第9章 分式复习测试卷-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

第9章 分式复习测试卷 （150分，120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故选：B． 2．下列各式中：，分式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：是分式，不是分式， 分式的个数是个， 故选：C． 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负指数幂、分式的基本性质以及分式加减乘除运算等知识点，A选项将负指数幂转化成正指数幂即可得解，B选项化成同分母分数加减法即可判断，C选项将分子提出一个负号放到分式的前面即可判断，D选项分式乘除混合运算统一成乘法运算即可判断． 【详解】解：A，，该选项运算错误； B，，该选项运算错误； C，，该选项运算正确； D，，该选项运算错误； 故选C． 4．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把第二个分式的分母分解因式，然后根据最简公分母的确定方法解答．本题考查了最简公分母的确定，解题的关键在于对分母正确分解因式． 【详解】解：∵， ∴与的最简公分母为，故D正确． 故选：D． 5．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将分式方程化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤即可解答．本题考查了解分式方程一般步骤，学会将分式方程化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， ， 去括号，得， ， 移项，得， ， 合并同类项，得， ， 系数化为，得， ， 检验：将代入， ∴是原分式方程的解， 故选． 6．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，把，分别换成，是解题关键．把原分式中的和分别换为和，然后进行化简，再与原分式进行比较即可得出结论． 【详解】解：分式中的和都扩大倍时， 原分式变为：， 即把分式中的和都扩大倍，那么分式的值不变． 故选A． 7．已知，则的值为（  ） A． B． C．7 D．4 【答案】C 【分析】先由 得到 ， 即 ， 再根据完全平方公式可求 的值； 【详解】 故选C 【点睛】此题主要考查了分式的值，关键是要熟练掌握完全平方公式 8．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道， 实际施工时每天铺设管道， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．已知分式，，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 10．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0．先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出的取值范围． 【详解】解：根据题意解分式方程，得， ， ，即，解得， ， ，解得， 综上，的取值范围是且， 故选：D 二、填空题（每题5分，共20分） 11．若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴； 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，原式化简得，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ． 故答案为：0. 13．舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江山图》为创作背景，以时间为主轴，以“青绿”为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，展现中国古典艺术之美和优秀传统文化的时代气息．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为3.4米、宽为2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等．问：边衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 设边衬的宽度为x米，用x的代数式表示装裱后整幅图画宽与长，再根据宽与长的比是9:14，列出方程即可． 【详解】设边衬的宽度为x米，装裱后，整幅图画的宽为米，长为米，根据题意，得 故答案为：． 14．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若M能被7整除，则的最小值为 . 【答案】 1101 /0.5 【分析】本题为新定义问题，考查了整式的加减，分数加减的逆用等知识，根据题意用、写出四位数的表达式，根据、的范围，可得最小的，因为能被7整除，所以可知和的取值，即得的最小值． 【详解】解：∵两位数的十位数字是，个位数字是，两位数的十位数字是，个位数字是， 四位数， ∴当，时，最小，， ∵能被7整除，， ，时，， ，时，， ，时，， ，时，， 由题意得，， ∴最小， 即最小， ，时，． 故答案为：1101， 三、解答题（15、16、17、18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，最后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】 ， 当时，原式． 16．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程去分母后得整式方程，求得方程解后再进行检验即可得到方程的解 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 17．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了倒数法解题，正确理解方法的内涵是解题的关键． (1)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． (2)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵取倒数得：， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 18．为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？ 【答案】1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元 【分析】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意列方程求解即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】设1盒 A 品牌科学实验套装为x元，则1盒B品牌科学实验套装为元，根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：1盒A品牌科学实验套装为80元，1盒B品牌科学实验套装为100元． 19．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 21．为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 【答案】(1)乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米 (2)至少应安排甲工程队清理10天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式． （1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，根据“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解， （2）设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，根据“本次清理工作的总费用不高于60万元”，列出关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米， 由题意可得：， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴（米）， 答：乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米； （2）解：设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天， 由题意可得：， ∴， ∴至少应安排甲工程队清理10天． 22．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】(1)前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； (2)学校最多购买了90支钢笔作为奖品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支列出方程求解即可； （2）设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔，根据购买奖品的费用没有超过1308元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解；设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； （2）解：设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔， 由题意得， 解得， 答：学校最多购买了90支钢笔作为奖品． 23．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元； (2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件； (3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件． 【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元； （2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可； （3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意． 【详解】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 分式复习测试卷 （150分，120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中：，分式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 5．方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 7．已知，则的值为（  ） A． B． C．7 D．4 8．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知分式，，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（每题5分，共20分） 11．若分式的值为零，则x的值为 ． 12．已知，则 ． 13．舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江山图》为创作背景，以时间为主轴，以“青绿”为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，展现中国古典艺术之美和优秀传统文化的时代气息．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为3.4米、宽为2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等．问：边衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 14．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为 ，若M能被7整除，则的最小值为 . 三、解答题（15、16、17、18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15．先化简，再求值：，其中 16．解方程：． 17．阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 18．为了有效落实《教育部关于加强和改进中小学实验教学的意见》，某中学计划购买A，B两种品牌的科学实验套装，已知1盒B品牌科学实验套装比1盒A品牌科学实验套装贵20元，且用6400元购买A品牌科学实验套装的数量和用8000元购买B品牌科学实验套装的数量相同．求1盒A品牌科学实验套装和1盒B品牌科学实验套装的价格分别为多少元？ 19．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 20．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 21．为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 22．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 23．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$