精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2024年05月高一数学月考试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件可得，即，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为，所以， 则 故复数的虚部为. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 2. 若为第三象限角，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 3. 的展开式中，第5项为常数项，则n=（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得. 【详解】的展开式的第5项为. 只需，解得：. 故选：B． 4. 二项式的展开式中无理项的项数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，再计算出有理项的项数，即可判断. 【详解】二项式展开式的通项为（其中且）， 所以展开式中一共有7项，令，则或或或， 所以展开式中有理项共有4项，则无理项有3项. 故选：B 5. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果. 【详解】4本书放入三个不同的抽屉， 先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉， 共有种情况， 若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉， 有种情况， 则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种； 故选：C. 【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义． 6. 已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，两边平方求得，即可得解. 详解】由，得， 则，所以， 所以， 所以，由于，所以． 故选：D. 7. 地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 m1，m2 m2，m3 m3，m4 m1，m3 疏散乘客时间（s） 120 140 190 160 则疏散乘客用时最短的安全出口编号是（ ） A m1 B. m2 C. m3 D. m4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口的用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，从而可得结论 【详解】同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（），得比快； 同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快， 同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快， 综上所述：疏散乘客用时最短的一个安全出口的编号是， 故选：B 8. 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义，则是数列的第几项？（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】通过斐波那契数列可得，然后通过累加法即可求解 【详解】由题意可得，，，， ， 累加得：， 即，，为数列的第2024项， 故选：. 二．多选题（共4小题，每题5分，共40分） 9. 已知复数在复平面上对应的点关于直线对称，则下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. 为纯虚数 D. 为实数 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的几何意义，应用共轭复数、复数的模、复数的除法等运算法则，确定正确选项. 【详解】复数在复平面上对应的点关于直线对称， 设，则， ，，，A选项正确； ，，若，有，与矛盾，B选项错误； ，不一定成立，C选项错误； 为实数，D选项正确. 故选：AD 10. 已知函数则下列说法正确的是（　　） A. B. 若函数有4个零点，则或 C. 函数在上单调递增 D. 若函数有5个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用辅助角公式把函数表示为分段函数，作出函数图像，利用图像研究函数对称性单调性和图像交点等问题. 【详解】函数， 则，函数图像如图所示， 时，，A选项错误； 若函数有4个零点，则与的图像有4个交点， 结合图像可知或，B选项正确； 时，，在上单调递增，C选项正确； 若函数有5个零点，则与的图像有5个交点， 结合图像可知则，D选项正确. 故选：BCD. 11. 直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ） A. AC∥平面 B. CD与不垂直 C. ∠ADC的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A.将直三棱柱其补成正方体，再利用线面平行的判定定理判断；B.以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，为z轴，利用向量法判断；C.判断以AC为直径的球与的交点情况即可；D.将面，翻折至与共面，此时点C与重合求解判断. 【详解】A.如图所示：，将其补成正方体，因为，平面，平面，所以AC∥平面，故A正确． B.如图所示：，以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，为z轴， 则，，，，， 设，，则， ，，， 当时，，当且时，与不垂直，故B错误． C.判断以AC为直径的球与的交点情况， 如图所示：，取AC中点F，则，， 所以以AC为直径的球与没有交点．所以，故C错误． D.将面，翻折至与共面，此时点C与重合，所以的最小值为，且，故D正确． 故选：AD 12. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若x，，则的充要条件是 B. 若复数（i为虚数单位），则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数，则当且仅当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数相等、复数的分类，结合复数的除法法则和虚数单位的周期性逐一判断即可. 【详解】A：当时，显然满足x，，，但是推不出，所以本选项说法不正确； B：，，因此本选项说法正确； C：当时，复数显然不是纯虚数，因此本选项说法不正确； D：因为，所以，因此本选项说法正确， 故选：BD 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知，复平面内表示复数（其中是虚数单位）的点在虚轴上，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据复数的概念和复数的几何意义可知，解方程，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，解得或. 故答案为：或. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，解得， 所以面积为. 故答案为： 15. 如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点距离地面的高度与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和（其中，，三点共线）．该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高约为___________米.（保留一位小数） 参考数据：，， 【答案】25.4 【解析】 【分析】根据正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可． 【详解】由题意知，，则，，， 在中，， 在中，，则， 则， ， 则（米， 故答案为：25.4 16. 在中，，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，，则BC的长为________，的面积为________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】作出辅助线，由相似知识将条件转化到三角形BCE中，利用余弦定理求出BC，再求出三角形ABC的面积，用线段的比求出三角形DBC的面积. 【详解】延长BD到点E，使DE=，又AD=2DC，所以△ADB∽△CDE，则，，所以CE∥AB，故∠BCE+∠ABC=180°，故因为，，所以，所以，所以，故，在三角形BCE中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），故BC的长为3，，故，所以. 故答案为：3， 四．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知向量，，，且，，三点共线． （1）求实数的值； （2）若四边形是平行四边形，其中点的坐标为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出、，依题意与平行，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）依题意可得，根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， ， ， 又， 因为，，三点共线，所以与平行，，解得； 【小问2详解】 因为四边形为平行四边形，所以， 由（1）可得， 设，又，所以， 所以，解得，所以． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求C的大小； （2）已知，求b的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的坐标运算化简可求得，进而得到； （2）由正弦定理可得. 【小问1详解】 ， ∴，. 【小问2详解】 ，， ∴ 19. 设复数，，其中. （1）若复数为实数，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得，再列出等量关系，求解即可； （2）先计算，结合和余弦函数的性质，分析即得解 小问1详解】 由题意， 若复数为实数，则 故， 解得： 【小问2详解】 由题意，， 由于，故 故 故 故的取值范围是 20. 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边且满足，求B，C的大小. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得，进而根据正弦函数的单调区间求解即可； （2）根据可得，再化简可求得，进而分析到，再结合三角形内角和求解B，C的大小即可. 【小问1详解】 由得 得 所以函数单调递增区间为. 递减区间为 【小问2详解】 由得，因为，故，解得. 由得， ，故 由得， 而，， ∴或 ∴，（舍）或 由已知有，可得， ∴， 21. 如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. （1）若，求AB的长； （2）求△ABM面积的最大值. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB； (2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值. 【小问1详解】 在△OAB中，由余弦定理得，， 即，即，即， ∴； 【小问2详解】 ，，，∥， ， 设，， 则在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号. ∴△ABM面积的最大值为. 22. 若的最小正周期为，. （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式，在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据周期公式求出，即可得解； （2）依题意可得，令，，则，依题意可得在上恒成立，参变分离，再利用基本不等式计算可得； 【小问1详解】 解：因为 ， 即， 因为，所以， 所以 【小问2详解】 解：由（1）可知， 不等式可化为 ， 令，因为，所以，所以， 所以，则. 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当且仅当时等号成立，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年05月高一数学月考试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知复数满足 (其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若为第三象限角，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 3. 的展开式中，第5项为常数项，则n=（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 10 4. 二项式的展开式中无理项的项数为（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 6. 已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 m1，m2 m2，m3 m3，m4 m1，m3 疏散乘客时间（s） 120 140 190 160 则疏散乘客用时最短的安全出口编号是（ ） A. m1 B. m2 C. m3 D. m4 8. 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义，则是数列的第几项？（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二．多选题（共4小题，每题5分，共40分） 9. 已知复数在复平面上对应的点关于直线对称，则下列说法一定正确的是（　　） A. B. C. 为纯虚数 D. 为实数 10. 已知函数则下列说法正确是（　　） A. B. 若函数有4个零点，则或 C. 函数上单调递增 D. 若函数有5个零点，则 11. 直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则以下正确的是（ ） A. AC∥平面 B. CD与不垂直 C. ∠ADC的取值范围为 D. 的最小值为 12. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若x，，则的充要条件是 B. 若复数（i为虚数单位），则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数，则当且仅当时， 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知，复平面内表示复数（其中是虚数单位）的点在虚轴上，则___________. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的面积为______． 15. 如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点距离地面的高度与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为，并从点测得点的仰角为；在赛道与建筑物之间的地面上的点处测得点，点的仰角分别为和（其中，，三点共线）．该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高约为___________米.（保留一位小数） 参考数据：，， 16. 在中，，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，，则BC的长为________，的面积为________． 四．解答题（共6小题，共70分） 17. 已知向量，，，且，，三点共线． （1）求实数的值； （2）若四边形是平行四边形，其中点的坐标为，求点的坐标． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， （1）求C的大小； （2）已知，求b的值． 19. 设复数，，其中. （1）若复数为实数，求值； （2）求的取值范围． 20. 已知函数. （1）求函数单调区间； （2）在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边且满足，求B，C的大小. 21. 如图，扇形OMN半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. （1）若，求AB的长； （2）求△ABM面积的最大值. 22. 若的最小正周期为，. （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式，在上恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $