微专题02 平面向量的最值与范围问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题02 平面向量的最值与范围问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的最值范围 题型2 向量夹角的最值范围 题型3 向量模长的最值范围 题型4 系数关系的最值范围 一、平面向量求最值范围的常用方法 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 二、平面向量数量积的最值问题求解策略 平面向量具有代数和几何的双重属性,求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路,代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。 求解平面向量数量积的最值问题,最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式,选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向: 利用数量积的定义,借助平面几何知识,转化为关于某个变量的函数, 思路1：利用向量运算(三角形法则)和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数, 思路2：利用向量极化恒等式:进行转化, 思路3：建立平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算, 思路4：设角度,把问题转化为三角函数问题后,换元求最值问题, 建立目标函数后求最值,需具体问题具体分析，求最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。 三、与模有关的最值(范围)问题 求向量模的最值(范围)的方法通常有两种.(1)代数法.把所求的模表示成某个变量的函数,或通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标表示;需要构造不等式,利用基本不等式、三角函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法).弄清所求的模表示的几何意义,注意题目中所给的垂直、平行,以及其他数量关系,合理的转化,使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解. 4、 与夹角有关的最值(范围)问题 求夹角的最值(范围)问题时,往往要选取对应夹角的三角函数值,以选取夹角余弦值为主,通过余弦值的三角函数表达式,利用关系式的变形与转化,采用基本不等式或函数的性质进行求解. 五、与系数有关的最值(范围)问题 解此类问题一般分两步走.第一步,利用平面向量的运算、性质等将问题中的系数等相关信息转化为相应的等式关系;第二步,运用基本不等式或函数的性质求其最值. 平面向量中的最值(范围)问题,是高考对平面向量比较常见的考查形式之一,也是常考常新的基本考点之一,主要考查的知识点涉及平面向量的模、坐标、夹角、数量积以及相关的参数等.在实际解答与应用时,挖掘题目内涵,结合题意,从平面向量的本质出发,选取函数法、三角法、不等式法、图形法等行之有效的基本方法来解决,进而达到解决相关的最值(范围)问题的目的. 题型1 向量数量积的最值范围 1.中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 2.如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    3.在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值； 4.已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 5.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 6.如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 7.在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； 题型2 向量模长的最值范围 8.已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 11.已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 12.边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 13.如图，在等腰梯形中，. 点在线段上运动，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 14.在中，已知，，，点满足（），其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 15.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是 ． 题型3 向量夹角的最值范围 16.已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 17.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 18.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19.已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 20.已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 21.已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 . 题型4 系数关系的最值范围 22.在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23.如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 24.△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 25.在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点． 若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 26.已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．6 27.在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（    ）． A． B． C．2 D．8 28.如图扇形所在圆的圆心角大小为，是弧上任意一点，若，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 29.在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30.在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题02 平面向量的最值与范围问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的最值范围 题型2 向量夹角的最值范围 题型3 向量模长的最值范围 题型4 系数关系的最值范围 一、平面向量求最值范围的常用方法 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 二、平面向量数量积的最值问题求解策略 平面向量具有代数和几何的双重属性,求解平面向量数量积的最值问题可以从代数角度和几何角度去寻找解题思路,代数化、坐标化和几何化都是最常见的解题策略。 求解平面向量数量积的最值问题,最基本的思路就是结合数量积定义与向量运算公式,选择恰当的方法将平面向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题。这类问题一般有以下几种转化方向: 利用数量积的定义,借助平面几何知识,转化为关于某个变量的函数, 思路1：利用向量运算(三角形法则)和平面图形的几何性质转为关于某个变量的函数, 思路2：利用向量极化恒等式:进行转化, 思路3：建立平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算, 思路4：设角度,把问题转化为三角函数问题后,换元求最值问题, 建立目标函数后求最值,需具体问题具体分析，求最值问题一般有两种方法:一是利用几何意义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解。 三、与模有关的最值(范围)问题 求向量模的最值(范围)的方法通常有两种.(1)代数法.把所求的模表示成某个变量的函数,或通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标表示;需要构造不等式,利用基本不等式、三角函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法).弄清所求的模表示的几何意义,注意题目中所给的垂直、平行,以及其他数量关系,合理的转化,使得过程更加简单;结合动点表示的图形求解. 4、 与夹角有关的最值(范围)问题 求夹角的最值(范围)问题时,往往要选取对应夹角的三角函数值,以选取夹角余弦值为主,通过余弦值的三角函数表达式,利用关系式的变形与转化,采用基本不等式或函数的性质进行求解. 五、与系数有关的最值(范围)问题 解此类问题一般分两步走.第一步,利用平面向量的运算、性质等将问题中的系数等相关信息转化为相应的等式关系;第二步,运用基本不等式或函数的性质求其最值. 平面向量中的最值(范围)问题,是高考对平面向量比较常见的考查形式之一,也是常考常新的基本考点之一,主要考查的知识点涉及平面向量的模、坐标、夹角、数量积以及相关的参数等.在实际解答与应用时,挖掘题目内涵,结合题意,从平面向量的本质出发,选取函数法、三角法、不等式法、图形法等行之有效的基本方法来解决,进而达到解决相关的最值(范围)问题的目的. 题型1 向量数量积的最值范围 1.中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为点C是线段上的动点， 所以, 所以 因为点D是的中点,所以, 所以, 又，，，即 所以， ， 又，所以当时，的最小值.故选：B. 2.如图，是等边三角形，边长为是平面上任意一点．则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取的中点，的中点，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在边长为2的在中，取的中点，连接并取其中点，连接，则， 于是 ， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：    3.在中，，，点为的中点，点为的中点，若，求的最大值； 【解析】设， 因为，则，由图可得，， 所以，即，即. 因为点为的中点， 所以， 于是. 记， 则， 在中，由余弦定理得，， 于是， 由和基本不等式可得，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 4.已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点、、， 设点，，，， 且，则，可得， 由于点在正内，则，可得，则， 可得，， ， 所以当时，取最小值. 故选：C. 5.等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 则建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，， 又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是．故选：C． 6.如图，等腰梯形ABCD中，，，点E是线段BD上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，将向量坐标化即可求解 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以．    设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备） 则，所以，得， 所以，所以，． 所以， 所以当时，取得最小值，为． 故选：A 7.在四边形ABCD中，，，，且，若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值； 【解析】由题意知， 得，于是. 取的中点，连接，如图所示， 根据极化恒等式有， 因此要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，最小，此时过点A作BC的垂线AF，垂足为， 则. 所以的最小值为； 题型2 向量模长的最值范围 8.已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，由重心的性质可知，再根据已知条件可知，又，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因为G为三角形ABC的重心，所以， 因为，， 所以， 所以， 又 ，当且仅当时取等号； 故选：D. 9.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解. 【详解】设，如图所示： 则， 因为与的夹角为120°， 所以， 因为，且的起点相同， 所以其终点共线，即在直线AB上， 所以当时，最小，最小值为，无最大值， 所以的取值范围为， 故选；A 10.已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】依题意，作，使，如图， 显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线， 于是为点与直线上的点的距离，过作线段于， 所以.故选：C 11.已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】 由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【详解】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 12.边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由，得，即， 取BC中点G，AB中点H，连接GH， 则，即， 取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点， 此时，所以，， ∵点P满足，M为边上的点， ∴当M与A重合时，有最大值，为， 而， ∴的最大值为，D正确.故选：D. 13.如图，在等腰梯形中，. 点在线段上运动，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出各点坐标，求出AD方程，设P的坐标，用坐标表示出，根据二次函数值域即可计算. 【详解】 如图，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系， 则，，，， 易知，，故AD方程为：， 故设， 则，， ， ， ∵， ∴最小值为，最大值为， ∈. 故选：B. 14.在中，已知，，，点满足（），其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，已知，，， 由正弦定理可得，即，解得， 因为，则，所以为等腰直角三角形． 以为原点，所在直线为轴，以的垂线为轴， 建立平面直角坐标系如图所示： 过作于，则， 则点坐标为，所以，， 因为， 则， 则， 因为，则，代入上式可得 ， 所以当时， ，故选：A． 15.已知平面向量，，满足，，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用数量积的性质求出的最小值，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由及，得， 因此，则，当且仅当同向共线时取等号， 于是， 故的最小值是． 故答案为： 题型3 向量夹角的最值范围 16.已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，可得，所以； 因此， 所以， 显然，所以，当且仅当时，等号成立； 此时的最小值为.故选：C 17.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为.故选：A. 18.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量，的夹角为，因为，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 因为，所以， 故，的夹角的取值范围是.故选：A. 19.已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为关于的方程有实根， 所以， 所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是.故选：B. 20.已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 又的取值范围为，所以，解得， 又，则，即， 因为的最小值为，最大值为， 所以， 又，所以， 即向量，的夹角的取值范围为.故选：A 21.已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题设，构建以G为原点的直角坐标系，设点坐标，，，求得，，应用向量夹角的坐标表示表示出，结合基本不等式即可求最值，注意取值条件. 【详解】由且，则，构建如下平面直角坐标系， G为原点，结合中线可令，，，则，， ∴， 由，当且仅当时等号成立， 所以，仅当时等号成立，即的最小值为. 故答案为： 题型4 系数关系的最值范围 22.在直角中，，，为边上的点，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出的最小值． 【详解】解：由题，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，，， ∵，∴， 又，， ， 若，则， 得：，解得. 又，因此，.即 故选： 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算问题，属于中档题． 23.如图，在中，，过点的直线交射线于点，交于点，若，则的最小值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即有， 由，且，得， 因此，而点，，共线，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.故选：B 24.△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为P为线段CD上一点，则，且， 又因为，可得，即，所以， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4.故选：B. 25.在△ABC中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点． 若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延长交于， 因为，所以是的重心，从而是中点， 又， ， 因为三点共线，所以，即， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是，故选：D． 26.已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】D 【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】因为点为的重心，所以，则. 因为三点共线，， 所以，. 所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 故选：D 27.在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（    ）． A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】画出图形，通过向量线性运算分析得到，从而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意验证取等条件是否满足. 【详解】如图所示： 不妨设，则， 同理设，则， 所以 又由题意， 所以， 从而， 当时，由基本不等式可得， 等号成立当且仅当. 综上所述：的最小值为2. 故选：C. 28.如图扇形所在圆的圆心角大小为，是弧上任意一点，若，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则、， 设点， 因为， 所以，，所以， 所以， 其中为锐角，且， 又由，解得， 因为，则， 当时，取得最大值. 当时，的值为， 当时，的值为 所以的最小值为.故选：C. 29.在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】作交于F，连接    ，则∽，故， 由于点为边上的中点，故， ，故，又∽，故， 故， 则 , 由于，，故， 因为三点共线，故， 所以，     当且仅当，结合，即时等号成立， 即的最小值为， 故选：B 30.在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】   因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以 ，当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值是. 故选：D $$