2024年天津市中考数学模拟汇编——圆

· 2024年天津中考模拟汇编——圆 · 知识清单： · 1、 圆的有关概念： （1）圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，圆是定点的距离等于定长的点的集合。 （2）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弧、优弧、劣弧、等弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。小于半圆周的圆弧叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。 外接圆、外心：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 内切圆、内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 · 2、 圆的有关性质 · （1）定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 · 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 · （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 · ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（ⅲ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 · 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 · （3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。 · 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。90的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 · （4）切线的判定与性质： · 判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。 · 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。 · （5）切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长； · 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。 · （6）圆内接四边形对角互补，一个外角等于内对角；圆外切四边形对边和相等； · （7）弦切角定理：弦切角等于它所它所夹弧对的圆周角。 · （8）和圆有关的比例线段： · 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 · 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。（9）两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦。 3、与圆有关的位置关系 （1）点和圆的位置关系：点在圆内；直线与圆相离（）；直线与圆相切（），这条直线叫做圆的切线；直线与圆相交（），这条直线叫做圆的割线。 （2）圆和圆的位置关系：外离；外切；相交）;内切（）；内含。 4、 圆中的计算：r；圆锥侧面积=；圆锥侧面展开图扇形弧长： 1．（2024·天津武清·三模）已知是的直径，是的弦，连接并延长交于点E，，，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点G．若，求的长． 2．（2024·安徽安庆·三模）如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． (1)如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； (2)如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 3．（2024·天津和平·三模）圆内接四边形，平分，． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，过点作圆的切线与的延长线相交于点，若，，求圆半径的长． 4．（2024·天津模拟预测）在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圈与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F （I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小； （Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．      5．（2024·天津河西·二模）在中，延长直径至点，以为一边的等腰三角形，，底边与交于点，直线是的切线，交于点． (1)如图①，当时，求和的大小； (2)如图②，当且直线恰与相切．若，求的长． 6．（2024·天津滨海新·二模）在中，是的直径，弦垂直于，垂足为点，过点作的切线交的延长线于点． (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，，是的中点，连接，求的长． 7．（2024·天津·二模）已知是的直径，是的弦． (1)如图①，若为的中点，，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线交延长线于点，连接，若是的直径，，，求的长． 8．（2024·天津红桥·二模）以为直径的分别与的边相交于点D，E，平分． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，过点E作的切线，与的延长线相交于点F，与相交于点G．若，求的长． 9．（2024·天津河东·二模）已知是的直径，点C，点D在上． (1)如图①，若且C是弧的中点，与延长线交于点E，求的大小； (2)如图②，过点D作的切线l，若切线，且，，求弦的长． 10．（2024·天津南开·二模）已知，的半径为．在中，，，点在上． (1)如图，的顶点在上，，分别交于，两点，连接，．求的大小和的长； (2)如图，的顶点在外，且边与相切于点，边与相交于点，连接，，求和的长． 11．（2024·天津河西·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 12．（2024·天津河北·二模）在中， 是的直径， ，弦交于点 ， (1)如图①， 求 和的大小； (2)如图②， 过点作的切线， 过点作 于点，若 求 的长． 13．（2024·天津西青·二模）已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接． (1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小； (2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长． 14．（2024·天津和平·二模）已知是半圆的直径，是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点作半圆的切线，过点作与相交于点，若，求的长． 15．（2024·天津滨海新·一模）在中，，为上一点，与相交于点． 图①                            图② (1)如图①，为的直径，若，与相交于点，求和的大小； (2)如图②，经过点，与相交于点，与相切于点，过点作弦，连接，，与相交于点，若，求的长． 16．（2024·天津·一模）已知，是的直径，且，E为 上一点，与交于点F． (1)如图①，若E为 的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，过点E作的切线，分别与，的延长线交于点G，H，若的半径为6， ， 求的长． 17．（2024·天津西青·一模）已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接． (1)如图①，若，求的大小和的长； (2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长． 18．（2024·天津河北·一模）在中，点A，点B，点P在圆上，． (1)如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； (2)如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 19．（2024·天津河东·一模）已知点在上． (1)如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小； (2)如图②，若，的半径为5，，求的长． 20．（2024·天津南开·一模）在中，D为上一点，以为直径的与相切于点E，与相交于点F，连结，，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，过点D作交AB于点G，若，且，求的半径． 21．（2024·天津和平·一模）已知内接于，直线与相切于点D，且，连接． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，的直径为4，若，求和的长． 22．（2024·天津南开·一模）已知：在中，为直径，P为射线上一点，过点P作的切线，切点为点C，D为弧上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若四边形为平行四边形，，求的长． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)，； (2)． 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据垂径定理可得，从而得出，再证明是等边三角形，得到，根据圆周角定理，得到，即可求解； （2）根据勾股定理求出，的长，再证明，即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，如图： ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∵是的切线， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴． 2．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【详解】（1）如图，连接， ，是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过点作于点， ， ∴． ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 3．(1) (2) 【分析】（1）证明得出，根据四边形是圆内接四边形，可得，即可得出； （2）由（1）可得是圆的直径 设的中点为，点即为圆心连接并延长与相交于点根据垂径定理可得，结合已知条件可得 是等边三角形，进而得出四边形 是矩形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解:∵平分， ， 、 ， 又， 四边形是圆内接四边形， （2）， 是圆的直径 设的中点为，点即为圆心 连接并延长与相交于点 是的切线， ， 由 () 得， 可得 是等边三角形 在中， ， 四边形 是矩形 即圆的半径长为    【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．(1)∠B=40°；(2)AB= 6. 【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案; （2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案. 【详解】解:(1)如解图①,连接OD, ∵BC切⊙O于点D, ∴∠ODB=90°, ∵∠C=90°, ∴AC∥OD, ∴∠CAD=∠ADO, ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°, ∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°, ∵∠ODB=90°, ∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°; (2)如解图②,连接OF,OD, ∵AC∥OD, ∴∠OFA=∠FOD, ∵点F为弧AD的中点, ∴∠AOF=∠FOD, ∴∠OFA=∠AOF, ∴AF=OA, ∵OA=OF, ∴△AOF为等边三角形, ∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°, ∴∠B=30°, ∵在Rt△ODB中,OD=2, ∴OB=4, ∴AB=AO＋OB=2＋4=6. 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键. 5．(1)， (2) 【分析】（）根据等腰三角形的判定与性质可知，最后利用平行线的判定与性质以及切线的性质即可解答； （）根据等边三角形的判定与性质可知，再利用切线的性质及角平分线的判定可知，最后利用锐角三角函数及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵，，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线，是的切线， ∴， ∴，，又， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，切线的性质、等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，角平分线的定义，掌握等腰三角形的判定与性质以及切线的性质是解题的关键． 6．(1) (2) 【分析】（1）先根据垂径定理推论得到，再根据圆周角定理可求，由切线的性质得到，即可求解； （2）连接，过点M作，垂足为点H，解得出，，然后通过以及对运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：连接，过点M作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弦垂直于，经过圆心， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7．(1)，； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； （2）解：是的切线，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 8．(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合可求得，再根据角平分线的性质即可求解； （2）连接，根据切线的性质和角平分线的性质、三角形外角的性质可得是等边三角形，根据三线合一的性质可得，即可求解． 【详解】（1）∵为的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ （2）连接 ∵过点E作的切线， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，是等边三角形 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 9．(1) (2) 【分析】（1）连接、，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系，由 得到 ，再根据平行线的性质得到，接着证明为等边三角形得到，进而得到，然后判断和都为等边三角形得到，从而得到的度数； （2）连接，，过B点作于H点，根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，即，利用圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质计算出，，然后利用勾股定理计算出，最后计算即可． 【详解】（1）解：连接，，如下图 ∵C是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴都为的等边三角形， ∴， ∴． （2）连接，，过B点作于H点，如图： ∵直线l为切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定以及性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定以及性质，切线的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线是解题的关键． 10．(1)，； (2)；． 【分析】（1）由等腰三角形及三角形的内角和定理得，点在上，且，在中，由勾股定理得：，从而得；然后利用圆内接四边形的性质及解直角三角形即可求解； （2）如图，连接，过点作于点，由切线性质得于点，即，证四边形为矩形，得，，即，又由垂径定理得，即；从而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵点在上，且， 为直径，即， 在中，，，， 由勾股定理得：， ； ∵四边形内接于圆，且， ， ，， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵切于点，且为半径， 于点，即， ∵， 四边形为矩形， ，， ∴， ∵，且为半径， ，即； 在中，由勾股定理得：， ，可知； 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质是解题的关键． 11．(1)； (2)半径为4 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． （2）如图：连接，   直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 12．(1)， (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理， （1）连接，根据垂径定理证明，然后根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）根据切线的性质证明，过点作于点，结合（1）证明是等腰直角三角形，四边形为矩形，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：在中，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图②，连接， 切于点， 于点，， 于点， ， ， ， 同（）可得， ， 如图②，过点作于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ． 13．(1)， (2) 【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果； （2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出； 本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识． 【详解】（1）解：连接． ， ． ∵点C是的中点， ． ． ∵AB是的直径， ． ． ． （2）解：连接． ∵点D是半圆的中点， ． ． ， ． ， ． ，， ． 是等边三角形． ． ． ∵切于点C， ．即． ． ． ． ． ． 在中，． 14．(1)， (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算以及圆周角定理，切线性质，内接四边形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出结合圆周角定理，得出，再运用内接四边形对角互补进行列式，即可作答． （2）由切线性质得出结合圆周角定理得出运用等边对等角以及三角形内角和，则根据三角函数列式，即可作答． 【详解】（1）解： 是半圆的直径， 是的中点， 四边形是圆内接四边形， （2）解：如图，连接 过点作半圆的切线， 由（1）可知. 在Rt中，， 15．(1)， (2) 【分析】（1）直径，得到，等边对等角，得到，利用，求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，进而求出的度数； （2）连接，与相交于点，等边对等角，推出，得到，切线，得到，推出四边形为矩形，得到，即可． 【详解】（1）为的直径， ． ． ， ． ． 四边形是圆内接四边形， ． ． （2）如图，连接，与相交于点． ， ． ， ． ． ． 与相切于点， ，即． ． ， ． ，． 为的直径， ． 四边形为矩形． ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 16．(1)， (2) 【分析】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理及切线的性质，熟练掌握圆周角的相关性质及切线的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据圆周角定理可进行求解； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定可进行求解． 【详解】（1）解：∵E为 的中点， ， ， 又∵， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴， ； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴，即． ， 又，得， ∵，得， ∴． ∴． 在中，，， ∴． 在中，， ． 17．(1)， (2) 【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识， （1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解； （2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接． 切于点， ，即． 是的直径，， ． ． ． ． ． ． 在中，． （2）解：连接． ，， 是等边三角形． ． 同（1）可得， ， ． ， ．即， 又是的直径， ． 是等边三角形，， ． 在中，． ． 18．(1)， (2) 【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可． 【详解】（1）解：∵半径经过弦的中点． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，再根据圆周角定理，得到，进而得到，然后结合垂径定理求解即可； （2）连接，过作，垂足为，根据圆周角定理，推出，是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理，求出，即可得到的长． 【详解】（1）解：如图，连接， 为的切线，为切点， ，． ， ， ， 是弧的中点， ，． 在中，． （2）解：如图，连接，过作，垂足为， ，， ， ，． ，是等腰直角三角形， ，， ，， 在中，， ． 20．(1)， (2) 【分析】（1）连接，与交于点H，由直径得到，然后由切线的性质得到，进而求解即可； （2）连接，与交于点H，设，证明出四边形为矩形，得到，且，然后证明出四边形为平行四边形，得到，进而表示出，，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，连接，与交于点H， 为的直径， ，              ， ；               与相切于点E，且为半径， 于点E，即，              ，             ， ； （2）如图，连接，与交于点H，设， 由（1）可知， 四边形为矩形， ，且， 于点H，且为半径， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， 又，且， ， ， 在中，， ， 解得：， 即：的半径为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 21．(1) (2)， 【分析】（1）连接与相交于点H．根据圆内接四边形对角互补可得，再根据切线的性质和可得，，即可求解； （2）过点B作，根据圆周角定理可得，，从而根据三角函数和勾股定理可求得，，即可求解 【详解】（1）解：连接与相交于点H． ∵四边形是圆内接四边形，． ∴． ∵为的切线， ∴． ∴． ∵， ∴．     ∴． ∴． ∴． （2）解：过点B作． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， 在中，， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22．(1) (2) 【分析】（1）由为的切线可得，由可得，最后可求出的度数； （2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明是等边三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图2，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， 为直径， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线． 答案第10页，共34页 答案第9页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $$