三角函数及解三角形专题十讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题十 知识点一 二倍角的余弦公式,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,求三角形中的边长或周长的最值或范围,三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系,基本不等式求积的最大值 典例1、在①，②，③且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______. （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若D为边BC的中点，且，求△ABC周长的最大值. 拓展练习：在中， 内角的对边分别为， 且. （1）求 A; （2）请从问题①②中任选一个作答（若①②都做，则按①的作答计分） ①若， 求周长的取值范围；②求的最大值. 典例2、在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______ （1）求角的大小；（2）若，求周长的范围． 拓展练习：在锐角中，，______. （1）求角B；（2）求的周长l的取值范围. ①且； ②； ③； 在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.） 典例3、在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题. 在中，内角所对的边分别是，且__________. （1）求角； （2）若点满足，且线段，求的最大值. 拓展练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①； ②； ③．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ． （1）求角C； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 知识点二 正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形 典例4、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，D为边上的一点，，且是的平分线，求的面积. 拓展练习：在 中，，，分别为角、、的对边，． （1）求 ； （2）若角 的平分线交于， 且，， 求． 典例5、在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，， （1）求角B的大小； （2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长． 拓展练习：记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 典例6、在中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若角的平分线交于且，求的最小值. 拓展练习：在锐角中，内角的对边分别为，且满足： （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围． 人教A版数学-三角函数及解三角形专题十答案 典例1、答案：（1）条件选择见解析，证明见解析 （2） 解：（1）方案一：选条件①. 由及正弦定理，得， 所以，即， 又，，所以或（不合题意，舍去）， 故△ABC是等腰三角形. 方案二：选条件②. 由，得， 所以，由正弦定理，得，故， 所以△ABC为等腰三角形. 方案三：选条件③. 由及正弦定理，得 所以，得， 又，，所以或， 又，故， 所以△ABC为等腰三角形. （2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且. 在△ABD中，由余弦定理，得，化简得. 设△ABC的周长为l，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以△ABC周长的最大值. 拓展练习：答案： （1） （2）见解析 解：（1） 根据正弦定理， 又，，又，； 选① 由余弦定理得， , ，，则，解得， 又， 周长的取值范围是. （2）选②，, 所以 ，故，， 所以当，即，此时, 取得最大值. 典例2、答案： （1）条件选择见解析， （2） 解：（1）选①，由可得， ，则，可得，； 选②，由可得， 即，即， ，则，故，； 选③，由及正弦定理可得， 、，则，所以，， 故， ，，因此，. （2）由正弦定理可得，则，， ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故. 拓展练习：答案： （1）. （2）. 解：（1）选①，在锐角中,∵,且， ∴，即，∵. 选②， ， ∵，∴，∵, . 选③，∵，∴由正弦定理可得， ∴，∵在中,， ∴1，即，∵. （2）由已知，结合正弦定理可得， 则△ABC的周长 ， ∵在锐角 中, ，解得, ∴， ∴, 故的周长l的取值范围为. 典例3、答案： （1）. （2）6. 解：（1）选①，由 及正弦定理可得: , 所以， ， 因为 ，所以 ，则, 所以 故； 选②，由 及正弦定理可得 ， 所以，， ∵ ，所以 ，则. 如图： （2）点满足，则,故， 又，故， 即，即， 又 ，所以，当其仅当时取等号， 即 ，故，即得最大值为6. 拓展练习：答案： （1） （2）． 解：（1）选①，由得：， 即， 所以， 因为， 故角； 选②，由 得：， ， 所以， 因为，， 所以， 解得：； 选③，因为， 又因为， 所以， ∴， ∵， ∴， ∴， 因为， 所以． （2）根据（1）可知：， 又因为， 由余弦定理得：， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 又因为根据三角形的三边关系有： 所以， 所以△ABC周长的取值范围为． 典例4、答案：（1） （2） 解：（1）， 又， 则，即， 又，则； （2）由平分，，， 则有：，即， 在中，由余弦定理可得：， 又，则有：， 联立，可得：， 解得：或(舍去)， 故. 拓展练习：答案： （1）​； （2）​ 解：（1）因为， 所以， 即， 即，所以， 因为，所以. （2）因为角 ​的平分线​交​于​， 且， 由角平分线定理得：，又， 即， 所以，即，所以，， 由余弦定理得，，所以. 典例5、答案： （1）； （2）． 解：（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得，又，所以． （2）在中，由余弦定理得， 则，即. ∵，，∴， 当且仅当时，， 所以. 此时，. 在中，， 由正弦定理得. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）由正弦定理得，得， 因为，所以，即. （2）因为，所以. 由余弦定理得， 得（当且仅当时，等号成立），即. 因为，所以. 因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即.故的最小值为. 典例6、答案： （1） （2） 解：（1），即，即. 由正弦定理得， ，，故. ，，故，又，故，故； （2），设，， 根据向量的平行四边形法则：， 即， ，又， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为 所以，即 所以， 所以，即， 因为在锐角中，， 所以，即， 因为， 所以，解得 所以 （2）因为，角与角的内角平分线相交于点， 所以， 所以 所以， 设，则， 因为为锐角三角形， 所，解得 所以，在中，由正弦定理得 所以，面积 因为，所以， 所以， 所以， 所以，面积的取值范围是. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$