第10章 相交线、平行线与平移复习测试卷-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

第10章 相交线、平行线与平移复习测试卷 （150分，120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．在这个充满活力与希望的龙年，学校将举办一场别开生面的绘画大赛，通过画笔，大家可以描绘出心中龙的形象，展示龙年的独特魅力，在此次绘画比赛中有以下四个龙的图案，其中可以由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”． 【详解】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是B中图案． 故选B． 2．如图，已知四边形，点E在的延长线上，连接，下列说法中正确的是（    ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，三线八角，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定定理以及同位角的概念即可对各选项作出判断． 【详解】解：A、和是同位角，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 3．如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 【答案】D 【分析】 根据同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A. 与是同位角，选项正确，不符合题意；     B. 与是内错角，选项正确，不符合题意；     C. 与是同旁内角，选项正确，不符合题意；         D. ，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．     故选：D． 4．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，直接利用平行线的判定进行逐一判断即可，解题的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用． 【详解】、若，则，符合题意； 、若，则，不符合题意； 、若，则，不符合题意； 、若，则，不符合题意； 故选：． 5．如图，沿着由点B到点C的方向平移得到，若，那么平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得平移的距离即为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿着由点B到点C的方向平移得到， ∴平移距离为2， 故选；B． 6．如图，直线相交于点．过点作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的性质、垂直的定义、对顶角的性质，由，，可得，即可得，又，由角的和差关系即可求出的大小，利用邻补角的性质求出是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义即可判断①②；根据点到直线的距离即可判断④⑤；根据垂线段的定义即可判断③． 【详解】解：∵， ∴与互相垂直，故①正确； 与不垂直，故②错误； 到的垂线段是线段，故③错误； ∵， ∴点到的距离是线段的长度，故④正确； ∵，即， ∴点到的距离是线段的长度，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，垂线段和点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 8．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 9．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出和的度数是解题的关键． 由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，结合角平分线的定义可求出和的度数，过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分平分， ∴． 过点作，则，如图所示．    ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 10．已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴, ∴，即，②正确； ③过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，③说法错误． 综上，正确的有2个， 故选：C． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键． 根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为2． 故答案为：2． 12．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    【答案】/96度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：．    13．埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离约为800km，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为7.2°．根据可以推导出的大小，依据是 ；埃拉托斯特尼估算得到的地球周长约为 km． 【答案】 两直线平行，同位角相等 40000 【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出，再代入计算求解． 【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角， 则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为 =7.2°， 理由是两直线平行，同位角相等． 因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km， 所以地球周长为km． 故答案为：两直线平行，同位角相等；40000． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出 =7.2°是解答关键． 14．如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，对顶角的性质等，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据平角的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（15、16、17、18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15．如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】 此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1） 解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 16．如图，如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质， 先利用同旁内角互补证明，再根据内错角相等证明，再根据平行线的性质即可求解 【详解】解：， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 17．如图，直线与相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差． （1）由得到，进而有，从而得证； （2）由得到，从而，根据即可求出，进而即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出各个点的对应点，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用分割法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，连接、，、平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）连接，扫过的面积为四边形的面积， 扫过的面积为：， 故答案为：．    19．黄河是我国的母亲河，发源于青海省巴颜喀拉山北麓的约古宗列盆地．A、B分别表示西宁和黄河沿岸上的两个建筑．直线a、b分别表示西宁市的某条街道和黄河． (1)从A到B怎样走最近，画图说明； (2)从B到街道怎样走最近，画图说明； (3)从A到黄河沿岸怎样走最近，画图说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短： （1）根据两点之间，线段最短进行求解即可； （2）根据垂线段最短进行求解即可； （3）根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：根据两点之间，线段最短可知，直接走线段的路线从A到B最近； （2）解：根据垂线段最短可知，走线段（）从B到街道最近； （3）解：根据垂线段最短可知，走线段（）从A到黄河沿岸最近． 20．根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（①______）， 又（已知）， （②______）， （③______）， ④______． （已知）， ⑤______， （⑥______）， （⑦______）． 【答案】①邻补角定义；②同角的补角相等；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先利用同角的补角相等得到，则，得到，等量代换得到，则，即可得到． 【详解】证明：（邻补角定义）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：①邻补角定义；②同角的补角相等；③内错角相等，两直线平行；④；⑤；⑥同位角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等. 21．【知识背景】：苏科版教材“垂直”中，我们通过度量、比较发现了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．如图1，在线段、、中，长度最短的是_______． 【知识说理】：事实上，我们可以根据学过的基本事实，通过下面的说理证实这个结论．把图（1）沿直线翻折，并画出图（2）．由于线段是由线段沿直线翻折得到的，因此______．同样，，．因为，，所以、、三点在一条直线上．于是，根据基本事实“________”，可以得到，，即，，也就是，． 【知识应用】：如图3，、两个村庄在河道的两侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图3中画出铺设的线路示意图． 【知识延伸】：如图4，、两个村庄在河道的同侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图4中画出铺设的线路示意图，并说说你的解题思路． 【答案】知识背景：；知识说理：，两点之间，线段最短；知识应用：画图见解析；知识延伸：画图见解析；解题思路见解析 【分析】知识背景：根据垂线段最短进行求解即可； 知识说理：根据两点之间，线段最短进行求解即可； 知识应用：根据两点之间，线段最短，直接连接即为所求； 知识延伸：作关于l的对称点，连接交l于C，连接，则路线即为所求． 【详解】解：知识背景：由垂线段最短可知，在线段、、中，长度最短的是， 故答案为：； 知识说理：由折叠的性质可知，，根据两点之间，线段最短可知，； 故答案为：，两点之间，线段最短； 知识应用：如图所示，连接，根据两点之间，线段最短可知，路线即为所求； 知识延伸：如图所示，作关于l的对称点，连接交l于C，连接，则路线即为所求； ∵点关于l的对称点为点， ∴， ∴， ∴根据两点之间，线段最短可知，当三点共线时，最短， 故路线即为所求． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键 22．【问题初探】 （1）在探究三角形内角和定理的课上，王老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明．小明经过观察、思考之后发现过的顶点作，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你完成这个证明． 已知：如图1，在中，过顶点A作． 求证：． 【类比分析】 （2）王老师继续引导提问“顶点这个位置比较特殊，如果将顶点的位置一般化，你能否得到其他的证明方法呢？”小明经过思考提出新的证明思路：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过顶点分别作出另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你先作出辅助线，再完成这个证明． 已知：如图2，在中，点是边上的任意一点． 求证：． 【学以致用】 （3）如图是，，，三岛的平面示意图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角是多少度？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）从岛看，两岛的视角是，从岛看，两岛的视角是 【分析】本题考查了平行线的性质，方位角的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据平行线的性质以及平角的定义即可证明； （2）：过点分别作，，分别交、于点、，由平行线的性质以及平角的定义即可证明； （3）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ； （2）证明：过点分别作，，分别交，于点，． ， ，， ， ，， ， ， ； （3）解：，， ． ，． 在中，． 从岛看，两岛的视角是， 从岛看，两岛的视角是． 23．已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，过点M作，可得，由平行线的性质可得，进而可以证明； （2）根据角平分线的定义得到，由（1）知，等量代换得到，根据平角的定义即可得到结论； （3）如图3，令，则，过点H作，可得，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，令，则， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移复习测试卷 （150分，120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．在这个充满活力与希望的龙年，学校将举办一场别开生面的绘画大赛，通过画笔，大家可以描绘出心中龙的形象，展示龙年的独特魅力，在此次绘画比赛中有以下四个龙的图案，其中可以由如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形，点E在的延长线上，连接，下列说法中正确的是（    ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 4．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，沿着由点B到点C的方向平移得到，若，那么平移的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，直线相交于点．过点作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 8．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知，平分平分，，则的度数为（     ）度．    A．55 B．50 C．40 D．30 10．已知直线，点P在直线之间，连接． 下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则 ②如图2，点Q在之间，，则； ③如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，则和的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每题5分，共20分） 11．如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为 ．    12．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为 ．    13．埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离约为800km，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为7.2°．根据可以推导出的大小，依据是 ；埃拉托斯特尼估算得到的地球周长约为 km． 14．如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 三、解答题（15、16、17、18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15．如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 16．如图，如图，已知，，，求的度数． 17．如图，直线与相交于点O，． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 18．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 19．黄河是我国的母亲河，发源于青海省巴颜喀拉山北麓的约古宗列盆地．A、B分别表示西宁和黄河沿岸上的两个建筑．直线a、b分别表示西宁市的某条街道和黄河． (1)从A到B怎样走最近，画图说明； (2)从B到街道怎样走最近，画图说明； (3)从A到黄河沿岸怎样走最近，画图说明． 20．根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（①______）， 又（已知）， （②______）， （③______）， ④______． （已知）， ⑤______， （⑥______）， （⑦______）． 21．【知识背景】：苏科版教材“垂直”中，我们通过度量、比较发现了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．如图1，在线段、、中，长度最短的是_______． 【知识说理】：事实上，我们可以根据学过的基本事实，通过下面的说理证实这个结论．把图（1）沿直线翻折，并画出图（2）．由于线段是由线段沿直线翻折得到的，因此______．同样，，．因为，，所以、、三点在一条直线上．于是，根据基本事实“________”，可以得到，，即，，也就是，． 【知识应用】：如图3，、两个村庄在河道的两侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图3中画出铺设的线路示意图． 【知识延伸】：如图4，、两个村庄在河道的同侧，现要铺设一条引水管道把河水引向、两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图4中画出铺设的线路示意图，并说说你的解题思路． 22．【问题初探】 （1）在探究三角形内角和定理的课上，王老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明．小明经过观察、思考之后发现过的顶点作，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你完成这个证明． 已知：如图1，在中，过顶点A作． 求证：． 【类比分析】 （2）王老师继续引导提问“顶点这个位置比较特殊，如果将顶点的位置一般化，你能否得到其他的证明方法呢？”小明经过思考提出新的证明思路：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过顶点分别作出另外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题，请你先作出辅助线，再完成这个证明． 已知：如图2，在中，点是边上的任意一点． 求证：． 【学以致用】 （3）如图是，，，三岛的平面示意图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看，两岛的视角是多少度？ 23．已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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