三角函数及解三角形专题九讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学 人教A版数学-三角函数及解三角形专题九 知识点一正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围 典例1、在中，内角，，的对边分别为，，，且 请在①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题 （1）已知______，计算的面积；（2）当时，求的周长的最大值. 注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，的面积为，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________． （1）求； （2）作，使得四边形满足，求的取值范围． 典例2、在中，内角的对边分别为，且______．在①； ②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． （1）求角的大小；（2）若角的内角平分线交于，且，求的最小值． 拓展练习：在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)． （1）求角C的大小； （2）若，求周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 典例3、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 在锐角中，内角的对边分别为，且满足__________. （1）求角的大小； （2）若，角与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：在中，内角A，，所对的边分别是，，，记的面积为S.已知_________.从①，②，③三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） （1）求角A的大小； （2）若边长，求的周长的取值范围. 知识点二 余弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用 典例4、设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有 （1）求角的大小； （2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积． 条件①：边上的高为； 条件②：，； 条件③：，． 拓展练习：在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已 知，使存在且唯一，并求: （1）的值； （2）的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 典例5、已知a､b､c分别为的三个内角A､B､C的对边.现有如下四个条件：①； ②；③；④. （1）对条件①化简，并判断含有条件①的三角形的形状； （2）从以上四个条件中任选几个作为一个组合，请写出能构成三角形的所有组合，并说明理由； （3）从上述能构成三角形的组合中任选一组，求出对应三角形边c的长及三角形面积. 拓展练习：在①，，②，，③，这三个条件中选一个合适的补充在下面 的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程． 问题：在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知， ． （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC外接圆的半径与内切圆的半径． 典例6、在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. 在中，角所对的边分别为，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 拓展练习：已知的内角的对边分别为,且. （1）求的值;（2）给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题: （i）求的值; （ii）求的角平分线的长. 人教A版数学-三角函数及解三角形专题九答案 典例1、答案： （1）答案见解析 （2）15 解：（1）因为， 由正弦定理可得， 即 所以，即 又，所以，而，故， 若选①，②，则由余弦定理， 得，解得 所以的面积为 若②选，③，则是等边三角形，所以， 所以的面积为 若选①，③，则是等边三角形，所以 所以的面积为 （2）由基本不等式，可得. 由余弦定理得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即的周长的最大值为. 拓展练习：：答案： （1）条件选择见解析，； （2）. 解：（1）若选①：由，根据正弦定理可得， 即， 即， 可得，因为，所以； 选②：由，根据正弦定理可得， 可得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 若选③：由，可得， 即，可得，因为，所以； （2）设，则， 在中，由正弦定理得， 可得． 在中，由正弦定理得， 可得 ， 因为，所以可得， 当时，即，可得， 当时，即，可得， 所以的取值范围是． 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）若选条件①，由正弦定理得：， ，，，则， 又，. 若选条件②，由得：， ，则，又，. 若选条件③，由得：， ，即， 又，，. （2），， 即，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）若选①，因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 若选②，因为， 由正弦定理得， 所以，即， ，，， 又，. （2）由余弦定理得， 因此， ，当且仅当时等号成立， 所以的周长 因此的周长的最大值为. 典例3、答案： （1） （2） 解：（1）①由可得， 因为为锐角三角形，所以，即； ，得（舍去）, . 故. ②由可得， 即 因为为锐角三角形，所以，且 故. ③由得 化简可得； 因为为锐角三角形，所以，即 故. （2）已知,角与角的内角平分线相交于点,故 ,根据正弦定理;设 即，； 因为为锐角三角形，所以，得； 即 故的面积取值范围为： 拓展练习：答案： （1）无论选择①②③，； （2） 解：（1）若选①，由正弦定理边化角可得， 因为，所以， 所以，解得； 若选②， 由正弦定理边化角可得， 所以，所以， 因为，， 所以，解得； 若选③，由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以 因为，所以 （2）由（1）得，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 当时，有最大值为4， 所以， 所以的周长的取值范围为 典例4、答案：（1） （2）答案见解析. 解：（1）由题，因. 则，因A为三角形内角，所以A. （2）若选择①，设边上的高为， 则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定. 若选择②，由正弦定理及（1）， 有.因， 又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定. 若选择③，由正弦定理，及， 则.又由余弦定理及（1）， 有， 得，. 此时唯一确定，. 综上选择③时，唯一确定，此时的面积为 拓展练习：答案： （1） （2） 解：（1）若选条件①，则，，， 由正弦定理得：，得， 因为，所以，而， 所以在上有两根，不唯一. 若选条件②，，，， 由余弦定理得：， 代入数据解得：或（舍）. 若选条件③：，，， 所以，由正弦定理得：， 代入数据得：， 所以， 由余弦定理得：， 代入数据得：，解得或（舍） 综上：. 因为，，， 所以. 典例5、答案： （1），钝角三角形； （2）①③④和②③④； （3）答案见解析. 解：（1）因为，故可得， 即，由余弦定理可得， 又，故可得， 则含有条件①的三角形的形状为钝角三角形. 条件①的化简结果为：； 条件②：， 由整形定理可得， 即，又 故可得，又，则； 因为，又，故可得， 则条件①和条件②不能同时选择. 故能构成三角形的所有组合为：①③④和②③④. （2）当选择①③④时，由余弦定理可得：， 整理得：，解得（舍）或 即， 此时三角形的面积. 当选择②③④时，由余弦定理可得， 整理得：，解得或， 此时三角形有两解， 当时，三角形的面积； 当时，三角形的面积. 综上所述：选择①③④时，，三角形的面积； 选择②③④，时，三角形的面积， 时，三角形的面积. 拓展练习：答案： （1）选①③不合题意，选②面积为 （2） 解：（1）若选①，则，，， 可得，则△ABC为锐角三角形，不合题意； 若选③，则，，， 可得，则△ABC为锐角三角形，不合题意； 若选②，因为， 所以， 故△ABC的面积． （2）由（1）知选①③不合题意； 若选②，设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理得， 所以． 设△ABC内切圆的半径为r，由， 得． 典例6、答案： （1）条件选择见解析， （2） 解：（1）选择条件①，由 及正弦定理， 可得 ，即 ， 由余弦定理， 得 ， 因为 ， 所以 . 选择条件②，由 及正弦定理， 可得 ， 即 ，即 . 在 中， ，所以 ， 即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，因为 ， 所以 . 若选条件③， ， 则 ， 由 ， 有 ，由，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 . （2）由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 若 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 的面积为 . 拓展练习：答案： （1） （2）①③正确,（i）;（ii） 解:（1）由题意知 , 即 ,, 故; （2）由（1）得, ,故条件②不成立,即条件①③正确, 在中,由余弦定理可得: , 即, 对于条件①:, 与上式结合可得, 对于条件③:, 故,所以, 将代入可得: , （i）在中,由正弦定理可得: , 即, , （ii）是的角平分线, , , ,, 在中,由余弦定理可得：, 故. 综上:条件①③正确, ,. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$