第二节函数的单调性与最值讲义-2025届高三数学一轮复习

第二节　函数的单调性与最值 课程目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 基础知识 　1.函数的单调性 （1）单调性的定义 定义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　　　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与f（x2） 都有　　　　 都有　　　　 　 结论 函数f（x）在区间I上　　　；若函数 f（x）在定义域D上单调递增，则f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　　　　　；若函数f（x）在定义域D上单调递减，则f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　　　　 自左向右看图象是　　　　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　或　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　　　　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒　（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　　　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　　　 ①∀x∈D，都有　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　 结论 M是函数y＝f（x）的　　　　值 M是函数y＝f（x）的　　　　值 提醒　（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝在定义域内单调递减.（　　） （2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（　　） （3）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（　　） 2.(多选）下列函数中是增函数的为（　　） A.f（x）＝x　 B.f（x）＝ C.f（x）＝x2　 D.f（x）＝ 3.(多选）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（　　） A.[－1，2] B.[－1，2] C.[4，5] D.[－3，－1]和[2，4] 4.函数y＝在[2，3]上的最小值为（　　） A.2　　 B.　　　 C.　　 D.－ 5.函数f（x）＝的单调递增区间为　　　　. 常用结论 1.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 2.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在I上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在I上单调递减. 结论运用 1.（多选）若函数f（x），g（x）在给定的区间D上具有单调性，下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）与f（x）－c（c为常数）具有相同的单调性 B.函数f（x）与c·f（x）具有相同的单调性 C.若f（x）≠0，则函数f（x）与－具有相反的单调性 D.若函数f（x），g（x）在给定的区间上单调递减，则f（x）＋g（x）单调递减 2.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实数x的取值范围是　　　　. 　　聚焦考点 课堂演练 考点1 判断函数的单调性（区间） 考向1　判断或证明函数的单调性 【例1】　已知a＞0，函数f（x）＝x＋（x＞0），利用定义法证明：函数f（x）在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增. 变式 本例变为：用定义证明函数f（x）＝ex＋在（0，＋∞）上单调递增. 方法技巧 定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 考向2　求函数的单调区间 【例2】　函数f（x）＝｜x－2｜x的单调递增区间为　　　　. 方法技巧 确定函数的单调区间的方法 跟踪训练 1.（多选）下列函数在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.f（x）＝ln x　 B.f（x）＝e－x C.f（x）＝　 D.f（x）＝－ 2.函数f（x）＝－x的单调递增区间为（　　） A.（0，）　 B.（0，1） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 考点2 函数单调性的应用 考向1　利用单调性比较函数值的大小 【例3】　若f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞）且x1≠x2，有＜0，则（　　） A.f（3）＜f（1）＜f（－2） B.f（3）＜f（－2）＜f（1） C.f（－2）＜f（1）＜f（3） D.f（1）＜f（－2）＜f（3） 方法技巧 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小. 考向2　利用单调性解不等式 【例4】　已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是　　　　. 方法技巧 考向3　利用函数的单调性求参数的值（范围） 【例5】　已知函数f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是　　　　. 方法技巧 利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 跟踪训练 1.若函数f（x）＝｜2x＋a｜的单调递增区间是[3，＋∞），则a＝（　　） A.－2　　 B.2　　　 C.－6　　 D.6 2.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，则｜f（x＋1）｜＜1的解集为　　　　. 考点3 函数的值域（最值） 【例6】　求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 方法技巧 求函数最值（值域）的五种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 提醒　（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域； （2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值. 跟踪训练 1.函数y＝的值域是　　　　. 2.函数f（x）＝的最大值为　　　　. 第二节 函数的单调性与最值 课后分层跟踪巩固 　　 基础达标 A 1.（多选）函数f（x）＝在（　　） A.（－∞，1）上单调递增 B.（－∞，1）上单调递减 C.（1，＋∞）上单调递增 D.（1，＋∞）上单调递减 2.（2024·黄冈中学一模）已知定义域为R的函数f（x），∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0，则（　　） A.f（3）＜f（π）＜f（2）　 B.f（π）＜f（3）＜f（2） C.f（2）＜f（π）＜f（3）　 D.f（π）＜f（2）＜f（3） 3.若函数f（x）＝，则f（x）的值域为（　　） A.（－∞，3]　 B.（2，3） C.（2，3]　 D.[3，＋∞） 4.（2024·广东模拟）已知函数f（x）＝若f（a）＜f（6－a），则实数a的取值范围是（　　） A.（－3，＋∞）　 B.（－∞，－3） C.（3，＋∞）　 D.（－∞，3） 5.设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论正确的是（　　） A.y＝在R上为减函数 B.y＝｜f（x）｜在R上为增函数 C.y＝－在R上为增函数 D.y＝－f（x）在R上为减函数 6.（多选）已知函数f（x）满足f（）＝，则关于函数f（x）的说法中正确的是（　　） A.f（x）的定义域为{x｜x≠－1} B.f（x）的值域为{y｜y≠1，且y≠2} C.f（x）在（0，＋∞）上单调递减 D.不等式f（x）＞2的解集为（－1，0） 7.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为　 　. 8.（2024·重庆一模）函数f（x）＝x2－6｜x｜＋8的单调递减区间是　 　. 9.已知函数f（x）＝则f[f（－3）]＝　 　，f（x）的最小值是　 　. 10.已知函数f（x）＝x｜x－4｜. （1）把f（x）写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f（x）的大致图象； （2）写出函数f（x）的单调递减区间. 综合应用 B 巩固 11.设函数f（x）＝若函数f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是　 　. 12.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为 　　　　　 　. 13.已知f（x）＝（x≠a）. （1）若a＝－2，试证明f（x）在（－∞，－2）上单调递增； （2）若a＞0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围. 14.已知函数y＝f（x）的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是（　　） A.y＝f（x）＋x是增函数 B.y＝f（x）＋x是减函数 C.y＝f（x）是增函数 D.y＝f（x）是减函数 15.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）是增函数，f（1）＝0，f（3）＝1. （1）解不等式0＜f（x2－1）＜1； （2）若f（x）≤m2－2am＋1对所有x∈（0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$第2节 函数的单调性与最值 课程目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. 基础知识 1.函数的单调性 (1)单调性的定义 定 义 要求x1,x2 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果 ∀ x1,x2∈I,当x1<x2时 要求f(x1)与 f(x2) 都有 f(x1)<f(x2) 都有 f(x1)>f(x2) 结论 函数f(x)在区间I上 单调递增 ;若函数f(x)在定义域D上单调递增,则f(x)为增函数 函数f(x)在区间I上 单调递减 ;若函数f(x)在定义域D上单调递减,则f(x)为减函数 图象描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义:如果函数y=f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间I 叫做y=f(x)的单调区间. 提醒 (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域;(2)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D,都有 f(x)≤M ; ②∃x0∈D,使得 f(x0)=M ①∀x∈D,都有 f(x)≥M ; ②∃x0∈D,使得 f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的 最大 值 M是函数y=f(x)的 最小 值 提醒 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得;(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 课前自测 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“ ”) (1)函数y=在定义域内单调递减.( ) (2)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增.( ) 2.(多选)下列函数中是增函数的为( ) A.f(x)=x B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:AD 对于B项有f(x1)=,f(x2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D. 3.(多选)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的单调递增区间有( ) A.[-1,2] B.[-1,2] C.[4,5] D.[-3,-1]和[2,4] 解析:BC 由图象知,该函数的单调递增区间为[-1,2]和[4,5],故选B. 4.函数y=在[2,3]上的最小值为( ) A.2 B. C. D.- 解析:B 因为y=在[2,3]上单调递减,所以ymin==.故选B. 5.函数f(x)=的单调递增区间为 (-∞,-1) . 解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),函数f(x)=可看作y=,t=x2-2x-3复合而成,而y=单调递减,要求f(x)=的单调递增区间,只需求t=x2-2x-3的单调递减区间,由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,故f(x)的单调递增区间是(-∞,-1). 常用结论 1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: (1)当f(x),g(x)都单调递增(减)时,f(x)+g(x)单调递增(减); (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反; (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 2.函数单调性的两个等价结论 设∀x1,x2∈I(x1≠x2),则: (1)>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0) f(x)在I上单调递增; (2)<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0) f(x)在I上单调递减. 结论运用 1.(多选)若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,下列说法正确的是( ) A.函数f(x)与f(x)-c(c为常数)具有相同的单调性 B.函数f(x)与c f(x)具有相同的单调性 C.若f(x)≠0,则函数f(x)与-具有相反的单调性 D.若函数f(x),g(x)在给定的区间上单调递减,则f(x)+g(x)单调递减 解析:AD 对于A,根据图象进行上下平移单调性不变,可知命题正确;由结论1可知选项B、C错误,D正确,故选A、D. 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意两个不等的实数a,b∈[0,+∞),总有>0,则满足f(2x-3)<f(1)的实数x的取值范围是 (1,2) . 解析:由结论2知,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,又函数为偶函数,则在(-∞,0]上单调递减,故f(2x-3)<f(1)即|2x-3|<1,解得1<x<2,故实数x的取值范围是(1,2). 聚焦考点 课堂演练 考点1 判断函数的单调性(区间) 考向1 判断或证明函数的单调性 【例1】 已知a>0,函数f(x)=x+(x>0),利用定义法证明:函数f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. 证明:设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=, 因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,x1x2>0. 当x1,x2∈(0,]时,0<x1x2<a,所以x1x2-a<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,]上单调递减; 当x1,x2∈[,+∞)时,x1x2>a, 所以x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在[,+∞)上单调递增. 变式 本例变为:用定义证明函数f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增. 证明:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=(-)+=(-)(1-)=, ∵0<x1<x2,∴-<0,-1>0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 方法技巧 定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 考向2 求函数的单调区间 【例2】 函数f(x)=|x-2|x的单调递增区间为 (-∞,1)和(2,+∞) . 解析:f(x)=作出f(x)的大致图象,如图所示,由图象知f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和(2,+∞). 方法技巧 确定函数的单调区间的方法 跟踪训练 1.(多选)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.f(x)=ln x B.f(x)=e-x C.f(x)= D.f(x)=- 解析:ACD 对于A,f(x)=ln x为对数函数,其底数e>1,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于B,f(x)=e-x为指数函数,其底数<1,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于C,f(x)=为幂函数,其指数>0,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于D,f(x)=-=为反比例函数,在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意.故选ACD. 2.函数f(x)=-x的单调递增区间为( ) A.(0,) B.(0,1) C.(,+∞) D.(1,+∞) 解析:A 令t=,显然t=在[0,+∞)上为增函数.又y=t-t2=-(t-)2+(t≥0)在上单调递增,由≤得0≤x≤,所以f(x)的单调递增区间是(也可写为(0,)).故选A. 考点2 函数单调性的应用 考向1 利用单调性比较函数值的大小 【例3】 若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,有<0,则( ) A.f(3)<f(1)<f(-2) B.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(1)<f(-2)<f(3) 解析:B ∵对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,有<0.∴当x≥0时,函数f(x)单调递减,∴f(3)<f(2)<f(1),又f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,f(x)=f(-x),∴f(3)<f(-2)<f(1). 方法技巧 利用单调性比较函数值大小的方法 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较,或采用插值法比较大小. 考向2 利用单调性解不等式 【例4】 已知函数f(x)=ln x+2x,若f(a2-4)<2,则实数a的取值范围是 (-,-2)∪(2,) . 解析:因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0,+∞)上为增函数,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(a2-4)<2得,f(a2-4)<f(1),所以0<a2-4<1,解得-<a<-2或2<a<. 方法技巧 考向3 利用函数的单调性求参数的值(范围) 【例5】 已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (0,] . 解析:因为函数f(x)=是定义在R上的增函数,所以解得0<a≤,所以实数a的取值范围为(0,]. 方法技巧 利用函数的单调性求参数的值(范围)的方法 (1)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解; (2)对于分段函数,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 跟踪训练 1.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=( ) A.-2 B.2 C.-6 D.6 解析:C 易知函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是,令-=3,所以a=-6. 2.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则|f(x+1)|<1的解集为 (-1,2) . 解析:由题意可知,f(0)=-1,f(3)=1,因为函数f(x)是R上的增函数,所以由|f(x+1)|<1得-1<f(x+1)<1,即f(0)<f(x+1)<f(3),因此0<x+1<3,解得-1<x<2,即|f(x+1)|<1的解集为(-1,2). 考点3 函数的值域(最值) 【例6】 求下列函数的最值: (1)f(x)=,x∈[1,4]; (2)f(x)=2x2-. 解:(1)∵f(x)===2-,x∈[1,4],∴f(x)在[1,4]上单调递增,∴函数的最小值为f(1)=,最大值为f(4)=. (2)令=t,t≥1,则x2=t2-1, ∴y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1). ∵y=2t2-t-2(t≥1)的图象的对称轴为直线t=,∴当t≥1时,y=2t2-t-2的图象是上升的,∴ymin=2 12-1-2=-1,∴函数f(x)的最小值为-1,无最大值. 方法技巧 求函数最值(值域)的五种常用方法 (1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; (2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值; (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值; (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒 (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域; (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值. 跟踪训练 1.函数y=的值域是 [2,+∞) . 解析:y===+. 令t=(t≥1),则y=t+≥2=2(当且仅当t=,即t=1,x=0时,取等号),因此函数的最小值为2,无最大值.即函数的值域是[2,+∞). 2.函数f(x)=的最大值为 2 . 解析:作出函数f(x)=的图象(如图所示),由函数图象可知,f(x)max=f(0)=2. 第二节 函数的单调性与最值 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.(多选)函数f(x)=在( ) A.(-∞,1)上单调递增 B.(-∞,1)上单调递减 C.(1,+∞)上单调递增 D.(1,+∞)上单调递减 解析:AC 函数f(x)的定义域为{x|x≠1},f(x)==-1,根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增. 2.(2024 黄冈中学一模)已知定义域为R的函数f(x),∀x1,x2∈R,x1<x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则( ) A.f(3)<f( )<f(2) B.f( )<f(3)<f(2) C.f(2)<f( )<f(3) D.f( )<f(2)<f(3) 解析:B 易知f(x)是R上的减函数,又 >3>2,故f( )<f(3)<f(2). 3.若函数f(x)=,则f(x)的值域为( ) A.(-∞,3] B.(2,3) C.(2,3] D.[3,+∞) 解析:C f(x)==2+,∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴0<≤1,∴f(x)∈(2,3]. 4.(2024 广东模拟)已知函数f(x)=若f(a)<f(6-a),则实数a的取值范围是( ) A.(-3,+∞) B.(-∞,-3) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 解析:D 显然f(x)在R上为增函数,故f(a)<f(6-a)可化为a<6-a,解得a<3.故选D. 5.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论正确的是( ) A.y=在R上为减函数 B.y=|f(x)|在R上为增函数 C.y=-在R上为增函数 D.y=-f(x)在R上为减函数 解析:D 对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,错误; 对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,正确.故选D. 6.(多选)已知函数f(x)满足f()=,则关于函数f(x)的说法中正确的是( ) A.f(x)的定义域为{x|x≠-1} B.f(x)的值域为{y|y≠1,且y≠2} C.f(x)在(0,+∞)上单调递减 D.不等式f(x)>2的解集为(-1,0) 解析:BCD 由于f()==,故f(x)==1+(x≠0且x≠-1),所以f(x)的定义域为{x|x≠-1,且x≠0},作出其图象(图象略),由图象知,f(x)的值域为{y|y≠1,且y≠2};f(x)在(0,+∞)上单调递减;f(x)>2的解集为(-1,0).故选B、C、D. 7.已知一次函数f(x)=(4a-2)x+3在[-2,1]上的最大值为9,则实数a的值为 2或- . 解析:当4a-2>0时,f(x)在[-2,1]上单调递增,∴∴则a=2;当4a-2<0时,f(x)在[-2,1]上单调递减,∴∴则a=-.综上所述,a=2或a=-. 8.(2024 重庆一模)函数f(x)=x2-6|x|+8的单调递减区间是 (-∞,-3],[0,3] . 解析:由题意得函数f(x)=当x≥0时,函数f(x)=x2-6x+8的单调递减区间为[0,3],当x<0时,函数f(x)=x2+6x+8的单调递减区间为(-∞,-3],综上,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,-3],[0,3]. 9.已知函数f(x)=则f[f(-3)]= 0 ,f(x)的最小值是 2-3 . 解析:∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,∴f[f(-3)]=f(1)=0.当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3,当且仅当x=时,取等号,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg 1=0,当且仅当x=0时,取等号,此时f(x)min=0.∴函数f(x)的最小值为2-3. 10.已知函数f(x)=x|x-4|. (1)把f(x)写成分段函数,并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象; (2)写出函数f(x)的单调递减区间. 解:(1)f(x)=x|x-4|= 函数图象如图所示. (2) 由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递减区间为(2,4). 综合应用 B 巩固 11.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 (-∞,1]∪[4,+∞) . 解析:函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4. 12.能使“函数f(x)=x|x-1|在区间I上不是单调函数,且在区间I上的函数值的集合为[0,2]”是真命题的一个区间I为 [,2](答案不唯一) . 解析:当x≥1时,f(x)=x(x-1)=x2-x;当x<1时,f(x)=x(1-x)=-x2+x,∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减.令f(x)=0,解得x=1或x=0;令f(x)=2,解得x=2,∴只需I=[a,2],0≤a<1或I=(b,2],0≤b<1时,f(x)在I上不单调且函数值的集合为[0,2]. 13.已知f(x)=(x≠a). (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解:(1)证明:当a=-2时,f(x)=. 设x1<x2<-2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为x1<x2<-2,所以(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增. (2)设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=. 因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1. 综上所述,a的取值范围是(0,1]. 14.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 解析:A 不妨令x1<x2,∴x1-x2<0,∵>-1 f(x1)-f(x2)<-(x1-x2) f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,∴g(x1)<g(x2),又x1<x2,∴g(x)=f(x)+x是增函数. 15.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数,f(1)=0,f(3)=1. (1)解不等式0<f(x2-1)<1; (2)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,f(3)=1,∴由0<f(x2-1)<1,得f(1)<f(x2-1)<f(3),即 解得<x<2或-2<x<-. ∴原不等式的解集为(-2,-)∪(,2). (2)∵函数f(x)在(0,3]上单调递增, ∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1, ∴不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立可转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立. 设g(a)=-2ma+m2,a∈[-1,1], ∴需满足即 解该不等式组,得m≤-2或m≥2或m=0,即实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞ 学科网(北京)股份有限公司 $$