精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2023-2024学年高一下学期第二阶段考试（5月）数学试题

鹤山一中2023—2024学年度第二学期第二阶段考试 高一数学试卷 2024.5 一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分. 1. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则求，然后得到，最后根据虚部的定义判断即可. 【详解】因为，所以，虚部为. 故选：D. 2. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小. 【详解】由，则，而，故或， 显然，所得角均满足. 故选：B 3. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法作出的图象再求解即可. 【详解】由题意，作出的图象可得，且，故. 故选：C 4. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的差的模的几何意义，结合圆的性质求解. 【详解】解：设， 满足的点均在以为圆心，以为半径的圆上， 所以可以看成到定点的距离， 如图所示，可知最小值为4-1=3． 故选：D. 5. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是（ ） A. 若m⊥n，，则m⊥α B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C. 若m⊥n，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】由直线、平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若m⊥n，，则与可能平行，故A错误； 若m⊥α，α⊥β，则可能在内，故B错误； 若m⊥n，n⊥α，则可能在内，故C错误； 若m⊥α，α∥β，易知m⊥β，故D正确； 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解. 【详解】. 故选：A. 7. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算计算得解. 【详解】在等腰梯形中，，，， . 故选：B 8. 已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为32的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为（ ） A. 66 B. 96 C. D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】先根据球的体积公式求得球的半径；再分析四棱锥的体积最大时四棱锥的结构特征；最后根据正棱锥的性质求出该四棱锥的高及侧面的高即可求解. 【详解】设球的半径为，球心为， 则，解得：． 因为底面为面积为32， 所以. 所以要使四棱锥体积最大，只需使点到底面的距离最大. 根据四棱锥的结构特征分析得出：当四棱锥为正四棱锥且球心在四棱锥的内部时，该四棱锥的高最大，体积也最大. 设是线段的中点，是正方形的中心，连接. 设正方形的边长为， 则，解得， 所以正方形的外接圆半径， ， 球心到底面的距离． 当四棱锥的体积最大时，四棱锥的高， 因为四棱锥为正四棱锥， 所以，则， 所以. 此时该四棱锥的表面积为， 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线平行的转化，即可判断A，首先利用平面几何证明，再证明，即可证明线面垂直，判断B，根据三棱锥的体积，结合底面积和高的计算，即可判断C，根据面面平行的性质，即可判断D. 【详解】连接，∵，分别是，的中点，则 又∵，，则为平行四边形，即，∴，A正确； ，所以，， ∴. 即，又∵平面，平面， 则，，且平面，∴平面，B正确； 三棱锥即为三棱锥，∴平面平面， 则动点到平面的距离， 的面积，∴为定值，C正确； ∵是的中点，则，，则为梯形. 与相交，则平面与平面相交，D不正确； 故选：ABC 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义在区间上的函数与的图象的交点个数为____. 【答案】16 【解析】 【分析】画出时的图像，根据图像结合函数的奇偶性得到答案. 【详解】由于，故为偶函数， 因为也为偶函数，故考虑的情况，画出图像，如图所示： 共有个交点，且时，没有交点，故共有16个交点. 故答案为：16 13. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 14. 抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为________公里． 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可得，在中等边对等角可得，则在 中由余弦定理可得. 【详解】在中= 由正弦定理可得： 即 在中 所以，则, 中由余弦定理可得： 即 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，16、17每题15分，18、19题每题17分，共77分. 15. 已知复数（）. （1）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若是纯虚数，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数与复数坐标的关系，即可列式求解； （2）首先根据复数的除法运算公式，化简复数，再根据复数的特征，列不等式求解. 【小问1详解】 由题可得，解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 . 因为是纯虚数，所以，解得. 16. 已知向量满足． （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求向量的夹角. 【答案】（1）2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解； （2）由可得，求出即可； （3）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由，得， 所以． 故． 【小问3详解】 由题意得，即，得， 所以． 因为，所以， 即向量的夹角为． 17. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若为的中线，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解； （2）由（1）得到，根据，求得，再由由余弦定理得到，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 因为，可知，所以， 又因为，联立方程组得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为为的中线，且，所以， 两边平方得， 又由余弦定理得，即， 两式相减，可得，所以． 18. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化关系，即可证明； （2）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明； （3）首先根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，再在三角形内解决角的大小问题. 【小问1详解】 ∵侧面，均为正方形， ∴，，，， ∴，∴， 又∵，，平面 ∴平面，又∵平面， ∴平面平面， ∵，是棱的中点，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 【小问2详解】 在三棱柱中，设，连接， 为正方形，∴是中点， 又是中点，∴为中位线，∴， 又平面，平面，∴平面. 【小问3详解】 取中点，连接，，， 在三棱柱中，，，，， ∵，分别是，的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，，即四边形是平行四边形，∴， ∴（或其补角）是异面直线与所成的角 ∵，， ∴，， ∵侧面为正方形，∴， 由（1）知平面，且，∴平面， 又∵平面，∴， ∵，∴，∴， 由（1）得平面，且，∴平面，平面， ∴，在中，，∴， 即异面直线与所成的角为. 19. 已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象得到，求出的值并检验即得； （2）依题求出解析式，将看成整体角，结合正弦函数的图象发现在区间上的单调性和对称性，利用其得出，代入求解即得； （3）设，依题求得，结合在上的图象，将“方程在上有4个不相等的实数根”转化成“关于的方程在上有两个不等的实根”，最后利用二次函数的图象列出关于参数的不等式组，求解即得. 【小问1详解】 因，依题意的图像关于轴对称，则有，即， 而，即有或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求， 故函数的解析式是. 【小问2详解】 由图象平移可得，若，则， 而在区间上递减，在区间上递增，显然两侧关于直线对称， 若且，则，可得， 故. 【小问3详解】 由（1），令，由可得 则， 由题意，关于的方程有两个不等的实根， 且与在上均有两个不等的实根， 当时，的图象如图所示，故， 此时关于的方程在上有两个不等的实根， 令，则即解得 故实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的图象性质在零点上的应用,属于难题. 解题的关键在于要有整体角换元思想，运用好数形结合的方法，有效将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，充分发挥三角函数图象在对称性，单调性等方面的作用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2023—2024学年度第二学期第二阶段考试 高一数学试卷 2024.5 一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分. 1. 已知（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 4. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，下列正确的是（ ） A. 若m⊥n，，则m⊥α B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β C. 若m⊥n，n⊥α，则m⊥α D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为32的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为（ ） A. 66 B. 96 C. D. 128 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点，使得平面平面 三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分） 12. 定义在区间上的函数与的图象的交点个数为____. 13. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 14. 抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为________公里． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，16、17每题15分，18、19题每题17分，共77分. 15. 已知复数（）. （1）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若是纯虚数，求的值. 16. 已知向量满足． （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求向量的夹角. 17. 在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若为的中线，且，求的面积． 18. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求异面直线与所成角的大小. 19. 已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式： （2）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $