2024年天津市中考数学模拟汇编——解直角三角形

· 2024年天津中考模拟汇编——解直角三角形 知识清单： 1. 直角三角形的性质： （1）直角三角形两个锐角互余； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3）在直角三角形中,30度角所对的直角边是斜边的一半； （4）在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°； （5）在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即(勾股定理)； （6）在直角三角形中,斜边的一半等于外接圆半径；斜边的中心是外心； 2. 特殊角的三角函数值 3. 解直角三角形的理论依据 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B,∠C所对的边分别为a,b，c. （1） 三边之间的关系：（勾股定理） （2） 锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3） 边角之间的关系： 4. 仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角。 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角。 1．（2024·天津滨海新·二模）如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 2．（2019·天津红桥·二模）如图，小明在楼前的空地上将无人机升至空中处，在处测得楼的顶部处的仰角为，测得楼的底部处的俯角为.已知处距地面的高度为，根据测得的数据，计算楼的高度(结果保留整数).(参考数据：，，). 3．（2024·天津西青·一模）小刚和小强要测量建筑物的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点处，测得建筑物顶端的仰角为，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点处测得建筑物顶端的仰角为，此时两人的水平距离为，已知点，，，，在同一平面内，点，，在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点所在的高度为，根据测得的数据，计算建筑物的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 4．（2018·天津·中考真题）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，. 5．（2024·天津·二模）学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部B点到地面的距离．兴趣小组在C处测得标语牌底部B点的仰角为，在D处测得标语牌顶部A点的仰角为，．设标语牌底部B点到地面的距离为h（单位：m）．    (1)用含h的式子表示线段的长； (2)求B点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 6．（2024·天津滨海新·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度． 如图，在地面处测得广告牌顶端顶点的仰角为，走向广告牌到达处，在处测得广告牌低端顶点的仰角为，已知，立柱垂直于，且点，，在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点作，垂足为．设（单位：）．      (1)用含有和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点到地面的距离的长．（取，结果取整数） 7．（2024·天津和平·一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡的底部测得建筑物顶部的仰角为，在点处测得建筑物顶部的仰角为． (1)求点到的距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）： ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）： ②求建筑物的高度（取1.3，取1.7，结果取整数）． 8．（2024·天津·一模）为丰富群众文化生活，某公园修建了露天舞台，在综合与实践活动中，要利用测角仪测量背景屏幕最高点离地面高度．如图，已知舞台台阶m，，某学习小组在舞台边缘处测屏幕最高点的仰角，在距离点2m的处测得屏幕最高点的仰角，已知点，，，，，，在同一平面内，且，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上． 参考数据：取0.4，取1.7． (1)求的长（结果保留整数）； (2)求最高点离地面的高度的长（结果保留整数）． 9．（2024·天津河北·二模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度．如图，两山脚距离，在山脚测得山腰处的仰角为 ，山脚和山腰相距， 在山腰处测得山顶的仰角为 ，在山脚测得山顶的仰角为 ，点，， ，在同一平面内． (1)求山腰到的距离的长； (2)设山高为 (单位：)． ①用含有的式子表示线段的长结果保留三角函数形式)； ②求山高 (取， 取， 取，结果取整数)． 10．（2024·天津红桥·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度． 如图，在梯形平台上有一座高为的古塔，已知，点A在水平线上． 某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为． (1)求梯形平台的高的长； (2)设古塔的高为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）：______________． ②求古塔的高度（，取1.7，结果取整数）． 11．（2024·天津南开·一模）如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 12．（2024·天津河东·一模）综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数）． 13．（2024·天津河北·一模）某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量一建筑物的高度．如图，在建筑物与教学楼之间的操场上取一观测点C，点E，点C，建筑物底部A在同一条水平直线上，已知观测点C至教学楼出口E的距离．某组同学在观测点C处分别测得建筑物楼顶B的仰角为，教学楼顶D的仰角为，在教学楼顶D处测得建筑物底部A的俯角为． (1)求教学楼的高； (2)设建筑物的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取，取，取，结果取整数）． 14．（2024·天津和平·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 15．（2024·天津西青·二模）如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m． (1)求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） (2)设建筑物的高为h． ①用含有h的式子表示； ②求建筑物的高度：（结果保留整数） 参考数据取1.6，取0.9． 16．（20-21九年级上·湖北随州·期末）桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度.在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为测得这根立柱与水面交汇点的俯角为向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为.已知点在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面． （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）． 参考数据：， 17．（2023·四川成都·中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）      18．（2024·天津南开·二模）校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从家出发后，导航给出两条线路，如图：①；②．经勘测，点E在点A的北偏西方向米处，点D在点E的正北方向，点M在点D的正东方向90米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东方向；点C在点M的正东方向米处，且在点B的北偏西方向．    (1)求的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条路线距离更短（参考数据：，，取0.6，取0.8，取0.75）． 19．（2024·天津河东·二模）如图，，是两条南北向的笔直的公路，是公路上一座南北走向的大桥，一辆汽车在公路上由南向北行驶．已知在A处测得桥头C在北偏东方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在北偏东方向上，桥头D在北偏东方向上．    (1)求线段的长和的度数； (2)设两条公路之间的距离的长度为x（单位：m）． ①用含有x及的式子表示线段的长； ②若，求大桥的长度（，，结果保留整数）． 20．（2024·天津和平·三模）如图，小岛A，B，C在同一条南北方向的直线上．一艘轮船位于灯塔M的正西方向，距离灯塔M30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔M的西北方向上的B处，轮船沿北偏东方向航行到达小岛D，这时测得灯塔M位于D的南偏东 方向上，C在D处的正西方向． (1)求小岛A，B之间的距离的长； (2)设小岛C，D之间的距离为h（单位：海里）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求小岛C，D之间的距离．（，，，取1.73，结果精确到0.1） 21．（2024·天津武清·三模）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥，可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知桥和平行，．    (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程．参考数据：，，，结果保留整数． 试卷第10页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．约27.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：题意得，， 设米， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， （米， 建筑物的高度约为27.5米． 2．楼AB的高度为30m. 【分析】如图，过点C作CE⊥AB于E，则BE=CD=12m，利用∠BCE的正切值可求出CE的长，利用∠ACE的正切值可求出AE的长，进而可得AB的长. 【详解】如图，过点C作CE⊥AB， ∴BE=CD=12， 在Rt△BCE中，tan∠BCE=≈0.60， ∴CE==20(m) 在Rt△ACE中，tan∠ACE=≈0.90， ∴AE=20×0.90=18(m)， ∴AB=AE+BE=18+12=30(m) 答：楼AB的高度为30m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键. 3． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 过点作，垂足为点，首先得到，，设，则，然后利用三角函数列方程求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为点． 根据题意，有，，，， ， 四边形是矩形． ，． 设，则． 在中，，， ． 在中，，， ． ． ， ． 解得． 答：建筑物的高度约为． 4．甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为. 【详解】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案． 详解：如图，过点作，垂足为. 则. 由题意可知，，，，，. 可得四边形为矩形. ∴，. 在中，， ∴. 在中，， ∴. ∴ . ∴. 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为. 点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般． 5．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）先利用直角三角形两锐角互余求得，由等腰三角形的判定得，即可求解； （2）在中，由，得，解之即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， 在中， ∵ ∴ ∴， 答：B点到地面的距离的长． 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）直接解直角三角形即可得到答案； （2）解法一：先解得到，再由得到，代值计算即可；解法二：先解得到，则，进而得到，代值计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． （2）解：解法一：在中，，， ． ， ．即． 解得． 答：广告牌低端顶点到地面的距离的长约为． 解法二：： 在中，，， ． 在中，，， ， ． 答：广告牌低端顶点到地面的距离的长约为． 7．(1) (2)①；②建筑物的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角，涉及含30度的直角三角形性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数测高方法是解决问题的关键． （1）根据题意得到，利用含的直角三角形性质计算即可得到答案； （2）①根据题意，在和解直角三角形，数形结合，由代值求解即可得到答案；②过点作，垂足为，如图所示，利用矩形判定与性质，在中，解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， 在，，， ∴，即的长为； （2）解：①在中，， ∴， 在中，由，，，得， ∴，即的长为； ②过点作，垂足为，如图所示： 根据题意，， ∴四边形是矩形， ∴，，可得， 在中，，， ∴，即， ∴， 答：建筑物的高度约为． 8．(1) (2)最高点C离地面的高度的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题； （1）根据计算即可； （2）根据三角函数求出，再结合列方程求出的长度，最后根据计算即可； 【详解】（1）在中 ∵，， ∴，解得； （2）在 中，，     在中，， ∵ ∴ 则 ， 由题意知四边形是矩形， 则． ∴． 答：最高点C离地面的高度的长约为． 9．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题； （1）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）①在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； ②过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用①的结论，再根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， 山腰到的距离的长为； （2）①在中，， 即的长为 ②如图，, 过点作，垂足为 根据题意，， ∴四边形 是矩形， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 答:山高 约为. 10．(1) (2)①；②古塔的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角的问题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）过点D作于点H，根据直角三角形30度角所对的边为斜边的一半进行求解即可； （2）①利用正切值直接进行求解即可；②先利用勾股定理表示出，再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H， ， ， ； （2）①， ， ， ； ②在中，， ， ， 整理得：， 解得：． 11．(1)斜坡的高度EF的长为m； (2)旗面宽AB的长约为m． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含的直角三角形的性质可得米； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）在中，， ，由勾股定理． 斜坡的高度的长为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，即四边形为矩形， 则， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， （m）， 旗面宽的长约为m． 12．(1) (2)①；②31米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含45度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）①在中，利用锐角三角函数定义求得，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，， ， 即的长为； （2）①由题意得， 在中，，， ， ， 即的长为； ②过点作，垂足为， 根据题意，， 所以四边形是矩形． ，，， 在中，， ， ， 解得． 答：信号塔的高约为31米． 13．(1)教学楼的高为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】（1）由题意知，，则，然后求解作答即可； （2）①由题意知，根据，求解作答即可；②如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形，，由，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， ∴教学楼的高为． （2）①解：∵， ∴， ∴， ∴的长为． ②解：如图，过点作，垂足为．则四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴建筑物的高度约为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，等角对等边，正切，矩形的判定与性质是解题的关键． 14．(1)的长为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在中，利用30度角的性质求解即可； （2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长； ②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解． 【详解】（1）由题意得 在中，， ．即的长为． （2）①在中，， 在中，由，得． ．即HE的长为 ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ， ∴． 在中，， ．即， （m）． 答：建筑物的高度约为． 15．(1)操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20m (2)①；②建筑物的高度约为25m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，对于（1），根据题意可知，，，再根据，可得，代入计算即可． 对于（2）①，根据题意得，，结合，可得答案；②作，先说明四边形DCEF是矩形，由，得，再根据等腰直角三角形的性质得，进而得出，然后由（1）结合，并根据（2），结合得出方程，求出答案即可． 【详解】（1）根据题意，有，，． 在中，， （m）． 答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长约为20m； （2）①根据题意，有，． 在中，， ②如图，过点D作，垂足为F，则． ． 四边形是矩形． ，． ． 根据题意，有， ． ． 由（1）知， ， 由（2）①知， ． ． 答：建筑物的高度约为25m． 16．（1）米；（2）米． 【分析】（1）由题意可得出，从而可得，在中求解即可得高度． （2）在中求解可得BC，从而可得AC，在中，可求CN，进而可得MN． 【详解】解：， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米． 在中，， 在中， （米） 答：大桥立柱在水面以上的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义． 17．米 【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，    依题意， ，（米） 在中，（米），（米），则（米） ∵（米） ∴（米） ∵， ∴（米） ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18．(1)的长度为米； (2)选择路线②距离短，见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）过点A作，于点P，分别在，中，利用三角函数求解，，即可得到答案； （2）过点B作，垂足为Q，证明四边形为矩形，求解；在中， 在中进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，于点P，    由题意得：，，，米． ∵在中，，， ， 同理； ∵在中，，， ， ； 即的长度为米． （2）过点B作，垂足为Q，    由题意得：， 四边形为矩形， ，， ， 且， ； ∵在中，，， ，， ，， ∵在中，，，， ； 路线①的长为（米）， 而路线②的长为（米）， 显然， 选择路线②距离短． 19．(1)， (2)①米②米 【分析】本题主要考查了方向角，平行的性质以及解直角三角形的相关计算． （1）根据题意可得出，． （2）过点B作于H． 可得出四边形为矩形，，①由题意得出，由平行线的性质可得出，解直角三角形即可得出．②由平行的性质可得出，解求出，，再得出为等腰直角三角形，即可得出，最后根据线段得和差关系求出． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ; （2）过点B作于H．    ∴四边形为矩形， ∴，， ①由题意得：， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解的长为：． ②∵ ∴， 在， ，， ∴， 即， 解得：米， 则米， 在中， ∵， ∴， ∴， 即求大桥的长度为． 20．(1)30海里 (2)①海里；②15.7海里 【分析】本题考查了解直角三角形-方向角问题、正确的识别图形是解题的关键． （1）由题意得：，，，在中，利用正切即可求解； （2）①在中，利用，求出，即可得出结果；②过点D作，垂足为N，证明四边形是矩形，，在中，利用，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 在中， ∴， 即的长为30海里； （2）解：①在中， ， ， ， 即的长为 海里； ②如图，过点D作，垂足为N， 根据题意，， ∴四边形是矩形， ， 可得， 在中，， ∴， 即， （海里） 答：小岛C，D之间的距离约为15.7海里． 21．(1)点到直线的距离为 (2)现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，于，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出的长即可得解； （2）解直角三角形得出的长，在求出的长，由勾股定理得出的长，最后由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：作于，于，   ， 则， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； （2）解：在中，，，， ∴， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 答案第10页，共23页 答案第9页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$