义域内是减函数 B.f（x）的图象经过点（1，1） C.f（x）是奇函数 D.f（x）的定义域是R 7.（多选）已知幂函数f（x）＝（m＋）xm，则（　　） A.f（－32）＝ B.f（x）的定义域是R C.f（x）是偶函数 D.不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3] 8.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a＝　　. 9.幂函数y＝（n∈N）的图象一定经过第　 　象限. 10.已知函数f（x）＝xα＋2x（α≠0），且f（4）＝10，则α＝　 　，若f（m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是　 　. 综合应用 B 巩固 11.已知幂函数y＝（p，q∈N*，q＞1且p，q互质）的图象如图所示，则（　　） A.p，q均为奇数，且＞1 B.q为偶数，p为奇数，且＞1 C.q为奇数，p为偶数，且＞1 D.q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 12.已知函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f（a）＋f（b）的值（　　） A.恒大于0　 B.恒小于0 C.等于0　 D.无法判断 13.已知函数f（x）＝（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，）. （1）确定m的值； （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五节　幂函数 课程目标 1.通过具体实例，理解幂函数的概念. 2.结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律. 　　基础知识 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 提醒　幂函数的特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②xα的系数为1；③只有一项. 2.常见的五种幂函数的图象和性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 R {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 性质 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 增函数 增函数 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 基础知识 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2是幂函数.（　×　） （2）当n＞0时，幂函数y＝xn在（0，＋∞）上单调递增.（　√　） （3）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.（　√　） 2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　） A.　　 B.4　　C.　　 D. 解析：A　设f（x）＝xα，∵图象过点，∴f（2）＝2α＝，解得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝. 3.已知幂函数f（x）＝，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减 D.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增 解析：D　因为f（x）＝，故f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，故选D. 4.已知α∈{－2，－1，，1，2，3}.若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则α＝　－1　. 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在（0，＋∞）上单调递减，∴α＜0，故α＝－1. 常用结论 幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 结论运用 函数y＝－1的图象大致是（　　） 解析：A　由结论知，函数y＝的图象恒过点（1，1），则y＝－1的图象过点（1，0）且为增函数.故选A. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 幂函数的图象与性质 【例1】　（1）若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　D　） A.－1＜m＜0＜n＜1　 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜　 D.－1＜n＜0＜m＜1 （2）幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝　2　. 解析：（1）幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. （2）由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f（x）＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 方法技巧 幂函数的图象与性质特征的关系 （1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； （2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断； （3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上单调递减，则α＜0. 跟踪训练 有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质 ：（1）偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　f（x）＝x－2　. 解析：f（x）＝x－1只满足性质（2），f（x）＝x3只满足性质（3），f（x）＝只满足性质（3）.f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上单调递增，但是其值域是{y｜y＞0}. 考点2 幂函数性质的应用 【例2】（1）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　B　） A.a＞b＞c　 B.a＞c＞b C.c＞a＞b　 D.b＞c＞a （2）已知幂函数f（x）的图象过点（－8，－2），且f（a＋1）≤－f（a－3），则实数a的取值范围是　（－∞，1]　. 解析：（1）因为y＝在第一象限内单调递增，所以a＝＞c＝，因为y＝是减函数，所以c＝＞b＝，所以a＞c＞b. （2）设f（x）＝xα，则（－8）α＝－2，解得α＝，所以f（x）＝，则f（x）在R上是增函数，且为奇函数，所以f（a＋1）≤－f（a－3）等价于f（a＋1）≤f（3－a），则a＋1≤3－a，解得a≤1. 方法技巧 比较幂值大小的策略 （1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较； （2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较； （3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来进行比较. 跟踪训练 1.若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（　　） A.（，）　 B.（－∞，－1） C.（－∞，－1）∪（，）　 D.⌀ 解析：C　分三种情况考虑：①解得＜m＜；②此时无解；③解得m＜－1.综上可得，m∈（－∞，－1）∪（，）.故选C. 2.（多选）幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　　） A.m＝3 B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 解析：ABD　因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，所以解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增. 第五节　幂函数 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.若f（x）是幂函数，且满足＝3，则f（）＝（　　） A.3　 B.－3 C.　 D.－ 解析：C　设f （x）＝xα，则＝2α＝3，∴f （）＝（）α＝.故选C. 2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A.y＝x5　　　　　　 B.y＝3｜x｜ C.y＝　 D.y＝log3x 解析：A　对于A选项，y＝x5为R上的奇函数，且为R上的增函数，A选项符合题意；对于B选项，y＝3｜x｜为偶函数，B选项不符合题意；对于C选项，y＝的定义域为[0，＋∞），为非奇非偶函数，C选项不符合题意；对于D选项，y＝log3x的定义域为（0，＋∞），为非奇非偶函数，D选项不符合题意.故选A. 3.已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 解析：C　由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B、D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内单调递减，可得α＜0，排除A选项.故选C. 4.若幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数y＝f（x）＋1－x的最大值为（　　） A.1　 B. C.2　 D. 解析：B　设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，），∴f（2）＝2α＝，则α＝，∴f（x）＝，∴y＝＋1－x＝－（－）2＋，∴所求最大值为.故选B. 5.已知函数f（x）＝x－3，若a＝f（0.60.6），b＝f（0.60.4），c＝f（0.40.6），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜c＜b　 B.b＜a＜c C.b＜c＜a　 D.c＜a＜b 解析：B　因为0.40.6＜0.60.6＜0.60.4，又y＝f（x）＝x－3在（0，＋∞）上单调递减，所以b＜a＜c. 6.（多选）已知函数g（x）＝ax－2－（a＞0且a≠1）的图象过定点A，幂函数 f（x）＝xb的图象经过点A，则（　　） A.f（x）在其定义域内是减函数 B.f（x）的图象经过点（1，1） C.f（x）是奇函数 D.f（x）的定义域是R 解析：BC　由x－2＝0，得x＝2，可得g（2）＝1－＝，故函数g（x）＝ax－2－（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，），则f（2）＝2b＝，解得b＝－1，则f（x）＝，所以f（x）的定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为奇函数，函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，但f（x）在其定义域内不单调.因为f（1）＝1，所以函数f（x）的图象经过点（1，1）.故选B、C. 7.（多选）已知幂函数f（x）＝（m＋）xm，则（　　） A.f（－32）＝ B.f（x）的定义域是R C.f（x）是偶函数 D.不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3] 解析：ACD　因为函数f（x）是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f（x）＝，f（－32）＝[（－2）5＝（－2）－4＝，故A正确；函数的定义域是{x｜x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故C正确；易知函数f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x－1）≥f（2）等价于｜x－1｜≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1）∪（1，3]，故D正确. 8.已知函数f（x）为幂函数，且f（4）＝，则当f（a）＝4f（a＋3）时，实数a＝　　. 解析：设f（x）＝xα，则4α＝，所以α＝－.因此f（x）＝，从而＝4（a＋3，解得a＝. 9.幂函数y＝（n∈N）的图象一定经过第　一、三　象限. 解析：因为n为自然数，所以n（n＋1）为偶数，则n2＋n＋1为奇数，所以y＝（n∈N）是奇函数，且函数的图象经过点（0，0）和点（1，1），f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以幂函数y＝（n∈N）的图象一定经过第一、三象限. 10.已知函数f（x）＝xα＋2x（α≠0），且f（4）＝10，则α＝　　，若f（m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是　（，1］　. 解析：f（4）＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝，所以f（x）＝＋2x＝＋2x，其定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数.由f（m）＞f（－m＋1）可得解得＜m≤1，故实数m的取值范围为（，1］. 综合应用 B 巩固 11.已知幂函数y＝（p，q∈N*，q＞1且p，q互质）的图象如图所示，则（　　） A.p，q均为奇数，且＞1 B.q为偶数，p为奇数，且＞1 C.q为奇数，p为偶数，且＞1 D.q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 解析：D　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数.因为幂函数y＝的图象在第一象限内向上凸起，且在（0，＋∞）上单调递增，所以0＜＜1. 12.已知函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f（a）＋f（b）的值（　　） A.恒大于0　 B.恒小于0 C.等于0　 D.无法判断 解析：A　∵函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴m2－6＞0，∴m＝3，∴f（x）＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，∴f（a）＞f（－b）＝－f（b），∴f（a）＋f（b）＞0.故选A. 13.已知函数f（x）＝（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，）. （1）确定m的值； （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 解：（1）因为该函数的图象过点（2，）， 所以＝＝， 所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2， 又m∈N*，故m＝1. （2）由（1）知f（x）＝，故f（x）为[0，＋∞）上的增函数，又由f（2－a）＞f（a－1）， 得解得1≤a＜. 所以满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$