专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习） 为何值时，关于 的方程 ： (1)是一元二次方程； (2)是一元一次方程，并求出对应方程的解． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题） 1．（23-24八年级下·山东济宁·期中）若是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题） 1．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 3．（19-20八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【易错必刷六 配方法】（共3小题） 1．（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用配方法将方程变形为，则 ． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解下列关于x的方程：． 【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 3．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题） 1．（2024·河南驻马店·二模）关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 2．（2023·四川成都·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的值可以是 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·辽宁盘锦·二模）若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ． 3．（2024年北京市西城区中考二模数学试题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【易错必刷十 公式法】（共3小题） 1．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 2．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）用公式法解方程，计算 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十一 因式分解法】（共3小题） 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1) (2) 【易错必刷十二 换元法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】（共3小题） 1．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 2．（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题） 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【易错必刷十五 传播问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题） 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【易错必刷十七 营销问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题） 1．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 3．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 3．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题） 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的整式方程，根据定义即可作答． 【详解】A、含有两个未知数，不属于一元二次方程，故不符合题意； B、二次项系数如果为，则不属于一元二次方程，故不符合题意； C、不是整式方程，不属于一元二次方程，故不符合题意； D、属于一元二次方程，故符合题意． 故答案为：D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据二次项的系数不等于0解答即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， k的取值范围是． 故答案为：． 3．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习） 为何值时，关于 的方程 ： (1)是一元二次方程； (2)是一元一次方程，并求出对应方程的解． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）将方程整理为：，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程； （2）将方程整理为的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，求出的值，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∴当，即时，方程为一元二次方程． （2）解：由（1）知，方程为：， ∴当，即时，方程为一元一次方程， 此时方程变为：， ∴，解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键． 【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（    ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确将原方程整理为一般形式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．将原方程整理为一般形式，即可获得答案． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， 所以，的值为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（22-23八年级·上海·假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数． (1) （、是常数，且）； (2)； (3)． 【答案】(1)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； (2)方程一般形式为；方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为 (3)一般形式即为；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为，一次项系数为；常数项为6 【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （2）移项，将方程化为一般性质，即可得解； （3）利用平方差公式，方程左边为，由此方程即为，方程展开化为一般形式即为，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为0；常数项为； （2）解：∵， ∴方程一般形式为； ∴方程二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为； （3）解：∵， ∴ ∴， ∴；方程二次项为，二次项系数为2；一次项为， 一次项系数为；常数项为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程，（， a，b，c，为常数）称为一元二次方程的一般形式，叫二次项，是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题） 1．（23-24八年级下·山东济宁·期中）若是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，得到，再代入代数式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山西晋中·期中）根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题） 1．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ． 故选D． 2．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为． 【详解】解：由原方程，得 ， 解得，，． ，即 ，即方程的一个较小的根为． 故答案为：． 3．（19-20八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 【易错必刷六 配方法】（共3小题） 1．（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）用配方法将方程变形为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）用配方法解下列关于x的方程：． 【答案】当时，，，当时，方程无实数根 【详解】解：， ∴， 整理得：， 配方可得：， 当，即时，，， 当，即时，方程无实数根． 【点睛】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了配方法的应用，非负数的性质，坐标与图形性质，关键是得到点到直线的距离是． 点到直线的距离是，利用配方法即可得到点到直线的最小值． 【详解】解：点到直线的距离是， 当时，点到直线的最小值为1． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例如：求代数式的最小值？解答过程如下： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值为1． 根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】 3 小 3 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 故答案为：3，小，3． 3．（22-23九年级上·广东揭阳·期中）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可； （2）先配方，再求最值． 【详解】（1）解：． 故答案为：；1． （2）解：， ∵， ∴当即时， 原式有最小值． 【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键． 【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题） 1．（2024·河南驻马店·二模）关于x的一元二次方程 中a，b，c满足，则方程根的情况说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，把数值代入，且结合，进行化简计算即可作答． 【详解】解：∵a，b，c满足， ， ， 即， ∴方程有实数根． 故选C． 2．（2023·四川成都·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】 解：根据题意，得， 解得， ， 的值可以为2， 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 【答案】原方程总有两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据结合当时一元二次方程有两个实数根，当时一元二次方程有一个实数根，当时一元二次方程没有实数根，进行作答即可． 【详解】证明： 不论k取何实数，总有 ∴ ∴原方程总有两个不相等实根． 【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，即，得出关于m的一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 解得． 故选：B． 2．（2024·辽宁盘锦·二模）若关于x的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（2024年北京市西城区中考二模数学试题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 【易错必刷十 公式法】（共3小题） 1．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 2．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）用公式法解方程，计算 ． 【答案】13 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一般式，直接把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：13 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 【易错必刷十一 因式分解法】 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 2．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴或 ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 【易错必刷十二 换元法】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】运用换元法解一元二次方程的方法即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的解是，， ∴，令， ∴，则，， ∴或， ∴，， 故选：． 【点睛】本题主要考查换元法解一元二次方程的运用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，据此解方程得到或（舍去），则． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）阅读下列材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，完全平方公式的变形求值； （1）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据，即可求解； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程变形为， 整理得：整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴． 【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】 1．（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 2．（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2） ； 【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题） 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【易错必刷十五 传播问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数是人，根据题意可得方程，解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 故选：． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 【答案】16 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 3．（2023·贵州黔东南·一模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染个人． (2)． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1） 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． （2） 则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题） 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设年平均增长率为，由题意可知等量关系：年的销量，根据等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设年平均增长率为，可列方程为： ， 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 2．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解． 【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额， ∴． 故答案为：． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【答案】(1)该跳绳销售量的月增长率为； (2)该跳绳的售价应定为50元/条． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案． 【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该跳绳销售量的月增长率为； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得： 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该跳绳的售价应定为50元/条． 【易错必刷十七 营销问题】（共3小题） 1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为 故选：D． 2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件， 根据题意得：， 整理得： 解得： 又∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程 （1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为，再列出方程即可， （2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为， 或（舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克涨价x元， 依题意得： 解得：，， 要尽快减少库存， 则， 答：每千克应涨价5元， 【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题） 1．（2024·山东济南·三模）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 2．（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长，宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出，再运用因式分解法解出（不合题意，舍去），即可作答． 【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为，宽为， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 故x的值为5． 故答案为：5 3．（2024·广东汕头·三模）综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，下图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； A．B．C．D． (2)如下图，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长，并求出这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①见解析 ② 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，与图形有关的一元二次方程的应用． （1）根据正方体展开图的几种形状即可判断； （2）根据正方体展开图即可判断； （3）①按照要求画出图形即可； ②设正方形的边长为，根据纸盒底面积为，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能； 故选：C； （2）解：与“小”字相对的字是“士”，与“保”字相对的字是“卫”； 答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②设正方形的边长为， 则， 解得，（不合题意舍去）， 此时纸盒的体积为； 答：要剪去的小正方形的边长为，这个纸盒的体积为． 【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】 解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得或5， ∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 【答案】 【分析】设秒后，可使的面积为．可列一元二次方程求解，再进行检验即可． 【详解】解：设秒后，可使的面积为． 则：， 解得： ∵当时， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．注意实际问题中的限制条件． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法错误的是(       ) A．若，则方程必有一根为； B．若是一元二次方程的根，则 C．若方程两根为，且满足，则方程，必有实根 D．若方程有两个不相等的实根，则方程无实根； 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由，可得出方程必有一根为，即可判断A；利用求根公式得出，变形即可判断B；由一元二次方程根与系数的关系可得，，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 若，方程必有一根为，故A说法正确，不符合题意； 是一元二次方程的根， ， ， ，故B说法正确，不符合题意； 方程两根为，且满足， ，， ，， 方程，必有实根，故C说法正确，不符合题意； 方程有两个不相等的实根， ， ， 方程有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 3．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（    ）个 ①若方程两根为-1和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为-1和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵a2﹣5a+5＝0， ∴a＝＞1或a＝＞1， ∴1﹣a＜0， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意； ④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0， 那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$