专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（    ） ①  ②  ③  ④ A．个 B．个 C．个 D．个 1．（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．不能确定 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 3．（23-24八年级上·上海·课后作业）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．10 D．9 1．（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 3．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（  　   ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 2．（16-17八年级下·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中关于x的代数式的值与x的对应值，判断方程＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是   (       ) x 5.12 5.13 5.14 5.15 －0.04 －0.02 0.01 0.03 A．5.14＜x＜5.15 B．5.13＜x＜5.14 C．5.12＜x＜5.13 D．5.10＜x＜5.12 3．（23-24九年级·山东青岛·期中）根据如下表格对应值： x ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c 2 1 2 判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是 ． 1．（2024年广东省东莞市东莞外国语学校中考二模数学试题）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 2．（山东省淄博市周村区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 3．（安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2023年河南省平顶山市鲁山县一模数学模拟试题）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．（2023年贵州省黔东南苗族侗族自治州三穗县州省三穗中学九年级第二次模拟数学模拟试题）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．（2024年广东省韶关市九年级中考二模数学试题）若是方程的根，则的值是 ． 7．（2024年重庆市南岸区九年级质量监测数学试题）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．（2024学年贵州省黔东南苗族侗族自治州天柱县九年级第一次模拟检测数学模拟试题）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 9．（四川省凉山州宁南县初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 10．（江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 11．（2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 12．方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 13．设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 14．（广东省梅州市丰顺县大同中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题）已知一元二次方程 ， (1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？ 15．阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（    ） ①  ②  ③  ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是，（2）二次项系数不为，（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，二次项系数不为，故是一元二次方程；②，只有当时，才是一元二次方程，故不是一元二次方程；③，整理得，未知数最高次数为，不是一元二次方程；④是分式方程，不是一元二次方程， 综上所述，①为一元二次方程，一元二次方程只有个． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 1．（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（　　） ① ② ③④ ⑤⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判定，注意不是最简形式的方程，要化成最简形式．一元二次方程的定义是，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：①符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ②含有x、y两个未知数，故本选项错误； ③分母中含有未知数，故本选项错误； ④符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ⑤符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ⑥原方程化简后为，含未知数的项的次数是1，故本选项错误． ∴一元二次方程有①④⑤，共3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握化简后的方程符合一元二次方程的定义． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 【答案】①③⑤． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程， 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程？ ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①是整式方程，是一元二次方程；②是整式方程，是一元三次方程；③是整式方程，是一元一次方程；④是整式方程，是一元四次方程；⑤不是整式方程. 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．只含有未知数的整式的方程叫整式方程.分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 【详解】解：①两边都是整式，所以是整式方程，是一元二次方程； ②两边都是整式，所以是整式方程，是一元三次方程； ③分母中不含未知数，所以是整式方程，是一元一次方程； ④两边都是整式，是整式方程，是一元四次方程； ⑤分母中含有未知数，不是整式方程. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程，即可列出式子，求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得，， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 【答案】 【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 3．（23-24八年级上·上海·课后作业）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或且2m+2≠0． 【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1． （2）依题意得：m－2=0，或且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3． 即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数，常数项即可． 【详解】解：化成一元二次方程的一般形式为：， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用多项式乘法把括号去掉，再移项合并同类项即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）方程化为一般形式是 ；其中二次项系数是 ． 【答案】 6 【分析】先将化成一般式，再确定二次项系数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故一般形式为：，二次项系数为：6． 故答案为：，6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般式：（，a，b，c为常数）．叫二次项，a叫二次项系数；叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．将原方程化成一元一次方程的一般形式成为解答本题的关键． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是、常数项是2；（2）化为，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是 【分析】一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵化为一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2； （2）∵化为一般形式为 ， ∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．10 D．9 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是将代入计算． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：A． 1．（2024九年级·全国·竞赛）方程和方程有一个实数根相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，理解方程的解的概念是解题关键．联立方程计算求解． 【详解】解：∵方程和有一个根相同， ∴，即， 解得 又∵， ∴， 此时． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将a代入方程得，然后整体代入得结果． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴将a代入方程，得：， 即：， ∴，． 故答案为：． 3．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（  　   ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84 【答案】C 【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，则可以判断方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1<x<1.2． 【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0， x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0， ∴ 1.1<x<1.2时，x2 +12x﹣15=0 即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1<x<1.2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（16-17八年级下·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中关于x的代数式的值与x的对应值，判断方程＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是   (       ) x 5.12 5.13 5.14 5.15 －0.04 －0.02 0.01 0.03 A．5.14＜x＜5.15 B．5.13＜x＜5.14 C．5.12＜x＜5.13 D．5.10＜x＜5.12 【答案】B 【详解】试题解析：∵当x=5.13时，y=-0.02＜0；当x=5.14时，y=0.01＞0， ∴当x在5.13＜x＜5.14的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0， ∴方程ax2+bx+c=0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为5.13＜x＜5.14． 故选B． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键 3．（23-24九年级·山东青岛·期中）根据如下表格对应值： x ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c 2 1 2 判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是 ． 【答案】0<x<0.5或1.5<x<2 【分析】利用表中数据得到x=1.5和x=2时，代数式ax2+bx+c的值一个小于1.5，一个大 于1.5，从而可判断当0＜x＜0.5或1.5＜x＜2时，代数式ax2+bx+c﹣1.5的值为0． 【详解】当x=0.5和1.5时，   当x=0和2时，ax2+bx+c=2， 所以方程的解的范围为0<x<0.5或1.5<x<2. 故答案为0<x<0.5或1.5<x<2 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具 体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的 值愈接近方程的根． 1．（2024年广东省东莞市东莞外国语学校中考二模数学试题）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴， 故选：D． 2．（山东省淄博市周村区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）已知关于的方程（为常数，）的解是，，那么方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 3．（安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）关于的一元二次方程的两根为，，记，，则的值为（    ） A．0 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念，解题的根据是理解方程根的定义． 根据题意得到，，代入即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 4．（2023年河南省平顶山市鲁山县一模数学模拟试题）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（2023年贵州省黔东南苗族侗族自治州三穗县州省三穗中学九年级第二次模拟数学模拟试题）若，（）是关于的一元二次方程的两实根，且，则a，b，m，n的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解不等式组，根据题意可得，则由乘法的性质可得或，由，得到或，即方程的两个根一个大于m，一个小于n，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴或， ∵，（）是关于的一元二次方程的两实根， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2024年广东省韶关市九年级中考二模数学试题）若是方程的根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：1． 7．（2024年重庆市南岸区九年级质量监测数学试题）已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 8．（2024学年贵州省黔东南苗族侗族自治州天柱县九年级第一次模拟检测数学模拟试题）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 9．（四川省凉山州宁南县初级中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，涉及换元法，令，由题意得到的解为，解方程即可得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为； 令， 关于的一元二次方程化为， 的解为， 的解为，即或， ， 关于的一元二次方程的解是， 故答案为：． 10．（江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【分析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 11．（2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题）已知，． (1)化简A； (2)若a是方程的一个根，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解； （1）通分，化成同分母，进行计算即可； （2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 12．（专题21.1一元二次方程（知识解读）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版））方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】(1)m＝﹣3 (2)3或±2或± 【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案； （2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程， ∴且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故m为﹣3时，原方程是一元二次方程； （2）解：根据题意，则 ∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程， ∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或， 解得m＝3或m＝±2或m＝± 故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算． 13．（YHmlsjsxRJ848.pdf）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12， 解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． （2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． 14．（广东省梅州市丰顺县大同中学2022-2023学年九年级上学期11月月考数学试题）已知一元二次方程 ， (1)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么，，之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是，那么未知项的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入方程即可得出答案； （2）把代入方程即可得出答案； （3）把代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程得：， ∴，，之间的关系是：； （2）把代入方程得：， ∴，，之间的关系是：； （3）把代入方程得：， ∴常数项． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键． 15．（上海市八年级数学下学期期中模拟01（沪教版：一次函数、代数方程、平行四边形）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））阅读下题的材料： 已知：是一元二次方程的根，求的值． 小明是这样做的：将代入中，得到；两边同时除以，得到；解得． 小芳觉得小明的做法不对，将其改为：将代入中，得到；移项，得；解得，，．你认为他们两人的做法正确吗？说明理由． 【答案】都不对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义，由是关于的方程的一个根可得，接着对进行因式分解为，可求出的值；根据方程是一元二次方程可知：二次项系数，据此可得到的取值． 【详解】解：两人的做法都不对． 不能直接约去，因为有可能有0． 正确的解答：把代入，化简，得 ， ， 或，， 解得或，． 是一元二次方程， ， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $$