第02讲 勾股定理的应用（2大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第02讲 勾股定理的应用（2大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求梯子滑落高度 题型二 求旗杆高度 题型三 求小鸟飞行距离 题型四 求大树折断前的高度 题型五 解决水杯中筷子问题 题型六 解决航海问题 题型七 求河宽 题型八 求台阶上地毯长度 题型九 判断是否受台风影响 题型十 选址使到两地距离相等 题型十一 求最短路径 知识点01 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 知识点02 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　，所以 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（23-24九年级下·广东湛江·阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（     ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【例2】（22-23八年级下·重庆忠县·期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【例3】（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上 米高的建筑物． 【例4】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 【例5】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【例6】（20-21八年级上·山东济南·期中）如图，一个梯子长25米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为7米． （1）求梯子顶端与地面的距离的长； （2）若梯子的顶端下滑到，使，求梯子的下端滑动的距离的长． 【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【例2】（22-23八年级上·广东茂名·期末）如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m． 【例4】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为 ． 【例5】（22-231八年级上·陕西咸阳·期中）如图，从高米的电线杆的顶部处，向地面的固定点处拉一根铁丝，若点距电线杆底部的距离为米，现在准备一根长为米的铁丝，够用吗？请你说明理由． 【例6】（22-23八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，要从电线杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离. 【典型例题二 求小鸟飞行距离】 【例1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ）米． A．8 B．9 C．10 D．11 【例2】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 【例3】（22-23八年级下·湖北孝感·期中）校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【例4】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为 ． 【例5】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【例6】（2023八年级上·江苏·竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 【例3】（22-23八年级下·北京海淀·期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是 尺． 【例4】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米． 【例5】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，一棵树在离地面米处（点）折断，树顶部点落在离树底部（点）米处，则树折断前高为多少米？ 【例6】（22-23八年级下·天津·单元测试）如图，一木杆在离地处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处(即米)，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面的高度． 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期中）一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A．20厘米 B．18厘米 C．22厘米 D．24厘米 【例2】（2024八年级·全国·专题练习）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）    A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm 【例3】（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）一个圆柱形的铁桶，底面直径为，高为，则桶内所能容下的木棒（不考虑粗细）最长可以为 ． 【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【例5】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一根15cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？ 【例6】（23-24八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A． B．30 C．40 D．50 【例2】（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【例3】（22-23八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 海里． 【例4】（22-23八年级上·陕西榆林·期末）在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为 米． 【例5】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一艘轮船从小岛处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达处继续执行任务，然后以相同的速度直接从处返回处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间） 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离. 【典型例题七 求河宽】 【例1】（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·广东佛山·期中）要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【例3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 【例4】（22-23八年级下·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【例5】（22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【例6】（22-23八年级上·河南平顶山·期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米． 求：（1）两棵景观树之间的距离； （2）点B到直线AC的距离． 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（　　　） A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm 【例2】（23-24八年级上·广东佛山·期中）要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【例3】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米．    【例4】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于 ． 【例5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【典型例题九 判断是否受台风影响】 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 【例3】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【例4】（22-23八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【例5】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有一台风中心正以的速度沿方向移动，已知城市A到的距离，那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点? 【例6】（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在气象站台的正西方向320的处有一台风中心，该台风中心以每小时20的速度沿北偏东60°的方向移动，在距离台风中心200内的地方都要受到其影响． (1)台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是多少？ (2)台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？ 【典型例题十 选址使到两地距离相等】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【例2】（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【例3】（22-23八年级上·全国·课后作业）小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 【例4】（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 【例5】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    【例6】（22-23八年级上·重庆北碚·期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【典型例题十一 求最短路径】 【例1】（22-23八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了 ． 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是.高为，则所需彩带最短是 . 【例5】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   【例6】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，某海滨浴场岸边处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，．若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？ 【变式训练1 求梯子滑落高度】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（   ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 3．（22-23八年级·甘肃武威·期中）如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m． 4．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 5．（22-23八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）. 6．（23-24八年级下·云南玉溪·期中）如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离的长度． 【变式训练2 求旗杆高度】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期中）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深思，有没有办法利用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下来距离地面米，如图（1），于是他将绳子拉开一段距离至点，测得绳端到旗杆的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，如图（2），则该旗杆的高度为 米． 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离为1米，以及点F到旗杆的距离为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 6．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 问题：求风筝的垂直高度． 【变式训练3 求小鸟飞行距离】 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 2．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）有一只鸟在一棵高米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树米，高米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以米秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 6．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？ 【变式训练4 求大树折断前的高度】 1．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·新疆和田·期中）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高 ． 4．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，一棵高为8米的大树被台风刮断，若树在离地面3米处折断，折断后树顶端离树底部 米． 5．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 6．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    【变式训练5 解决水杯中筷子问题】 1．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ． 4．（22-23九年级上·福建泉州·期末）我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长 尺． 5．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 6．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【变式训练6 解决航海问题】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时后，两船相距（    ） A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（    ）    A．15海里 B．16海里 C．17海里 D．18海里 3．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 4．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）如图，甲船从港口出发向东北方向航行16海里到达地，乙船同时从港口出发向东南方向航行12海里到达地，此时，两船之间的距离是 海里． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）第一艘轮船以的速度离开港口向东南方向航行，第二艘轮船在第一艘轮船出发后在同地以的速度向西南方向航行，在第一艘轮船离开港口后它们相距多远？ 6．（23-24八年级下·辽宁营口·阶段练习）如图所示，甲、乙两轮船于上午点时同时从码头分别向北偏东和北偏西的方向出发，甲轮船的速度为海里时，乙轮船的速度为海里时，则上午时两轮船相距多少海里？ 【变式训练7 求河宽】 1．（22-23八年级下·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 3．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是，坝高，则坡面AB的长度是 ． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 5．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 6．（22-23八年级上·河南·阶段练习）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？ 【变式训练8 求台阶上地毯长度】 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 2．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为 cm． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积．    6．（22-23八年级·全国·假期作业）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    【变式训练9 判断是否受台风影响】 1．（22-23八年级下·天津·单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 2．（22-231九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 3．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 4．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 5．（22-23八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 6．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【变式训练10 选址使到两地距离相等】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 2．（22-23八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ？ 4．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 5．（22-23八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 6．（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 【变式训练11 求最短路径】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 3．（22-23八年级上·广东佛山·期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 5．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 6．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为，则这架梯子顶端离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南新乡·期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．12米 4．（22-23八年级·重庆·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 5．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于 m． 7．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶端落在离底部12米的地面上，则树折断之前有 米． 8．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 9．（2024·湖北恩施·模拟预测）为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 11．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角，求梯子的顶端离地面的距离的值． 12．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）八（1）班数学课外活动小组的同学想测量学校旗杆的高度，发现升旗的绳子从点A垂到地面的点B时还多出3米，将绳子向一侧拉直，使得绳子的端点C恰好在地面上，此时测得长为9米，根据以上信息，你能将旗杆的高度求出来吗？ 13．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度． 14．（22-23九年级上·河北·期中）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？    15．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 勾股定理的应用（2大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求梯子滑落高度 题型二 求旗杆高度 题型三 求小鸟飞行距离 题型四 求大树折断前的高度 题型五 解决水杯中筷子问题 题型六 解决航海问题 题型七 求河宽 题型八 求台阶上地毯长度 题型九 判断是否受台风影响 题型十 选址使到两地距离相等 题型十一 求最短路径 知识点01 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 知识点02 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　，所以 【典型例题一 求梯子滑落高度】 【例1】（23-24九年级下·广东湛江·阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（     ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；由题意知，梯子的长度、梯子底端离建筑物的长度、梯子达到建筑物的高度正好构成一个直角三角形，由勾股定理即可解决． 【详解】解：13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（米） 故选：A． 【例2】（22-23八年级下·重庆忠县·期末）把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．4.5米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米， 将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边， 梯子顶端到地面的距离为：（米）， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键． 【例3】（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）使用13米长的梯子登建筑物，如果梯子的底部离建筑物的底部的距离不能小于5米，问该梯子最多可登上 米高的建筑物． 【答案】12 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，梯子AB=13米， 若梯子的底部离建筑物的底部的距离BC不能小于5米， 则AC≤=12米， 故答案为：12．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【例4】（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为7米，顶端距离地面24米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面20米．则小巷的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题． 【详解】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，，，，，， ， 梯子长度不变， ， ， ， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键． 【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端． 理由：连接， 由题意， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴云梯不能到达城墙的顶端． 【例6】（20-21八年级上·山东济南·期中）如图，一个梯子长25米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为7米． （1）求梯子顶端与地面的距离的长； （2）若梯子的顶端下滑到，使，求梯子的下端滑动的距离的长． 【答案】（1）24米；（2）梯子的下端滑动的距离的长为8米． 【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长； （2）利用勾股定理得出CD的长进而得出答案． 【详解】解：（1）在中，米，米， 故米， （2）在中，米，米， 故米， 故米． 答：梯子的下端滑动的距离的长为8米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 【典型例题二 求旗杆高度】 【例1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高为x，则绳子的长为， 在中，， ， 解得：， ， 即旗杆的高是． 故选：B． 【例2】（22-23八年级上·广东茂名·期末）如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，， 则， 即该竹竿的顶端离地竖直高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【例3】（22-23八年级下·辽宁营口·期中）如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m． 【答案】4 【详解】解：解如图所示：在RtABC中，BC=3，AC=5， 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2 设旗杆顶部距离底部AB=x米，则有32+x2=52， 解得x=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理． 【例4】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何?译文是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为尺，则可列方程为 ． 【答案】． 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，即x2-8x+16+x2-4x+4= x2， 解得：x1=2（不合题意舍去），x2=10， 10-2=8（尺）， 10-4=6（尺）． 答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺． 故答案为 ． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题的关键． 【例5】（22-231八年级上·陕西咸阳·期中）如图，从高米的电线杆的顶部处，向地面的固定点处拉一根铁丝，若点距电线杆底部的距离为米，现在准备一根长为米的铁丝，够用吗？请你说明理由． 【答案】够用，理由见详解． 【分析】用勾股定理求出AB边长，再与12比较大小，即可得到答案． 【详解】解：够用，理由如下： 在△ABC中，∠ACB=90°， ∴AB==10， 10<12， ∴铁丝够用． 【点睛】本题考查勾股定理，根据勾股定理求斜边长，注意勾股定理的书写要强调在直角三角形中． 【例6】（22-23八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，要从电线杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离. 【答案】6m． 【分析】从题意可知，电线杆BC，钢缆AC和固定点到电线杆底部的线段AB，构成了直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵电线杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆，缆绳、线杆与地面正好构成直角三角形，缆绳AC为斜边， 杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆， ∴地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离为：（m）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解勾股定理是解答关键． 【典型例题二 求小鸟飞行距离】 【例1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ）米． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过C点作于E，连接，则四边形是矩形，得，则，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过C点作于E，连接， 则是矩形， 设大树高为，小树高为， ， 在中，由勾股定理得： 即小鸟至少飞行， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树， 过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 故选C 【例3】（22-23八年级下·湖北孝感·期中）校园内有两棵树，相距8m，一棵树高为13m，另一棵树高7m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 m. 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：两棵树高度相差为AE=13-7=6m，之间的距离为BD=CE=8m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=m，即小鸟至少要飞10m． 【点睛】本题主要是将小鸟的飞行路线转化为求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可． 【例4】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为 ． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，连接，由勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， 由题意可知，米，，， 则， ∴ ∴在中，由勾股定理得：． ∴无人机飞行的最短距离为． 故答案为：15． 【例5】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 【例6】（2023八年级上·江苏·竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 【典型例题四 求大树折断前的高度】 【例1】（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形运用勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意得：， ∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形， ∴， 则这棵大树在折断前的高度为：， 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（    ）米. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题意可知，电线杆，钢缆和固定点A到电线杆底部B的线段，构成了直角三角形，钢缆是斜边，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边， 又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米， ∴米， 故选：C． 【例3】（22-23八年级下·北京海淀·期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是 尺． 【答案】4 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】如图所示，    设折断处离地面的高度是x尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用． 【例4】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，一根树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处．树折断之前有 米． 【答案】8 【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】解：，，， 树折断之前的高度为8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是善于观察题目的信息，利用勾股定理求解． 【例5】（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，一棵树在离地面米处（点）折断，树顶部点落在离树底部（点）米处，则树折断前高为多少米？ 【答案】树折断前高为米 【分析】根据勾股定理求出的值，由此即可求解树的高度． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴在中，（米）， ∴树折断前高为，即树折断前高为米． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际运用，掌握勾股定理的运算是解题的关键． 【例6】（22-23八年级下·天津·单元测试）如图，一木杆在离地处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处(即米)，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面的高度． 【答案】为6米． 【分析】设木杆断裂处离地面的高度为米，再用含的代数式表示，利用勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】解：设木杆断裂处离地面的高度为米，由题意得 解得米 答：木杆断裂处离地面的高度为6米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握构建直角三角形及用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的各边是解题的关键． 【典型例题五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期中）一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A．20厘米 B．18厘米 C．22厘米 D．24厘米 【答案】A 【分析】利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：这根木棒最长为：厘米， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例2】（2024八年级·全国·专题练习）一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）    A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm 【答案】C 【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度． 【详解】解：如图，AC为圆桶底面直径， ∴AC＝24cm，CB＝32cm， ∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度， ∴AB＝＝40cm． 故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm． 故选：C．    【点睛】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果． 【例3】（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）一个圆柱形的铁桶，底面直径为，高为，则桶内所能容下的木棒（不考虑粗细）最长可以为 ． 【答案】26 【分析】本题考查勾股定理的应用，圆桶内所能容下的最长木棒是以底面圆的直径和圆柱的高为直角边的直角三角形的斜边长，画出示意图，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，为铁桶的高，为底面的直径，， 则， 故答案为：26． 【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米． 【答案】2 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出． 【详解】解：如图所示，杯子内的筷子长，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， ∴圆柱形水杯内的筷子的最大线段的长度为， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为， 故答案为：2． 【例5】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一根15cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？ 【答案】2cm 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出盒子的对角线长度即可得细木棒露在外面的最短长度． 【详解】解：由题意知：盒子底面对角长为=5cm， ∴盒子的对角线长：=13cm， ∵细木棒长15cm， ∴细木棒露在盒外面的最短长度是：15-13=2cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例6】（23-24八年级下·广东汕尾·阶段练习）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【答案】这根芦苇的长是17尺． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 【典型例题六 解决航海问题】 【例1】（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（　　）    A． B．30 C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴A，C两港之间的距离为， 故选：D． 【例2】（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】D 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】（22-23八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 海里． 【答案】20 【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答． 【详解】如图，    ∵由图可知AC=16×1=16（海里）， AB=12×1=12（海里）， 在Rt△ABC中，BC=＝20（海里）． 故它们相距20海里． 故答案为：20 【点睛】本题考查的是勾股定理，正确的掌握方位角的概念，从题意中得出△ABC为直角三角形是关键． 【例4】（22-23八年级上·陕西榆林·期末）在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，方位角，灵活运用所学知识是解题的关键． 【例5】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一艘轮船从小岛处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达处继续执行任务，然后以相同的速度直接从处返回处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间） 【答案】1小时 【分析】根据小岛出发，以每小时20海里的速度和时间分别求出的长度，由勾股定理求出的长，然后根据“相同的速度”这一条条件求出返回所用时间，再用总时间减去即可． 【详解】（海里）， （海里）， 再Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得：（海里）， ∴返回所用时间为：小时， 出去所用时间为：小时， ∴则返回时比出去时节省的时间为：小时． 答：返回时比出去时节省了1小时． 【点睛】此题主要考查了学生对勾股定理的应用这一知识理解和掌握，比较简单，属于基础题． 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离. 【答案】P岛与M岛之间的距离为34海里． 【分析】由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)， ∴MP＝＝34海里． 答：P岛与M岛之间的距离为34海里． 【点睛】本题考查勾股定理的应用. 【典型例题七 求河宽】 【例1】（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可． 【详解】解：在Rt△ABC中， AC＝＝＝80m 所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一． 【例2】（23-24八年级上·广东佛山·期中）要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 【例3】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 【例4】（22-23八年级下·浙江台州·期中）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 【例5】（22-23八年级下·陕西延安·期末）如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【答案】两棵景观树之间的距离是12米 【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 【例6】（22-23八年级上·河南平顶山·期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米． 求：（1）两棵景观树之间的距离； （2）点B到直线AC的距离． 【答案】（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）因为是直角三角形， 所以由勾股定理，得． 因为米，，所以． 因为，所以米． 即A，B两点间的 距离是40米． （2）过点B作于点D． 因为， 所以． 所以（米）， 即点B到直线AC的距离是24米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式． 【典型例题八 求台阶上地毯长度】 【例1】（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（　　　） A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm 【答案】B 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果． 【详解】 解：如图，将长方体展开，连接A、B′， 则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm， 所以AB′＝10 cm． 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·广东佛山·期中）要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米．    A．17 B．13 C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 【例3】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 米．    【答案】7 【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴， 由平移可知楼梯表面的地毯长度等于线段的长度之和，即为； 故答案为7． 【例4】（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于 ． 【答案】195cm/195厘米 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长． 【详解】解：如图，由题意得：cm， cm， 故cm． 故答案为：195 cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 【例5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【答案】156 m2. 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜. 【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b， 则m 棚的长d为12m 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键. 【典型例题九 判断是否受台风影响】 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（    ）小时． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km 在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°， ∴ME=PM=120km， ∴EF=EH==90（km）， ∴FH=180km， ∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）． 故选：A 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【例2】（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒 【答案】B 【分析】分析题意，首先通过作图，找出A处受噪声影响火车经过的路段;根据题意可以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,求AC的长;然后根据勾股定理求出BC的长，由垂径定理即可得到BD的长，再根据火车行驶的速度，进而求出对A处产生噪音的时间. 【详解】如图， 以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故答案选B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而求出BD的长. 【例3】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例4】（22-23八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 【例5】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有一台风中心正以的速度沿方向移动，已知城市A到的距离，那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点? 【答案】4小时 【分析】先根据勾股定理求出的长，再除以台风中心移动的速度即可． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是整理出直角三角形． 【详解】根据勾股定理得， ∴台风中心从B 点移到 D 点的时间为（小时）． 【例6】（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在气象站台的正西方向320的处有一台风中心，该台风中心以每小时20的速度沿北偏东60°的方向移动，在距离台风中心200内的地方都要受到其影响． (1)台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是多少？ (2)台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？ 【答案】(1)台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是； (2)台风影响气象台的时间会持续12小时． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）过作于，则的长就是与气象台的最短距离； （2）确定受影响的范围，从而求得的长，已知速度，则可以求得所需的时间． 【详解】（1）解：如图，过作于，由题意知，， 又因为，故， 故台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是； （2）解：设台风中心位于点C时，气象台开始受影响，台风中心位于点D时，影响结束， 连接，，则， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴（小时）． 答：台风影响气象台的时间会持续12小时． 【典型例题十 选址使到两地距离相等】 【例1】（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【例2】（22-23八年级上·陕西·期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【例3】（22-23八年级上·全国·课后作业）小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要 分钟. 【答案】2.05 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图：AC=40米，BC=9米， 根据勾股定理得：AB= =41(米)， 41÷20=2.05. 故答案为2.05； 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形. 【例4】（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）如图，一个牧童在小河的南400m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西800m北700m处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是 【答案】1700m 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP＋BP＝A′B， 在Rt△A′DB中， 由勾股定理求得A′B＝＝＝1700m， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是1700m． 故答案为1700m． 【点睛】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 【例5】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    【答案】E点应该选在距B点的地方． 【分析】首先设，则，根据勾股定理构建方程，从而得出的值． 【详解】解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 【例6】（22-23八年级上·重庆北碚·期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】公里． 【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 【典型例题十一 求最短路径】 【例1】（22-23八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先将圆柱展开，根据题意求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱展开： ∵圆柱高，底面圆半径为， ∴， 根据勾股定理得：， 即爬行的最短路程是， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米 ，米，为 了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在 B 、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（        ）米，踏之何忍” A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而求出米，即可得到答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴少走了6米， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）公园里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被游客踏出了一条小路（如图），已知，，则游客走小路少走了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，利用勾股定理求出的长度，据此进一步求解即可，熟练掌握相关概念是解题关键. 【详解】解：依题意， ∵， 即游客走小路少走了， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是.高为，则所需彩带最短是 . 【答案】20 【分析】本题考查勾股定理与最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图，将这个圆柱体侧面展开得，则长为彩带的最短长度， 由勾股定理得， ， 故答案为：20． 【例5】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？   【答案】蚂蚁爬行的最短路线长为． 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理．将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长，    此时，， ∴ ， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 【例6】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，某海滨浴场岸边处救生员发现海中的处有人求救，救生员没有直接从处游向处，而是沿岸边自处跑到离处最近的点，然后从点游向处，经测量，．若救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是，请分析救生员的选择合理吗？ 【答案】救生员的选择合理，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理求斜边的长． 分别求得两个路线所用的时间，然后比较后即可得到答案． 【详解】解：救生员的选择合理，理由如下： 由题意得， ，， ， 救生员在岸边行进的速度是，在海中行进的速度是 救生员由点直接游向处需要的时间为：， 救生员由点跑到再游向处需要的时间为：， ， 救生员的选择合理． 【变式训练1 求梯子滑落高度】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（   ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴(米)． 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角间的距离为3米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为1米，则梯子顶端A下落了（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用；解决本题关键在于能找出其中的不变量，在不同的直角三角形中应用勾股定理．在中用勾股定理可得，梯子长，在中用勾股定理可得的长，即可计算． 【详解】解：中，米 中，米，梯子长， 米， 米； 故选A． 3．（22-23八年级·甘肃武威·期中）如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是 m． 【答案】12 【分析】以梯子的长度为斜边构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m， ∴另一直角边长=， 故梯子可到达建筑物的高度是12m． 故答案是：12． 【点睛】本题考查了勾股定理，明确梯长的长度是直角三角形的斜边是解题的关键． 4．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， （米）， 在中，（米）， （米）， 故答案为：2． 5．（22-23八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米（D处）时，求滑杆顶端A下滑多少米（E处）. 【答案】梯子下滑0.5米. 【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，同理DE与CE、CD正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算． 【详解】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC-x， ∵米，米，， ∴， ∴米， ∵米， ∴在中，， ∴，，即米， 答：梯子下滑0.5米. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 6．（23-24八年级下·云南玉溪·期中）如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离的长度． 【答案】船体移动的距离的长度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解；在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴船体移动的距离的长度为． 【变式训练2 求旗杆高度】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，从电线杆高于地面的处，向地面拉一条长的缆绳，那么固定点到电线杆底部的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．（23-24八年级下·广东广州·期中）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 3．（22-23八年级下·天津滨海新·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】由题意知，，， 在中，由勾股定理得， ， 即地面钢缆到电线杆底部的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深思，有没有办法利用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下来距离地面米，如图（1），于是他将绳子拉开一段距离至点，测得绳端到旗杆的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，如图（2），则该旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，旗杆、拉直的绳子与水平线构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，依题意得：为直角三角形，四边形为矩形，， 设绳长为，旗杆的长度为m，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为． 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）综合实践小组为测量学校旗杆的高度，进行了两次实验，如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度为2米，如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离为1米，以及点F到旗杆的距离为9.6米，请你根据测量数据计算旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，表示绳子，再根据题意可知，米，米，米，然后根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子为米， 由题意可知，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为米． 6．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 问题：求风筝的垂直高度． 【答案】米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度, 【详解】解：由题意知：米，，米． 在中，由勾股定理得： ． ∴． ∴米． 答：风筝的垂直高度为米． 【变式训练3 求小鸟飞行距离】 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图建立数学模型， 则，，则， 两棵树的高度差， 间距， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离， 故选：A． 2．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是， 故选：A． 3．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）有一只鸟在一棵高米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树米，高米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以米秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起． 【答案】 【分析】此题主要是勾股定理的运用．解题时应注意：时间路程速度．根据题意画出图形，只需求得的长．根据已知条件，得，，再根据勾股定理就可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，得 ，． 根据勾股定理，得． 则小鸟所用的时间是． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米. 【答案】 【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可． 【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米， 设BD＝x，则AD＝15－x， ∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2， 即， 解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米）， 答：树高为7.5米． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树， 过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 6．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？ 【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中． 【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24． 过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24， ∴在Rt△AEC中， AC2=CE2+AE2=102+242． ∴AC=26，26÷5=5.2（s）． 答：它至少需要5.2s才能赶回巢中． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度． 【变式训练4 求大树折断前的高度】 1．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用． 根据勾股定理即可求得树折断之前的高度． 【详解】解：如图： ， ， ， 即， ， ∴这棵树在折断之前的高度． 故选：A． 2．（2023·贵州遵义·模拟预测）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺．问折者高几何？”大意是：如图，在中，，，（注：1丈＝10尺）．设的长为x尺，则根据题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选：C． 3．（22-23八年级下·新疆和田·期中）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高 ． 【答案】 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ，，， ∴， ∴数的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理与实际问题的综合，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 4．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，一棵高为8米的大树被台风刮断，若树在离地面3米处折断，折断后树顶端离树底部 米． 【答案】4 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC的长即可； 【详解】解：如图，由题意可知，，(米)，（米）， 由勾股定理得：（米）， 即折断后树顶端离树底部有4米， ， 故答案为：4． 5．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 【答案】8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：根旗杆被吹断裂前高为8米． 6．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设为米，且存在， 即，， 在直角中，为斜边， 则， 即 解得， 米， 米米米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【变式训练5 解决水杯中筷子问题】 1．（2024·江苏苏州·一模）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（   ） A．10尺 B．5尺 C．10尺或2尺 D．5尺或4尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中． ∴，， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∵， ∴． 答：竹竿为10尺． 故选：A 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）如图，将一根20厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为h厘米，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大． 当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示：此时，， 故h． 故h的取值范围是． 故选：D． 3．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ． 【答案】2cm 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°， ∴， 露出杯口外的长度最少为=15-13=2cm． 故答案为：2cm． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，能将实际情况于勾股定理巧妙结合是解题关键． 4．（22-23九年级上·福建泉州·期末）我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长 尺． 【答案】13 【分析】设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺， 根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12 ∴OA'=13尺． 故答案为：13． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解． 5．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解∵，， ∴， 当点E与A重合时，最短为：， 当点E与B重合时，最长为：， ∴h的取值范围是：． 6．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 答：水深是 【变式训练6 解决航海问题】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度向北偏西方向航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度向南偏西方向航行，航行1小时后，两船相距（    ） A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】本题考查了方位角以及勾股定理的应用，先得出，再求出，根据勾股定理列式，进行作答即可． 【详解】解：连接，如图： 依题意，得 ∴ 则， ∵，一轮船从港口O出发以32海里/时的速度航行，另一轮船同时从港口O出发以24海里/时的速度航行，航行1小时， ∴， 则（海里）， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口O出发，海天号轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，顺艺号轮船向南偏西方向航行，已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（    ）    A．15海里 B．16海里 C．17海里 D．18海里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴顺艺号轮船平每小时航行：（海里） 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 【答案】10 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 4．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）如图，甲船从港口出发向东北方向航行16海里到达地，乙船同时从港口出发向东南方向航行12海里到达地，此时，两船之间的距离是 海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， ∴为直角三角形， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）第一艘轮船以的速度离开港口向东南方向航行，第二艘轮船在第一艘轮船出发后在同地以的速度向西南方向航行，在第一艘轮船离开港口后它们相距多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意构造直角三角形，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键； 根据题意，画出方位图，根据方位角构建，再根据路程、时间、速度之间关系计算出、的长度，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图， 由已知得：第一艘轮船沿向东南方向航行，第二艘轮船沿向东南方向航行， ，， 表示东南方向，表示西南方向， 是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在第一艘轮船离开港口后它们相距． 6．（23-24八年级下·辽宁营口·阶段练习）如图所示，甲、乙两轮船于上午点时同时从码头分别向北偏东和北偏西的方向出发，甲轮船的速度为海里时，乙轮船的速度为海里时，则上午时两轮船相距多少海里？ 【答案】海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，计算出，以及，的长，再利用勾股定理得出答案即可，运用勾股定理正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵甲、乙两轮船于上午点时同时从码头分别向北偏东和北偏西的方向出发， ∴， ∵甲轮船的速度为海里时，乙轮船的速度为海里时， ∴上午时，海里，海里， ∴（海里）， 答：上午时两轮船相距海里． 【变式训练7 求河宽】 1．（22-23八年级下·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断． 【详解】解：如图，中， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．7km B．6km C．5km D．2km 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴从A村到B村比原来减少的路程为． 故选：B． 3．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是，坝高，则坡面AB的长度是 ． 【答案】 【分析】先根据坡度的概念求出AC的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，∴AC=m， ∴m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度的概念和勾股定理，属于基本题型，正确理解坡度的定义、熟练掌握勾股定理是解题关键． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 【答案】101 【解析】略 5．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 【答案】米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∵米，米， ∴米， 答：两点间的距离为米． 6．（22-23八年级上·河南·阶段练习）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？ 【答案】这辆卡车能安全通过这个隧道 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．作于M，交于M，作于H，交半圆于F，交于点K，连接，则，米，根据题意得：，在中，根据勾股定理可得米，从而得到米，即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于M，作于H，交半圆于F，交于点K，连接，则，米， 根据题意得：， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴这辆卡车能安全通过这个隧道． 【变式训练8 求台阶上地毯长度】 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山西长治·期末）开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期末）为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸．如图，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪油纸的最短为 cm． 【答案】180 【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC的长可求出，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度． 【详解】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可， 在Rt△ABC中， ∵AB=36，BC==27cm， ∴AC2=AB2+BC2=362+272， ∴AC=45cm， ∴应裁剪油纸的最短=45×4=180(cm)． 故答案为：180． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是本题的解题关键 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出长方形的宽，再根据矩形的面积公式即可求出面积． 【详解】解∶根据勾股定理，得直角三角形的斜边是， 所以阳光透过的最大面积是． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，注意阳光透过的最大面积，即是长方形的面积． 6．（22-23八年级·全国·假期作业）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    【答案】612元 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】解：如图，    由题意得，， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要元． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，理解题意，正确求得地毯的长与宽是解答的关键． 【变式训练9 判断是否受台风影响】 1．（22-23八年级下·天津·单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.． 2．（22-231九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 3．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 4．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒． 【答案】18 【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失． 【详解】 如图，过点A作AC⊥ON于N， ∵∠MON＝30°，OA＝80米， ∴AC＝40米， 当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米， 由勾股定理得：（米）， 第一台拖拉机到D点时噪音消失， 所以CD＝30米， 由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响． 所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒． 故答案为：18． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 5．（22-23八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 【答案】A处受噪音影响的时间为 【分析】过点A作，根据题意可知的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，， ∵公路上A处点距离O点，距离MN为， ∴， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时，当货车到达D点后继续再运动时，对A处不再产生影响，此时， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 6．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 【变式训练10 选址使到两地距离相等】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，的长是． 所以，． 故选：C． 2．（22-23八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距 ？ 【答案】15 【分析】利用，再结合勾股定理求出即可． 【详解】解：设，则， ， ， 故， 解得；． 故答案为：15．    【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解题关键． 4．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为 ． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 5．（22-23八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距点千米处． 【分析】设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又，， ， ， 答：站应建在距点千米处． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据利用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 6．（22-23八年级上·陕西西安·开学考试）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）站应建在距站多少千米处？ （2）和垂直吗？说明理由． 【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析 【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km； （2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明． 【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等． ∴DE=CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， ∴∠A=∠B=90°， ∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2， ∴AE2+AD2=BE2+BC2， 设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x）， ∵DA=8km，CB=6km， ∴x2+82=（14-x）2+62， 解得：x=6， ∴AE=6km． 答：E站应建在距A站6千米处； （2）DE和EC垂直，理由如下： 在△DAE与△EBC中， ， ∴△DAE≌△EBC（SAS）， ∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB， ∵∠DEA+∠D=90°， ∴∠DEA+∠CEB=90°， ∴∠DEC=90°， 即DE⊥EC． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键． 【变式训练11 求最短路径】 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 3．（22-23八年级上·广东佛山·期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．    【答案】13m/13米 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 即， ， 故答案为：m． 【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 4．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】如图， 根据题意可得：展开图中的，． 在中， 由勾股定理可得：， 即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是． 故答案为：26． 5．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 6．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1） 解：如图所示， 线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2） 解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为，则这架梯子顶端离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理解答．根据勾股定理得出这架梯子顶端离地面的高度即可． 【详解】解：一架长的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为， 由勾股定理可得，这架梯子顶端离地面的高度， 故选：D 2．（22-23八年级下·河南新乡·期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．12米 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵是直角三角形，，， ∴ ∴这棵树原高：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答． 4．（22-23八年级·重庆·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 【答案】B 【分析】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解. 【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴∠ACD=30°， 设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得， x2=（x）2+52， 解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去）， ∴拉线AC最好选用L2． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题的应用，利用30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=AC是解决问题的关键． 5．（22-23九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于 m． 【答案】 【分析】当梯子最短时，梯子、建筑物、梯子底端到建筑物的距离三者构成直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】根据勾股定理得到，梯子的长度最少是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学问题是解题关键. 7．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶端落在离底部12米的地面上，则树折断之前有 米． 【答案】18 【分析】先对图形标注，再根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【详解】解：如图所示：根据题意可知AC=5米，BC=12米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有13+5=18（米）． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 8．（22-23八年级上·广东广州·期末）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 【答案】25 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法． 9．（2024·湖北恩施·模拟预测）为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可． 【详解】如图， 作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小． 作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N， ∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km， ∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km， ∴AM=(km)， 在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)， ∴A′B=(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 10．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为8米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：17． 11．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角，求梯子的顶端离地面的距离的值． 【答案】梯子的顶端离地面的距离的值为 【分析】本题考查饿了勾股定理，根据勾股定理计算即可得出答案，熟记勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 梯子的顶端离地面的距离的值为． 12．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）八（1）班数学课外活动小组的同学想测量学校旗杆的高度，发现升旗的绳子从点A垂到地面的点B时还多出3米，将绳子向一侧拉直，使得绳子的端点C恰好在地面上，此时测得长为9米，根据以上信息，你能将旗杆的高度求出来吗？ 【答案】能，旗杆的高度为12米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先设杆长x米，则升旗的绳子长米，再根据勾股定理列式代数计算，即可作答． 【详解】解：设旗杆长x米，则升旗的绳子长米， 由题意知：图中， ∴由勾股定理得：， 即：， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 13．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度． 【答案】 【分析】首先根据题意求出AC的长，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x＋1）尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：∵水面是一边长为8尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇， ∴AC=8÷2=4（尺） 设水池的深度为x尺，由题意得： ， 解得：x＝ ， 则x＋1＝， 答：芦苇长尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 14．（22-23九年级上·河北·期中）如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？    【答案】 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 15．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？    【答案】至少要走 【分析】连接，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，中， ∴， 答：至少要走．    【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$