精品解析：湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二下学期6月考数学试题

武汉市第十一中学2025届高二6月考 高二数学试卷 考试时间：2024年6月1日10：15-12：15 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 4. 具有线性相关关系的变量的样本数据如下： －2 －4 －6 －8 17.4 13 8.2 5 其回归直线方程为，则回归直线经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 5. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与的取值有关 8. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 恰有3个白球的概率为 B. 取出的最大号码X服从超几何分布 C. 设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D. 若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 10. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递增，则实数的值可以是______.（写出满足条件的一个值即可） 13. 已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为________． 14. 已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与. （1）组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格： 性别 年龄 总计 满50周岁 未满50周岁 男 15 45 60 女 5 35 40 总计 20 80 100 根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？ 17. 已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前项和，求. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市第十一中学2025届高二6月考 高二数学试卷 考试时间：2024年6月1日10：15-12：15 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，否定形式为：将改为，再将结论否定，即可选出. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，而命题是全称量词命题，所以为“”. 故选：B. 2. 若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第1次按对和第2次才按对两种情况，利用条件概率公式和加法公式计算概率可得. 【详解】记“小王第一次按对”=, “第二次按对”, ,； 小王1次就按对的概率即为， 小王恰好需要2次才按对的概率. 所以小王不超过2次就按对的概率为. 故选：B. 3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ） A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的密度函数可求，由条件，利用正态分布的性质可求，由此可求结论. 【详解】依题意可知，，又因为， 所以， 所以数学成绩超过120分的人数约为， 故选：B. 4. 具有线性相关关系的变量的样本数据如下： －2 －4 －6 －8 17.4 13 8.2 5 其回归直线方程为，则回归直线经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】结合表中数据判断，再求出样本中心点，即可判断答案. 【详解】由表中的数据知正相关．所以， 又，， 即点在回归直线上，且在第二象限， 所以回归直线经过第一、二、三象限， 故选：A 5. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得. 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小. 由，得，即. 故选：C. 6. 元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，， 所以， 故选：B. 7. 设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据期望的公式推出，再根据方差的计算公式可得的表达式，结合基本不等式，即可判断的大小，即得答案. 【详解】由题意得， ， 故， 记 则 同理 因为，则，，， 故， 即得，与的大小关系与的取值无关， 故选：C 8. 已知函数，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数确定函数的单调性，由对数函数性质、指数函数性质比较对数、幂的大小后，由奇偶性、单调性得结论． 【详解】函数的定义域为，，故为偶函数， 当时，，令，则，即在上单调递增，故，所以，则在上单调递增， 由于，，，所以． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 恰有3个白球的概率为 B. 取出的最大号码X服从超几何分布 C. 设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D. 若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C. 【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确； 对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球， 其概率为，故D正确； 对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义， 故X不服从超几何分布，故B错误， 对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布， 易知 ，显然当时，概率最大，故C正确； 故选：ACD 10. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断. 【详解】对于A，因为， 令，则，故，则，故A正确； 对于B，因为的定义域为，关于原点对称， 令，则，又不恒为0，故， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，因为为偶函数，所以， 令，则，故， 令，则，故， 又为奇函数，故， 所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故的一个周期为6， 因为，所以， 对于， 令，得，则， 令，得，则， 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 又， 所以由的周期性可得： ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递增，则实数的值可以是______.（写出满足条件的一个值即可） 【答案】8（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则知，在上单调递增，所以，所以， 则实数的取值范围为，故实数的值可以是8. 故答案为：8（答案不唯一） 13. 已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得. 【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，， ，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故最大值为． 故答案为：. 14. 已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________． 【答案】7 【解析】 【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数. 【详解】由题设，令集合，共有7个元素， 所以的三元子集，如下共有35个： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有： 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素. 故答案为：7 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知：实数满足：实数满足. （1）若，且和至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意解一元二次不等式得命题，结合命题真假确定取值范围； （2）利用充分条件、必要条件的定义解不等式即可. 【小问1详解】 ：实数满足，解得. 当时，，解得， 和至少有一个为真命题，， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，解得， 即 是的充分不必要条件， （等号不同时取）， ， 又， 故实数的取值范围为 16. 某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与. （1）组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格： 性别 年龄 总计 满50周岁 未满50周岁 男 15 45 60 女 5 35 40 总计 20 80 100 根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联； 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？ 【答案】（1）认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的列联表中的数据，求得，结合题意，即可得到结论； （2）设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，利用条件概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：零假设为：全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联， 根据的列联表中的数据，可得， 所以根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认定为成立，即认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联. 【小问2详解】 解：设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球， 则 ， 所以这位火炬手时男性的概率约为. 17. 已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. 【小问2详解】 易知，所以， 两式相减得 ， 所以. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）在处取得极大值，无极小值 （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减 （3）整数的最大值为5 【解析】 【分析】（1），令或可求单调区间，进而求得极值； （2），然后分类讨论可求得的单调区间； （3）根据已知式子进行变量分离可转化为恒成立，令，然后利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的最小值，进而得出所求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，上单调递减. 【小问3详解】 在时恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，且 ，所以在存在唯一实数， 使得，即，所以 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以， 故，又，整数的最大值为5． 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 19. 某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 【答案】（1） 1 2 3 4 P （2）（ⅰ） 1 2 3 … P … （ⅱ）. 法1：， 故， 求得， 故， ∴，① ，② ②①，. 故. 法2：令， 则， 因此： . 又， 故. 【解析】 【分析】（1）由题知，两道题都答对的概率为，至少有一道不能答对的概率为，故有，，即可求出概率分布列； （2）（i）根据题意先考虑时，第k人必答对第二题，故有故，再考虑当时，故，于是得到其概率分布列； （ii）由（i）求得期望，在考虑的单调性，即可证明成立，再用错位相减法和不等式放缩得即可证明. 【详解】（1），， 因此的分布列为 1 2 3 4 P （2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题， 若前面人都没有一人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故. 当时， 若前面人都没有一人答对第一题，其概率为， 若前面人有一人答对第一题，其概率为， 故. 的分布列为： 1 2 3 … P … （ⅱ）略 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，考查数学运算能力与分析解决问题能力，是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $