第四节二次函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第四节　二次函数 课程目标 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 基础知识 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 　　　　　 单调性 在x∈（－∞，－］上单调递减； 在x∈　　　　上单调递增 在x∈（－∞，－］上单调递增； 在x∈　　　　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　　　　对称 提醒　注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　　） （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[m，n]）的最值一定是.（　　） （3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.（　　） （4）二次函数y＝a（x－1）2＋2的单调递增区间是[1，＋∞）.（　　） 2.函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]上的值域为（　　） A.[－6，2]　　　 　　 B.[—6，1] C.[0，2]　 D.[0，1] 3.若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t的取值范围是　　　　. 常用结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]： （1）当－≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）； （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f（n）； （3）当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f（m）； （4）当－＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 结论运用 已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m＝　　　　. 聚焦考点 课堂演练 考点1 二次函数的解析式 【例1】　已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 方法技巧 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式. 条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}； 条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 考点2 二次函数的图象和性质 考向1　二次函数图象的识别 【例2】　（多选）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A.b2＞4ac　　　 B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 　 D.5a＜b 方法技巧 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的单调性与最值 【例3】　已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 方法技巧 二次函数最值问题的类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动. （2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 跟踪训练 1.设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　） 2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞）　 B.（－∞，0] C.[0，4]　 D.（－∞，0]∪[4，＋∞） 3.已知函数f（x）＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f（x）的最大值G（t）. 第四节　二次函数 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.若f（x）＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　　　　　　　 B.（－2，2） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）　 D.（1，3） 2.已知函数f（x）＝（m－1）x2－2mx＋3是偶函数，则在（－∞，0）上此函数（　　） A.单调递增　 B.不是单调函数 C.单调递减　 D.不能确定 3.函数y＝1－｜x－x2｜的图象大致是（　　） 4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0，则（　　） A.∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0 B.∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0 C.∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0 D.∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0 5.已知函数f（x）＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是（　　） A.[2，＋∞）　 B.[2，4] C.（－∞，2]　 D.[0，2] 6.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最大值为 B.f（x）在（－1，0）上单调递增 C.f（x）＞0的解集为（－1，1） D.f（x）＋2x≥0的解集为[0，3] 7.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　　0，ac　　0，a－b＋c　　0.（填“＞”“＜”或“＝”） 8.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝　　. 9.设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是　 　. 10.已知二次函数f（x）的最小值为1，函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（0）＝3. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围. 综合应用 B 巩固 11.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，0]　 B.[0，3] C.（－∞，0]∪[3，＋∞） 　 D.[3，＋∞） 12.已知函数f（x）＝2x2－mx－3m，则“m＞2”是“f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立”的（　　） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 13.现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且满足　　.（填所选条件的序号） （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）－mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值. 注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分. 14.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是　　. 15.定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）＋＋x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四节　二次函数 课程目标 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 基础知识 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）. 2.二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 单调性 在x∈（－∞，－］上单调递减； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递增 在x∈（－∞，－］上单调递增； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　－　对称 提醒　注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　×　） （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[m，n]）的最值一定是.（　×　） （3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.（　√　） （4）二次函数y＝a（x－1）2＋2的单调递增区间是[1，＋∞）.（　×　） 2.函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]上的值域为（　　） A.[－6，2]　 B.[—6，1] C.[0，2]　 D.[0，1] 解析：A　函数f（x）＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f（x）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域为[－6，2]. 3.若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t的取值范围是　（－∞，1]　　. 解析：函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴.又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t≤1. 常用结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]： （1）当－≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）； （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f（n）； （3）当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f（m）； （4）当－＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 结论运用 已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m＝　2　　. 解析：f（x）＝－2x2＋mx＋3＝－2＋＋3，∵0≤m≤4，∴0≤≤1，由结论可知，当x＝时，f（x）取得最大值，∴＋3＝4，解得m＝2. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 二次函数的解析式 【例1】　已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 解：法一（利用二次函数的一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二（利用二次函数的顶点式）　设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴抛物线对称轴为x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a＋8. ∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 方法技巧 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式. 条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}； 条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：函数f（x）＝x2＋bx＋c，则g（x）＝f（x）＋2x＝x2＋（b＋2）x＋c， 因为g（x）为偶函数，所以g（－x）＝g（x）， 即x2－（b＋2）x＋c＝x2＋（b＋2）x＋c，可得b＝－2， 所以f（x）＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1. 若选条件①，因为函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以f（－2）＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3. 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3. 若选条件②，由函数f（x）≤0的解集为{1}， 可得f（1）＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x＋1. 若选条件③，方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c， 又（x1＋x2）2＝＋＋2x1x2， 所以4＝10＋2c，解得c＝－3. 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3. 考点2 二次函数的图象和性质 考向1　二次函数图象的识别 【例2】　（多选）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A.b2＞4ac　　　 B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 　 D.5a＜b 解析：AD　因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 方法技巧 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的单调性与最值 【例3】　已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f（x）min＝f（－）＝－－3＝－， f（x）max＝f（3）＝15， ∴f（x）的值域为［－，15］. （2）函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f（x）max＝f（－1）＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或a＝－1. 方法技巧 二次函数最值问题的类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动. （2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 跟踪训练 1.设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　） 解析：D　因为abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞）　 B.（－∞，0] C.[0，4]　 D.（－∞，0]∪[4，＋∞） 解析：C　由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4. 3.已知函数f（x）＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f（x）的最大值G（t）. 解：f（－1）＝t，f（2）＝3－2t，f（2）－f（－1）＝3－3t， 当t≥1时，f（2）－f（－1）≤0， ∴f（2）≤f（－1）， ∴f（x）max＝f（－1）＝t； 当t＜1时，f（2）－f（－1）＞0， ∴f（2）＞f（－1）， ∴f（x）max＝f（2）＝3－2t， 综上有G（t）＝ 第四节　二次函数 课后分层跟踪巩固 　基础达标 A 1.若f（x）＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]　　　　　　　 B.（－2，2） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）　 D.（1，3） 解析：C　∵f（x）＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4＞0，则a＞2或a＜－2. 2.已知函数f（x）＝（m－1）x2－2mx＋3是偶函数，则在（－∞，0）上此函数（　　） A.单调递增　 B.不是单调函数 C.单调递减　 D.不能确定 解析：A　因为函数f（x）＝（m－1）x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0.所以f（x）＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在（－∞，0）上函数单调递增.故选A. 3.函数y＝1－｜x－x2｜的图象大致是（　　） 解析：C　当0≤x≤1时，y＝x2－x＋1＝（x－）2＋，又当x＞1或x＜0时，y＝－x2＋x＋1＝－（x－）2＋，因此，结合图象，选项C正确. 4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0，则（　　） A.∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0 B.∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0 C.∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0 D.∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0 解析：B　由a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上.因为f（0）＝c＜0，f（1）＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正确，A、C、D错误，故选B. 5.已知函数f（x）＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是（　　） A.[2，＋∞）　 B.[2，4] C.（－∞，2]　 D.[0，2] 解析：B　因为函数f（x）＝3x2－12x＋5＝3（x－2）2－7，所以函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，且函数 f（x）的最小值为f（2）＝－7.令f（x）＝5，解得x＝0或4，因为f（x）在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，所以n的取值范围是2≤n≤4，故选B. 6.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最大值为 B.f（x）在（－1，0）上单调递增 C.f（x）＞0的解集为（－1，1） D.f（x）＋2x≥0的解集为[0，3] 解析：AD　由题意，当x≥0时，f（x）＝x－x2＝－（x－）2＋；当x＜0时，f（x）＝－x2－x＝－（x＋）2＋，f（x）的最大值为，A正确；f（x）在（－，0）上单调递减，B错误；f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1），C错误；当x≥0时，f（x）＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f（x）＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确. 7.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　＞　0，ac　＜　0，a－b＋c　＜　0.（填“＞”“＜”或“＝”） 解析：因为a＜0，－＞0，c＞0，所以b＞0，ac＜0.设y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f（－1）＜0. 8.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝　x2＋2x＋1　. 解析：设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a（a≠0），又f（x）＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f（x）＝x2＋2x＋1. 9.设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是　[0，2]　. 解析：依题意a≠0，二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以a＞0，即函数图象的开口向上，所以f（0）＝f（2），则当f（m）≤f（0）时，有0≤m≤2. 10.已知二次函数f（x）的最小值为1，函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（0）＝3. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围. 解：（1）因为函数y＝f（x＋1）是偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称， 又因为f（x）的最小值为1，所以可设f（x）＝a（x－1）2＋1， 又f（0）＝3，所以a＝2，所以f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3. （2）要使f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，则或解得≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为（－∞，0]∪［，1）. 综合应用 B 巩固 11.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，0]　 B.[0，3] C.（－∞，0]∪[3，＋∞） 　 D.[3，＋∞） 解析：C　二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）. 12.已知函数f（x）＝2x2－mx－3m，则“m＞2”是“f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立”的（　　） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立，则解得m＞3，又{m｜m＞3}是{m｜m＞2}的真子集，所以“m＞2”是“f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立”的必要不充分条件. 13.现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且满足　　.（填所选条件的序号） （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）－mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值. 注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：（1）条件①：因为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 所以f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c－（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b＝2x－2， 即2（a－1）x＋a＋b＋2＝0对任意的x∈R恒成立， 所以解得 条件②：因为不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}， 所以解得且a＞0. 条件③：函数y＝f（x）的图象过点（3，2）， 所以9a＋3b＋c＝2， 若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2； 若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2； 若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2. （2）由（1）知g（x）＝x2－（m＋3）x＋2，其对称轴为直线x＝， 当≤1，即m≤－1时，g（x）min＝g（1）＝3－（m＋3）＝－m＝3，解得m＝－3， 当≥2，即m≥1时，g（x）min＝g（2）＝6－（2m＋6）＝－2m＝3，解得m＝－（舍去）， 当1＜＜2，即－1＜m＜1时，g（x）min＝g（）＝－＋2＝3，无解. 综上所述，所求实数m的值为－3. 14.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是　（－3，0）　. 解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数函数为f（x）＝ax2＋x＋2，若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈⌀；若a＜0，即函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）. 15.定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）＋＋x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值. 解：（1）∵f（x＋1）为偶函数，∴函数f（x）的图象关于x＝1对称， ∴－＝1. ∵函数f（x）有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根， ∴Δ＝（b－1）2＝0，解得b＝1，又－＝1，∴a＝－， ∴f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋x. （2）g（x）＝－x2＋x＋＋x2＝x＋，x∈[1，2]， g'（x）＝1－＝， 当k≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1＋k； 当1＜k＜4时，g（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增，g（x）min＝g（）＝2； 当k≥4时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝2＋. 综上所述，当k≤1时，最小值为1＋k；当1＜k＜4时，最小值为2；当k≥4时，最小值为2＋ 学科网（北京）股份有限公司 $$