第04讲 立方根（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第04讲 立方根（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点02：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点03： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【典型例题一 立方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【例2】（23-24七年级下·福建福州·期中）下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 【例3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）若有意义，则x的取值范围是_________． 【例4】（22-23七年级下·江西宜春·阶段练习）如果，，那么 ． 【例5】（22-23七年级下·福建福州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（2024·山东滨州·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D．3 【例2】（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（    ） A．4 B． C．2 D． 【例3】（23-24七年级下·湖北孝感·期中）计算： ． 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习），则 ． 【例5】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢铁的棱长．（不计损耗） 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）立方根是的数是（    ） A．4 B． C． D．8 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么 ． 【例4】（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【例5】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【例6】（2024七年级·全国·专题练习）计算：． 【典型例题四 立方根的实际应用】 【例1】（23-24七年级上·山东威海·期末）体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 【例2】（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ）cm． A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期中）若和的立方根互为相反数，则a＝ ． 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）如果正方体的体积是正方体的体积的8倍，正方体的棱长是，那么正方体的棱长是 ． 【例5】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长． 【例6】（21-22八年级上·全国·课后作业）对于任意数，一定等于吗？ 【典型例题五 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（22-23七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．0.4的算术平方根是0.2 B．是6的平方根 C．1的立方根为 D．没有平方根 【例3】（22-23八年级上·河南新乡·期中） ． 【例4】（22-23七年级下·广西柳州·期中）若，则 的值为 ． 【例5】（22-23八年级上·湖南永州·期末）已知a，b为实数，且满足关系式：|a﹣2b|+(3a﹣b﹣10)2=0． 求：（1）a，b的值； （2）5的平方根． 【例6】（23-24八年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ①；②；③；④；… (1)写出第个等式：________；猜想：________； (2)写出第个等式，并说明它正确的理由． 【变式训练1 立方根概念理解】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 2．（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 3．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则 ． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）计算： ． 5．（23-24八年级下·广东珠海·期中）正方形的边长为a cm，它的面积与长为10cm，宽为8cm的长方形的面积相等，求a的值． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： 0.0025 0.25 25 2500 250000 …… 0.05 0.5 5 50 500 …… (1)表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动 　 　位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知：， ①　 　　　；　 　　　 ②若，则　　　　　　　． 【变式训练2 求一个数的立方根】 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·二模）计算：（    ） A．3 B． C．9 D． 3．（2023·四川泸州·模拟预测）的立方根是 ；的立方根是 ． 4．（2024·安徽·一模）计算： ． 5．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期中）有一个数值转换器．原理如图． (1)当输入的为25时，输出的______； (2)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？请说明理由； (4)若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的3个不同的值． 【变式训练3 已知一个数的立方根，求这个数】 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖北黄冈·期末）若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，若，则x的值约为 ． 4．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知，则的值是 ． 5．（22-23七年级下·广东湛江·期末）已知实数x，y，z满足：y=，z的平方根等于它本身，求的值． 6．（23-24八年级上·甘肃天水·阶段练习）若的算术平方根是8，求的平方根． 【变式训练4 立方根的实际应用】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）体积为4的正方体的棱长是（    ） A．4的平方 B．4的平方根 C．4的立方根 D．4的算术平方根 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（　　） A．m B．m C．25m D．125m 【点睛】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）体积为5的立方体的棱长为 ． 4．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）一个体积是9的小正方体的棱长是 ． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【变式训练5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）计算﹣﹣的结果为（    ） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 2．（22-23七年级下·山西大同·期中）计算 ＋(－)的结果是(     ) A．4 B．0 C．8 D．12 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）的算术平方根是 ，立方根是 ． 4．（22-23八年级上·江西抚州·期中）x是25的算术平方根，y是-64的立方根，则x+y的值为 ． 5．（22-23七年级下·重庆·期末）实数满足，求的平方根 6．（23-24七年级下·福建福州·期中）一个正数的平方根分别是与，求和的值． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 3．（22-23七年级下·广西崇左·阶段练习）若，则的值为：（    ） A．16 B．24 C．64 D．256 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若一个正方体的体积为，则该正方体的棱长为( ) A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）若a是的平方根，b的一个平方根是2，则的立方根为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或 6．（23-24七年级下·北京海淀·期中）若与互为相反数，则 ． 7．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是 ． 8．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知=1.738，=0.1738，则a的值为 9．（22-23七年级下·广西南宁·期中）体积为的正方体的棱长为 ． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若x是64的平方根，则＝ ． 11．（23-24七年级下·广东湛江·期中）利用平方根来解下列方程． 12．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 13．（23-24七年级下·山西大同·期中）已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 14．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）(1)一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？ (2)已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值． 15．（2023七年级上·浙江·专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 立方根（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 立方根的实际应用 题型五 算术平方根和立方根的综合应用 知识点01：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点02：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点03： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【典型例题一 立方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·安徽淮北·期中）是的（    ） A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方 【答案】C 【分析】本题考查立方根，如果，那么叫做的立方根，这是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， 即是的立方根， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·福建福州·期中）下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 【详解】解：读作负3的立方根的相反数， 故选：C． 【例3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】全体实数 【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可． 【详解】解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以可以取一切实数． 故答案为：一切实数． 【点睛】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键． 【例4】（22-23七年级下·江西宜春·阶段练习）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根；解决本题的关键是熟记立方根的性质． 【例5】（22-23七年级下·福建福州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根的意义，进行计算即可解答； （2）利用立方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ； （2） ， ． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【典型例题二 求一个数的立方根】 【例1】（2024·山东滨州·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【例2】（2024·陕西咸阳·三模）的立方根为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义，即可求解． 【详解】 的立方根为． 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·湖北孝感·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用立方根解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 本题利用立方根的定义直接求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）某金属冶炼厂将8个大小相同的正方体钢铁在炉火中熔化，重新铸成一个新的长方体钢铁，且此长方体的长、宽、高分别为，和，求原来每个正方体钢铁的棱长．（不计损耗） 【答案】原来每个正方体钢铁的棱长为． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设原来每个正方体钢铁的棱长为，根据炼化前后总体积不变结合长方体和正方体体积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设原来每个正方体钢铁的棱长为， 由题意得，， 解得， 答：原来每个正方体钢铁的棱长为． 【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）立方根是的数是（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义：一个数x的立方等于a，则x叫a的立方根是解题的关键． 利用立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴立方根是的数是， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【例3】（23-24七年级下·上海金山·期中）实数a的立方根是3，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是已知一个数的立方根，求原数，根据立方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵实数a的立方根是3， ∴， 故答案为： 【例4】（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．找到立方根等于2的数即可． 【详解】解：， 这个数是8， 故答案为：8． 【例5】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， ； （2）解：∵， ， 则的平方根是． 【例6】（2024七年级·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． 【典型例题四 立方根的实际应用】 【例1】（23-24七年级上·山东威海·期末）体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为，则有： ，解得， 所以，立方体的棱长为， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ）cm． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选 C． 【例3】（23-24八年级上·四川成都·期中）若和的立方根互为相反数，则a＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质，若，则；反之，若，则也成立，熟练掌握立方根性质是解决本题的关键； 【详解】解：由题意知： 解得： 故答案为： 【例4】（2024七年级下·全国·专题练习）如果正方体的体积是正方体的体积的8倍，正方体的棱长是，那么正方体的棱长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查立方根，根据题意，设正方体的棱长，列方程，由立方根定义求解即可得到答案，熟记立方根定义是解决问题的关键 【详解】解：正方体的棱长是， 设正方体的棱长是，依题意得，解得， 故答案为：1． 【例5】（22-23七年级上·山东威海·期末）如图，在中，的中垂线交于点D，E，．若，求的长． 【答案】 【分析】直接把代入到进行求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确计算是解题的关键． 【例6】（21-22八年级上·全国·课后作业）对于任意数，一定等于吗？ 【答案】不一定，当时，；当时， 【分析】根据算术平方根的性质求解即可．． 【详解】解：不一定． 理由：当时，； 当时，． 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质．． 【典型例题五 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（22-23七年级下·山东济宁·期中）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义化简，然后再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 又的立方根是， 的立方根是， 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【例2】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．0.4的算术平方根是0.2 B．是6的平方根 C．1的立方根为 D．没有平方根 【答案】B 【分析】根据一个正数的平方根由两个互为相反数的实数组成、平方根的概念、立方根的概念判断即可． 【详解】A．0.4的算术平方根是，故错误，不符合题意； B．是6的平方根，故正确，符合题意； C．1的立方根是，故错误，不符合题意； D．中，当时，有平方根，故错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根的概念，熟记概念是关键． 【例3】（22-23八年级上·河南新乡·期中） ． 【答案】5 【分析】根据算术平方根和立方根的运算法则即可得． 【详解】解：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握运算法则是解题关键． 【例4】（22-23七年级下·广西柳州·期中）若，则 的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义可得，进而代入根据立方根的定义即可求解 【详解】解：∵ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)． 【例5】（22-23八年级上·湖南永州·期末）已知a，b为实数，且满足关系式：|a﹣2b|+(3a﹣b﹣10)2=0． 求：（1）a，b的值； （2）5的平方根． 【答案】（1）a=4，b=2；（2）±3． 【分析】（1）先根据非负数的性质列出关于ab的方程组，求出a、b的值即可； （2）把ab的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵a，b为实数，且满足关系式：|a﹣2b|+(3a﹣b﹣10)2=0， ∴，解得 ∴a=4，b=2； （2）∵a=4，b=2， ∴原式5 =6﹣2+5 =9． ∵(±3)2=9， ∴5的平方根是±3． 【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知非负数的性质及实数的运算法则是解答此题的关键． 【例6】（23-24八年级上·福建三明·期中）观察下列等式： ①；②；③；④；… (1)写出第个等式：________；猜想：________； (2)写出第个等式，并说明它正确的理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，求一个数的算术平方根； （1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）观察所给的等式，找到规律后直接写出即可． 【详解】（1）解：写出第个等式； ， 故答案为：，． （2），证明如下， 【变式训练1 立方根概念理解】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知，，则的值为（    ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 【答案】C 【解析】略 2．（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键． 根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可． 【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意； B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意； C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意； D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意． 故选：C． 3．（22-23七年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则 ． 【答案】或或 【分析】根据立方根定义计算即可． 【详解】解：由，得， 或或， 或 或， 经检验：或 或 符合题意． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】直接根据立方根的概念判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(),那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。 5．（23-24八年级下·广东珠海·期中）正方形的边长为a cm，它的面积与长为10cm，宽为8cm的长方形的面积相等，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，先求出正方形面积，再求出算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： 0.0025 0.25 25 2500 250000 …… 0.05 0.5 5 50 500 …… (1)表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向左或向右移动 　 　位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知：， ①　 　　　；　 　　　 ②若，则　　　　　　　． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）①根据（1）中的发现得规律解答即可，②由，，再结合规律作答即可． 【详解】（1）解：通过观察发现：被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位； （2）①∵，， ∴，； ②∵，， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑得到规律． 【变式训练2 求一个数的立方根】 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）计算 的结果是（      ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质计算，即可． 【详解】解：． 故选：B 2．（2024·陕西渭南·二模）计算：（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根定义，掌握立方根的定义是解题关键．本题利用立方根定义开立方即可． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 3．（2023·四川泸州·模拟预测）的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，注意先求出的值，再求它的立方根． 根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：； ，； 故答案为：；． 4．（2024·安徽·一模）计算： ． 【答案】5 【分析】此题考查了实数的运算能力．先进行开立方，再进行实数加减． 【详解】解：， 故答案为：5． 5．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）与是同一个正数的平方根，求a的值． 【答案】或 【分析】 本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根有2个，互为相反数，可知与相等或互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 解得：或． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期中）有一个数值转换器．原理如图． (1)当输入的为25时，输出的______； (2)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？请说明理由； (4)若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的3个不同的值． 【答案】(1) (2)0和1 (3)输入的数据可能是负数，理由见详解 (4)3，9，81 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解； （4）找到使得输出值为的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的． 故答案为：； （2）当或1时，始终输不出值， 因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所以，始终输不出值； （3）∵负数没有算术平方根， ∴输入的数据可能是负数； （4）81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，3的算术平方根是， 故输入的值不唯一，例如3，9，81． 【变式训练3 已知一个数的立方根，求这个数】 1．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖北黄冈·期末）若一个数的立方根是，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的立方等于，即，则这个数即为的立方根，据此即可求得答案． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数为， 故选：． 【点睛】本题考查立方根的定义，此为基础目重要知识点，熟练掌握立方根的定义是解答本题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知，若，则x的值约为 ． 【答案】326000 【分析】根据立方根的定义，得出与被开方数的倍数关系，即一个数的立方根扩大10倍，则被开方数就扩大到1000倍，可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：326000． 【点睛】本题考查立方根，理解一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍是得出正确答案的关键． 4．（22-23八年级上·福建三明·期中）已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根是解题的关键． 5．（22-23七年级下·广东湛江·期末）已知实数x，y，z满足：y=，z的平方根等于它本身，求的值． 【答案】5 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，根据平方根的定义求出z的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x-3≥0且3-x≥0， 解得x≥3且x≤3， 所以，x=3，y=4， ∵z的平方根等于它本身， ∴z =0， ∴=3+=3+2=5 【点睛】本题考查了算术平方根的被开方数是非负数，平方根和算术平方根的定义．求出x，y，z的值是解答本题的关键． 6．（23-24八年级上·甘肃天水·阶段练习）若的算术平方根是8，求的平方根． 【答案】 【分析】先根据的算术平方根是8，求出，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵的算术平方根是8， ∴， 解得：， ∴， 25的平方根是， ∴的平方根． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义，准确计算． 【变式训练4 立方根的实际应用】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）体积为4的正方体的棱长是（    ） A．4的平方 B．4的平方根 C．4的立方根 D．4的算术平方根 【答案】C 【分析】由正方体的体积是正方体的棱长的立方可得答案． 【详解】解：由正方体的体积是正方体的棱长的立方可得： 体积为4的正方体的棱长是4的立方根； 故选C 【点睛】本题考查的是立方根的应用，理解题意是关键． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（　　） A．m B．m C．25m D．125m 【答案】B 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答． 【详解】解：××＝5（立方米）， 答：这个正方体的棱长是米， 故选：B． 【点睛】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）体积为5的立方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据立方体的体积公式，再求立方根可得答案． 【详解】因为立方体的体积是5， 所以棱长为． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习）一个体积是9的小正方体的棱长是 ． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求解． 【详解】解：设小正方体的棱长为a，则， 因此， 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题的关键是掌握立方根的定义． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． 6．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 【变式训练5 算术平方根和立方根的综合应用】 1．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）计算﹣﹣的结果为（    ） A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10 【答案】B 【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：﹣﹣ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键． 2．（22-23七年级下·山西大同·期中）计算 ＋(－)的结果是(     ) A．4 B．0 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据算术平方根立方根的定义去掉根号，再计算即可判断． 【详解】解：原式=4-4=0． 故选B． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义． 3．（22-23七年级上·浙江温州·期中）的算术平方根是 ，立方根是 ． 【答案】 8 4 【分析】解答此题时先求出，再分别根据算术平方根和立方根的定义求出结果即可． 【详解】解：∵=64， ∴，． 故答案为：8；4． 【点睛】本题考查了算术根和立方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 4．（22-23八年级上·江西抚州·期中）x是25的算术平方根，y是-64的立方根，则x+y的值为 ． 【答案】1 【分析】根据算术平方根的定义求出x，立方根的定义求出y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵x是25的算术平方根， ∴x=5， ∵y是-64的立方根， ∴y=-4， 所以，x+y=5-4=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 5．（22-23七年级下·重庆·期末）实数满足，求的平方根 【答案】±3 【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， 则，9的平方根是±3， ∴的平方根是±3． 【点睛】此题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（23-24七年级下·福建福州·期中）一个正数的平方根分别是与，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质进行解题即可，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得， ∴这个正数的平方根是， ∴． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 是的立方根，故选项A、C、 D均错误； B正确． 故选：B． 3．（22-23七年级下·广西崇左·阶段练习）若，则的值为：（    ） A．16 B．24 C．64 D．256 【答案】C 【分析】根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 4．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）若一个正方体的体积为，则该正方体的棱长为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的体积公式，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：一个正方体的体积为， 该正方体的棱长为． 故选A． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）若a是的平方根，b的一个平方根是2，则的立方根为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．0或 【答案】C 【分析】根据立方根与平方根的概念即可求出答案． 【详解】解：因为， 所以. 因为b的一个平方根是2， 所以. 当时，，8的立方根是2； 当时，，0的立方根是0. 综上所述，的立方根为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查立方根与平方根的概念，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的性质． 6．（23-24七年级下·北京海淀·期中）若与互为相反数，则 ． 【答案】/-0.4 【分析】根据立方根的性质、相反数的定义可得到一个关于a、b的等式，由此化简整理即可得． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴5a-2+2+2b=0， 即得5a=-2b， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根的概念，相反数的定义，由关系式求两数的比值，理解立方根和相反数的概念是解题的关键． 7．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根．根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：因为， 所以的立方根为， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·福建莆田·期中）已知=1.738，=0.1738，则a的值为 【答案】0.00528 【分析】根据立方根的移位规律即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴a=0.00528； 故答案为：0.00528． 【点睛】此题考查了立方根，掌握立方根的变化规律是本题的关键．立方根移位规律：被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点相应的向右或向左移动1位． 9．（22-23七年级下·广西南宁·期中）体积为的正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】由立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，可得正方体的棱长为． 【详解】解：正方体的体积为7，则正方体的棱长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根的定义；熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）若x是64的平方根，则＝ ． 【答案】 【分析】直接利用平方根的定义得出x的值，进而利用立方根的定义计算得出答案． 【详解】∵x是64的平方根， ∴x＝±8， 则＝2或−2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确得出x的值是解题关键． 11．（23-24七年级下·广东湛江·期中）利用平方根来解下列方程． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，先化成平方的形式，再开方运算． 根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开方运算，可得答案 【详解】移项，得， 两边都除以2，得， 开平方得． 12．（23-24七年级下·福建厦门·阶段练习）求下列各式中x的值． (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程： （1）根据平方根定义即可求解； （2）移项后，根据平方根定义即可求解； （3）化系数为1后，根据平方根定义即可求解； （4）移项后，根据平方根定义即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． （2）移项，得：, ． （3）整理得：， ． （4）移项，得：， ， ，． 13．（23-24七年级下·山西大同·期中）已知，． (1)若x的算术平方根为3，求a的值． (2)若一个正数的两个不同的平方根分别为x，y，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，熟练掌握算术平方根，平方根的定义是解题的关键． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， ， ， ； （2）根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 14．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）(1)一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？ (2)已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值． 【答案】（1）9（2）当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9． 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得2a−1和a−5的关系，根据互为相反数的两个数的和为0，可得a的值，根据乘方，可得答案； （2）根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得（2a−1）＋（a−5）＝0． 解得a＝2． ∴这个非负数是（2a−1）2＝（2×2−1）2＝9． （2）根据题意，分以下两种情况： ①当a−1与5−2a是同一个平方根时， a−1＝5−2a，解得a＝2． 此时，m＝12＝1； ②当a−1与5−2a是两个平方根时， a−1＋5−2a＝0，解得a＝4． 此时，m＝（4−1）2＝9． 综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9． 【点睛】本题考查了平方根，解题的关键是利用一个正数的平方根互为相反数，互为相反数的和为0． 15．（2023七年级上·浙江·专题练习）“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的． 因为， 所以， ， ，，所以． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由得这一步 【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步． 【详解】解：错在由得这一步， 显然，， 所以． 【点睛】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误． 学科网（北京）股份有限公司 $$