专题05 一元一次不等式（组）的应用分类训练（12种类型60道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题05一元一次不等式（组）的应用分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1和倍问题】 1 【题型2 工程问题】 3 【题型3购物问题】 4 【题型4销售问题】 5 【题型5打折问题】 7 【题型6积分问题】 8 【题型7运输问题】 9 【题型8租车问题】 10 【题型9分配问题】 12 【题型10门票问题】 13 【题型11古代问题】 15 【题型12方案问题】 17 【题型1和倍问题】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 2．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 3．（2024·山东泰安·一模）为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 4．（23-24九年级下·河南郑州·期中）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等． (1)求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？ 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【题型2工程问题】 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 7．（23-24八年级下·山西晋中·期中）应用题： 2024年，随着“美丽乡村”建设目标的推进，农村的道路、供水、供热、电力等基础设施将得到全面改善．某工程队承包了农村集中供热管道改造项目，此项目工程需要铺设10000米的管道任务，该工程队平均每天铺设管道125米，在管道铺设了20天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？ 8．（2024·重庆·一模）2021年以来，重庆陆续开工渝万、成达万、成渝中线、西渝高铁，加上续建的渝昆、渝湘高铁重庆至黔江段，“米”字形高铁网全面铺开．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ (2)已知甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，若该段隧道挖掘工程为700米，安排甲队工作若干天后由乙队接收剩余的工程，而总费用不高于115万元，最多能安排甲工程队挖掘多少天？（挖掘天数为整数） 9．（23-24九年级下·重庆·期中）为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍． (1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？ (2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 【题型3购物问题】 11．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元． (1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？ (2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？ 12．（23-24八年级下·江西抚州·期中）某校九年级（21）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额不超过320元，请问最多购进乙种奖品多少个？ 13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 14．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数倍），则有哪几种购买方案，请分别写出来． 15．（2024·黑龙江牡丹江·一模）为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题： (1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？ (2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案． 【题型4销售问题】 16．（2024年重庆市忠县后乡片区十校联考中考一模数学试题）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过16800元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1000束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束20元、12元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.5倍，若消费者用3000元购买百合的数量比用2200元购买康乃馨的数量少10束． (1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元； (2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低2元，康乃馨的售价每束降低1元．求花店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？（假设购进的两种鲜花全部销售完） 17．（2024·宁夏吴忠·一模）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元个、30元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 10 15 1150 周二 6 12 810 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ 18．（2024·四川德阳·二模）以三星堆出土的青铜纵目面具为原型的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒深受人们的喜爱，出现了供不应求的局面．某文创公司准备购进两种文创品，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”比“祈福神官”系列盲盒进价多50元，用9200元购进玻璃杯“纵目萌萌杯”的数量与用4200元购进的“祈福神官”系列盲盒数量相同，请解决下列问题： (1)玻璃杯“纵目萌萌杯”与“祈福神官”系列盲盒每个进价各是多少元？ (2)若文创公司决定，用不低于16000元的资金购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒共计200个，玻璃杯“纵目萌萌杯”至多购进155个，则有几种购买方案？ (3)在（1）问条件下，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”的售价为130元，每个“祈福神官”系列盲盒的售价为70元，同时购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒200个，且全部售出，售完后，文创公司用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费263元，其余部分全部再次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒送给福利院，请直接写出捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒各是多少个？ 19．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共件，若甲种茶叶进价为每件元，乙种茶叶进价为每件元．已知件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元；件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元? (2)该经销商计划用不超过元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的倍，则共有多少种进货方案? (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 20．（23-24八年级下·山东青岛·期中）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【题型5打折问题】 21．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，今天是店庆，可以打折优惠．已知该玩具的成本是80元，定价为120元，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 22．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2600元，标价为3640元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（    ） A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折 23．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）某商品进价为元，出售时标价为元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 24．（2023·浙江·模拟预测）圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（    ） A．买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元 B．买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元 C．买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元 D．买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元 25．（2023八年级上·浙江·专题练习）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则最少可打(   ) A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【题型6积分问题】 26．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 27．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分． (1)若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？ (2)若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少需答对几道题才能被评为“知识小达人”？ 28．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？ 29．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？ 30．（23-24八年级下·山西晋中·期中）开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？ 【题型7运输问题】 31．（2023·云南楚雄·模拟预测）年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元． (1)该物流公司月份运输两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？ 32．（2024·山东临沂·一模）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，所需费用少于54000元，求出所需费用最少的方案，且最少费用是多少？ 33．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． (1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ (2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 34．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 35．（2023·贵州遵义·模拟预测）遵义火车站现有甲种货物306吨，乙种货物230吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节． (1)已知甲种货物7吨和乙种货物3吨可装满一节A型货厢，甲种货物5吨和乙种货物7吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？ (2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费． 【题型8租车问题】 36．（2024·山东东营·模拟预测）为拓展学生视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位； 若租用同样数量的60 座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ (2)若该校计划租用甲、乙两种客车，共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？ 37．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 38．（23-24八年级下·广东梅州·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共435名师生，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表： 甲种客车 乙种客车 载客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 1080 900 (1)如果恰好一次性将435名师生送往劳动实践基地，应安排租用甲、乙两种车各几辆？ (2)设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元． ①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式； ②当甲种客车有多少辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是多少元？ 39．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． (1)最多能租用多少辆A型号客车? (2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 40．（22-23八年级下·四川成都·期中）我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元． (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 【题型9分配问题】 41．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）若装满一个果篮需要3个苹果，而用m个苹果最多可以装满4个果篮，则m应满足（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）活动课上，老师将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，则活动小组有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 43．（2023·山东滨州·模拟预测）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 44．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 45．（22-23八年级上·安徽六安·开学考试）有一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，小朋友人数和玩具件数分别是（    ） A．6；22 B．7；25 C．6；22或7；25 D．不能确定 【题型10门票问题】 46．（2024六年级下·上海·专题练习）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第 　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 47．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）春节期间全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预订量同比暴涨，某景区的票价为50元，为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠． (1)若小红一家共5人游玩，则选择哪种方案更划算； (2)经计算小明一家选择方案二更划算，则小明一家至少多少人． 48．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）某景点的门票为每张10元，一次性使用．为了吸引更多的游客，景区在保留原有的售票方法外，还推出“购买个人年票”（个人年票从购票之日起，可供持票人一年内不限次数使用）的售票方法．年票分A，B，C三类，售价及使用方法如下表： 类别 售价 使用时额外费用 A 120元/张 无 B 60元/张 2元/次 C 40元/张 3元/次 （1）若计划在一年内花费80元去该景点游玩，请计算说明哪种购票方法可以获得的游玩次数最多，最多是多少次？ （2）求一年内至少去该景点游玩多少次时，购买A类年票比较合算？ 49．（20-21七年级下·江苏常州·期末）某公园的门票价格如表所示： 购票人数 1～50 51～80 100以上 票价（元/人） 10 8 5 某校七年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付928元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要520元． （1）甲、乙两班分别有多少人？ （2）游园过程中，学校组织全体学生坐船游玩“畅沁湖”．坐小船4人一艘，每艘小船价格20元；坐大船8人一艘，每艘大船价格50元，领队只剩下620元．在保证每艘船都坐满的情况下，请问至少需要租多少艘小船？ 50．（23-24八年级下·山东青岛·期中）两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买张成人票和张儿童票共需元，小波家购买张成人票和张儿童票共需元． (1)求成人票和儿童票的单价； (2)售票处规定：一次性购票数量达到张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共人，估计儿童至人．导游选择哪种购票方式花费较少？ 【题型11古代问题】 51．（2024·广东深圳·二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下： 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 (1)求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ (2)小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？ 52．（23-24七年级下·江苏南通·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 53．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”根据以上信息，判断以下说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×” 该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．__________ 请你仿照这种形式，写出你认为正确的对歌答案：“__________条打猎去，__________条看羊来，__________条守门口，剩下__________给财主．” (2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 54．（22-23八年级下·山西晋中·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． (1)求每副象棋和围棋的价格； (2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 【题型12方案问题】 55．（23-24七年级下·四川巴中·期中）随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示： A型号 B型号 座位数（个/辆） 60 30 (1)每辆A型车和B型车各多少万元？ (2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？ 56．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 57．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？ 58．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某公司要把吨白砂糖运往、两地，现用大、小两种货车共辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知这两种货车的载质量分别为吨/辆和吨/辆，运往地的运费为大货车元/辆，小货车元/辆；运往地的运费为大货车元/辆，小货车元/辆． (1)求用这两种货车各多少辆； (2)如果安排辆货车前往地，其余货车前往地，且运往地的白砂糖不少于吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 59．（23-24七年级下·广东江门·期中）某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： (3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 60．（23-24七年级下·吉林长春·期中）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用低于40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05一元一次不等式（组）的应用分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1和倍问题】 1 【题型2 工程问题】 5 【题型3购物问题】 11 【题型4销售问题】 16 【题型5打折问题】 22 【题型6积分问题】 24 【题型7运输问题】 27 【题型8租车问题】 32 【题型9分配问题】 38 【题型10门票问题】 41 【题型11古代问题】 46 【题型12方案问题】 50 【题型1和倍问题】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 (1)小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ (2)该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 【答案】(1)小东的商店购进上衣300件，裤子200件 (2)九折 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设小东的商店购进上衣x件，裤子y件，根据“用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元”列出方程组，并求解即可； （2）每件裤子打m折，根据“第二次销售活动获利不少于12300元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小东的商店购进上衣x件，裤子y件， 根据题意得：， 解得：． 答：小东的商店购进上衣300件，裤子200件； （2）解：设每件裤子打m折， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9． 答：每件裤子至少打九折． 2．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为 (2)当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解题的关键． （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求函数的最值． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍， ∴， 解得， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 3．（2024·山东泰安·一模）为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 【答案】(1)每个甲种书柜的进价为元 (2)购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握分式方程，一元一次不等式的运用，一次函数的运用，即可． （1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据题意，列出分式方程，即可； （2）设甲书柜的数量为个，则乙书柜的数量为个，求出的范围，设使得购进书柜所需费用为，根据题意，求出函数关系，根据函数的性质，即可． 【详解】（1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴， 答：每个甲种书柜的进价为元． （2）设甲书柜的数量为个， ∴乙书柜的数量为个， ∵乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍， ∴， 解得：， ∴， 设使得购进书柜所需费用为， ∴， 整理得：， 当时，有最小值，， 答：购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少． 4．（23-24九年级下·河南郑州·期中）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗．已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多10元；3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等． (1)求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍．请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？ 【答案】(1)甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元 (2)最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为w元得出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种树苗的单价分别为x元，y元． 由题意得： 解得： 答：甲、乙两种树苗的单价分别为40元，30元． （2）解：设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，总费用为w元 由题意得： 解得： ， w随m的增大而增大， 又，且m为整数， 当时，w取得最小值，最小值为． 答：最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，则购买乙种树苗166棵，此时的总费用为18340元． 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】费用最少的方案是购买A种树苗棵，栽种B种花卉的数量为棵，最小费用为元． 【分析】本题考查了一元一次不等式及一次函数的应用．设栽种A种国槐树苗的数量为棵，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设购买A种国槐树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则栽种B种国槐树苗的数量为棵， 根据题意，可得：， ∵A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍， ∴， 解得：， ∵， 随x的增加而减少， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴费用最少的方案是购买A种国槐树苗棵，栽种B种国槐树苗的数量为棵，最小费用为元． 【题型2工程问题】 6．（2023·江苏盐城·模拟预测）为建设合肥市现代化滨湖大城市，有关部门对该地区一条长为550米的河道进行疏通清理工作．该项目由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天清理河道的能力是乙工程队每天清理能力的1.5倍，并且清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两工程队每天分别可以清理河道多少米？ (2)若甲工程队每天的费用为3万元，乙工程队每天的费用为2.4万元，要使本次清理工作的总费用不高于60万元，至少应安排甲工程队清理多少天？ 【答案】(1)乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米 (2)至少应安排甲工程队清理10天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决问题的关键是：找到各数量之间的关系，列出关系式． （1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，根据“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”，列出等量关系式，即可求解， （2）设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天，根据“本次清理工作的总费用不高于60万元”，列出关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米， 由题意可得：， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴（米）， 答：乙工程队每天可以清理河道20米，甲工程队每天可以清理河道30米； （2）解：设应安排甲工程队清理m天，则乙工程队清理天， 由题意可得：， ∴， ∴至少应安排甲工程队清理10天． 7．（23-24八年级下·山西晋中·期中）应用题： 2024年，随着“美丽乡村”建设目标的推进，农村的道路、供水、供热、电力等基础设施将得到全面改善．某工程队承包了农村集中供热管道改造项目，此项目工程需要铺设10000米的管道任务，该工程队平均每天铺设管道125米，在管道铺设了20天后，为了缩短工期，经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多长管道？ 【答案】该工程队平均每天至少再多铺设管道25米 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设该工程队平均每天再多铺设管道x米，利用工作总量工作效率工作时间，结合余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可求解． 【详解】解：设该工程队平均每天再多铺设管道x米，根据题意可 得：， 解得：， 答：该工程队平均每天至少再多铺设管道25米． 8．（2024·重庆·一模）2021年以来，重庆陆续开工渝万、成达万、成渝中线、西渝高铁，加上续建的渝昆、渝湘高铁重庆至黔江段，“米”字形高铁网全面铺开．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程．已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，并且挖掘240米的高铁隧道甲工程队比乙工程队少用4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米的隧道？ (2)已知甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，若该段隧道挖掘工程为700米，安排甲队工作若干天后由乙队接收剩余的工程，而总费用不高于115万元，最多能安排甲工程队挖掘多少天？（挖掘天数为整数） 【答案】(1)甲工程队每天挖30米隧道，乙工程队每天挖20米隧道 (2)最大为6 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设乙工程队每天可以清理河道x米，则甲工程队每天可以清理河道米，由“清理240米河道甲工程队比乙工程队少用4天”列出方程即可求解； （2）设安排甲工程队挖掘天，则乙工程队清理天，由“使本次清理工作的总费用不高于115万元”列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天挖米隧道，则甲工程队每天挖米隧道． ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：甲工程队每天挖30米隧道，乙工程队每天挖20米隧道； （2）解：设安排甲工程队挖掘天。 整理得，   ∴ 为整数   最大为6 9．（23-24九年级下·重庆·期中）为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍． (1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？ (2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 【答案】(1)10天 (2)至多11000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天，根据乙队的施工效率为甲队施工效率的倍建立方程，解方程即可，注意检验； （2）首先计算出两队合作需要的天数，设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元，根据总工费不超过12万元，得到不等式，解不等式取最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 原方程的解为：，则甲队需要天， 答：乙队独立完成此项工程需要10天； （2）解：由（1）得，乙队独立完成此项工程需要10天，则甲需要15天 两队同时开工，同时完工， 两队合作需要天完工， 设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元， 由题意得：， 解得：， y的最大值为11000元， 因此，乙施工队每天的工程款至多11000元． 10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 【答案】(1)甲需25天，乙需50天 (2)甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； (3)20天或21天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元一次方程和不等式组的应用，根据已知数量关系正确列式是解题关键． （1）设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设甲工程队施工天数为天，甲工程队完成了此工程的，则乙工程队完成了此工程的，所用时间为天，根据题意列一元一次不等式组求解即可 【详解】（1）解：设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天， 由题意得：，． 解得， 检验：当时，，原分式方程的解为， 故甲需25天，乙需50天； （2） 解：设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元， 由题意得：， 解得， ， 故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； （3） 解：设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的， 乙工程队所用时间为天， ， 解得：， 甲工程队施工天数为20天或21天． 【题型3购物问题】 11．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）某中学为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，计划开展跳绳比赛．该校七年一班分两次购买跳绳，第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元． (1)求长跳绳和短跳绳的单价各是多少元？ (2)若七年三班也准备购买同样的长跳绳和短跳绳共50条，且总费用不超过600元，则七年三班最多能购买长跳绳多少条？ 【答案】(1)长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元 (2)七年三班最多能购买长跳绳20条 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元，根据第一次购买20条长跳绳和30条短跳绳共花费590元，第二次购买10条长跳绳和10条短跳绳共花费260元列出方程组求解即可； （2）设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条，根据购买费用不超过600元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设长跳绳和短跳绳的单价各是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：长跳绳和短跳绳的单价各是19元，7元， （2）解：设七年三班购买长跳绳m条，则购买短绳条， 由题意得，， 解得， ∵m是整数， ∴m的最大值为20， 答：七年三班最多能购买长跳绳20条． 12．（23-24八年级下·江西抚州·期中）某校九年级（21）班对半学期考试成绩优秀的学生进行奖励，颁发奖品，班主任安排生活委员到某文具店购买甲、乙两种奖品，若买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)因奖品数量的需要和班费的限制，现要求本次购买甲种奖品的数量是乙种奖品的数量的2倍还少10个，而且购买这两种奖品的总金额不超过320元，请问最多购进乙种奖品多少个？ 【答案】(1)3元，5元 (2)31个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系和不等关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键． （1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据买甲种奖品20个，乙种奖品10个，共用110元，买甲种奖品30个比买乙种奖品20个少花10元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个，根据购买这两种奖品的总金额不超过320元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元， 根据题意得： 解得： 答：甲种奖品的单价为3元，乙种奖品的单价为5元． （2）设购买乙种奖品的数量为a个，则购买甲种奖品的数量为个． 根据题意得： 解得： 又∵为正整数， ∴最多购进乙种奖品31个． 13．（23-24八年级下·吉林长春·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《呐喊》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元． (1)求购买1本《艾青诗选》和1本《呐喊》各需多少元； (2)若某班计划购买《艾青诗选》和《呐喊》共45本，其中《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，设购买《艾青诗选》m本，购买两种读物所需费用共w元，则m为何值时总费用w最小，并求出w的最小值． 【答案】(1)《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． (2)时，总费用w最小，为600元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式、一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元．根据“购买2本《艾青诗选》和1本《呐喊》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《呐喊》需60元．”列出方程组，即可求解； （2）根据“《呐喊》的数量不少于《艾青诗选》数量的2倍，”列出不等式，即可求出的取值范围，再列出费用关于的函数解析式，根据一次函数的性质求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设《艾青诗选》的单价x元，《呐喊》的单价y元． 根据题意可得：， 解得， 答：《艾青诗选》的单价10元，《呐喊》的单价15元． （2）解：根据题意：，解得， ， ∵， ∴w随m增大而减小， ∴当时，w最小， （元） 答：时，总费用w最小，为600． 14．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）汝阳县某单位在创建“百里画廊”项目过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造．已知购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元．若购进这两种树苗共1000棵（每种树苗数量均为10的整数倍），则有哪几种购买方案，请分别写出来． 【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元 (2)有三种方案：方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵；方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵；方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组． （1）设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元，根据购买A种树苗70棵，B种树苗30棵，需要8500元；购买A种树苗50棵，B种树苗60棵，则需要8000元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，根据购买A种树苗不能少于500棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过76000元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种树苗每棵为x元，B种树苗每棵为y元， 由题意，得， 解得， 答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元． （2）解：设购买A种树苗a棵，则购买B种树苗棵，由题意得： ， 解得， ∵a以“十”为单位， ∴a可取500，510，520， ∴共有三种方案 方案1：购买A种树苗500棵，B种树苗500棵； 方案2：购买A种树苗510棵，B种树苗490棵； 方案3：购买A种树苗520棵，B种树苗480棵． 15．（2024·黑龙江牡丹江·一模）为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题： (1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？ (2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案． 【答案】(1)购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元 (2)学校共有三种方购买案 (3)三种方案，第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个；第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个 【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． （3）在（2）的条件下，有3种方案，具体后，结合每队甲种足球至少3个，计算解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，并计算整数解． 【详解】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元． 根据题意得：， 解这个方程组得． 答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元． （2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个． 解得：． ∵m为整数， ∴． ∴学校共有三种方购买案． （3）根据(2)，得到三种方案具体如下： 第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个， 第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个， 第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个． 由每队甲种足球至少3个，得这8个足球的购买方案如下： 第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个， 第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个， 第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个． 【题型4销售问题】 16．（2024年重庆市忠县后乡片区十校联考中考一模数学试题）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过16800元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1000束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束20元、12元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.5倍，若消费者用3000元购买百合的数量比用2200元购买康乃馨的数量少10束． (1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元； (2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低2元，康乃馨的售价每束降低1元．求花店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？（假设购进的两种鲜花全部销售完） 【答案】(1)百合和康乃馨每束的售价分别为30元和20元 (2)花店应购进百合600束，康乃馨400束才能获得最大的利润，最大利润为7600元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设康乃馨鲜花每束的售价为元，根据“用3000元购买百合的数量比用2200元购买康乃馨的数量少10束”，列方程，计算可以得解； （2）依据题意，设购进百合束，获得利润元，根据“使用不超过16800元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1000束进行销售”列不等式，求出m的取值范围，根据（2）的条件写出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，设康乃馨鲜花每束的售价为元，由题意得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意． ． 答：百合和康乃馨每束的售价分别为30元和20元． （2）解：由题意，设购进百合束，由题意得： ， 解得：． 设获得利润元， ，即， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值为：（元． （束． 答：花店应购进百合600束，康乃馨400束才能获得最大的利润，最大利润为7600元． 17．（2024·宁夏吴忠·一模）骑行过程中佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害．某商店经销进价分别为40元个、30元个的甲、乙两种安全头盔，表是近两天的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润售价进价） 时间 甲头盔销量 乙头盔销量 销售额 周一 10 15 1150 周二 6 12 810 (1)求甲、乙两种头盔的销售单价； (2)若商店准备用不多于3400元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？ 【答案】(1)甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个． (2)甲种头盔最多购进40个． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）设甲、乙两种头盔的售价分别是元/个、元/个．根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）设甲、乙两种头盔的售价分别是元/个、元/个． 则 解得， 答：甲、乙两种头盔的售价分别是55元/个，40元/个； （2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个， 则，解得， 答：甲种头盔最多购进40个． 18．（2024·四川德阳·二模）以三星堆出土的青铜纵目面具为原型的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒深受人们的喜爱，出现了供不应求的局面．某文创公司准备购进两种文创品，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”比“祈福神官”系列盲盒进价多50元，用9200元购进玻璃杯“纵目萌萌杯”的数量与用4200元购进的“祈福神官”系列盲盒数量相同，请解决下列问题： (1)玻璃杯“纵目萌萌杯”与“祈福神官”系列盲盒每个进价各是多少元？ (2)若文创公司决定，用不低于16000元的资金购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒共计200个，玻璃杯“纵目萌萌杯”至多购进155个，则有几种购买方案？ (3)在（1）问条件下，每个玻璃杯“纵目萌萌杯”的售价为130元，每个“祈福神官”系列盲盒的售价为70元，同时购进玻璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒200个，且全部售出，售完后，文创公司用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费263元，其余部分全部再次购进玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒送给福利院，请直接写出捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”和“祈福神官”系列盲盒各是多少个？ 【答案】(1)玻璃杯“纵目萌萌杯” 每个进价92元，“祈福神官”系列盲盒每个进价42元 (2)4种 (3)捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”4个，“祈福神官”系列盲盒2个 【分析】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． （1）设“祈福神官”系列盲盒每个进价x元，则玻璃杯“纵目萌萌杯” 每个进价元，根据“用9200元购进玻璃杯“纵目萌萌杯”的数量与用4200元购进的“祈福神官”系列盲盒数量相同”列方程求解即可； （2）设购进玻璃杯“纵目萌萌杯”m个，则“祈福神官”系列盲盒个，根据“璃杯“纵目萌萌杯”、“祈福神官”系列盲盒不低于16000元；玻璃杯“纵目萌萌杯”至多购进155个”列不等式组求解即可； （3）设利润为y元，求得，利用一次函数的性质求出最大值为24050，设捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”a个，捐赠“祈福神官”系列盲盒b个，可得出，结合a、b都为非负整数求解即可． 【详解】（1）解：设“祈福神官”系列盲盒每个进价x元，则玻璃杯“纵目萌萌杯” 每个进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：玻璃杯“纵目萌萌杯” 每个进价92元，“祈福神官”系列盲盒每个进价42元． （2）解：设购进玻璃杯“纵目萌萌杯”m个，则“祈福神官”系列盲盒个， 根据题意，得， 解得， ∵m是整数， ∴整数m为152，153，154，155， ∴有4种购买方案； （3）解：设利润为y元， 根据题意，得， ∴y随m的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为， 设捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”a个，捐赠“祈福神官”系列盲盒b个， 根据题意得：， ， 、b都为非负整数， ，， 答：捐赠的玻璃杯“纵目萌萌杯”4个，“祈福神官”系列盲盒2个． 19．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某茶叶经销商计划购进甲、乙两种茶叶共件，若甲种茶叶进价为每件元，乙种茶叶进价为每件元．已知件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元；件甲种茶叶和件乙种茶叶的售价共元． (1)求甲、乙两种茶叶每件的售价分别是多少元? (2)该经销商计划用不超过元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的件数不少于乙种茶叶件数的倍，则共有多少种进货方案? (3)该经销商为尽快回笼资金，采取如下优惠活动：甲种茶叶售价下调元，乙种茶叶售价不变．若甲、乙两种茶叶的进价不变，并且无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变，求的值． 【答案】(1)甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元 (2)共有种进货方案 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，根据题意列出；一元一次不等式组，即可求解； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件，先分别求出甲、乙一件的利润，再求出总利润，根据“无论如何进货，销售总利润保持不变”，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元， 依题意得：， 解得：， 甲种茶叶每件的售价是元，乙种茶叶每件的售价是元； （2）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 根据题意得：， 解得：， 又是整数， 可以取：、、， 共有种进货方案； （3）设甲种茶叶进货件，乙种茶叶进货件， 甲种茶叶单件的利润为：， 乙种茶叶单件的利润为：， 总利润为：， 无论如何进货，这件茶叶销售总利润保持不变， ， 解得：． 20．（23-24八年级下·山东青岛·期中）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； (2)①甲种服装最多购进75件；②当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）设甲种服装每件的进价元，根据题意得：，解出的值可得答案； （2）①设甲种服装购进件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不等式组，求出范围可知甲种服装最多购进75件； ②设获得利润为元，根据题意得，分三种情况讨论可得答案． 【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价元，则乙种服装每件的进价元， 根据题意得：， 解得， ， 甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）解：①设甲种服装购进件， 甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元， ， 解得； 甲种服装最多购进75件； ②设获得利润为元， 根据题意得：， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大； 当时，所有进货方案利润都是4000元； 当时，随增大而减小， 当时，取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 综上所述，当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大． 【题型5打折问题】 21．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，今天是店庆，可以打折优惠．已知该玩具的成本是80元，定价为120元，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（    ） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该玩具打折，根据利润标价折扣成本价列出不等式求解即可． 【详解】解：设该玩具打折， 由题意得，， 解得， ∴该玩具最多打7折， 故选：C． 22．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2600元，标价为3640元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（    ） A．7.5折 B．8折 C．8.5折 D．9折 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键． 设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 【详解】设打x折， 根据题意得 解得． 所以最低可打7.5折． 故选：A． 23．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）某商品进价为元，出售时标价为元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（    ） A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意正确的列不等式是解题的关键． 设可打折，依题意得，，计算求解然后作答即可． 【详解】解：设可打折， 依题意得，， 解得，， ∴至多可打九折， 故选：D． 24．（2023·浙江·模拟预测）圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（    ） A．买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元 B．买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元 C．买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元 D．买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元 【答案】A 【分析】根据，可以理解为买两件减100元，再打7折得出总价小于1000元． 【详解】解：由关系式可知： ， 由，得出两件商品减100元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元． 故选：A 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知最后打8折，再得出不等关系是解题关键． 25．（2023八年级上·浙江·专题练习）某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则最少可打(   ) A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 【答案】B 【分析】设打x折，根据题意列不等式求解即可； 【详解】解：设打x折， 根据题意得， 解得． 所以最少可打七折． 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，正确列出不等式是解题的关键． 【题型6积分问题】 26．（23-24六年级下·上海崇明·期中）一张试卷有50道选择题，答对一题得2分，不答或答错一题倒扣1分，若小明这张试卷得分超过75分，则他至少答对多少道题？ 【答案】他至少答对了42题 【分析】本题考查了由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．设他答对了x道题，则由题意得：，求出不等式的解即可． 【详解】解：设他答对了x道题， ， ， ∵取整数 ∴他至少答对了42题． 27．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分． (1)若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？ (2)若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少需答对几道题才能被评为“知识小达人”？ 【答案】(1)该参赛同学一共答对了21道题； (2)参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可； （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y，再根据y的实际意义取值即可． 【详解】（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了道题， 依题意得：， 解得：， 答：该参赛同学一共答对了21道题； （2）解：设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得：． ∵y为正整数， ∴y最小取24． 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”． 28．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）某校举行“讲文明、爱卫生”知识竞赛，共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，若小明同学得分要超过100分，那么他至少要答对几道题？ 【答案】至少要答对14道题 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设小明答对了x道题，则答错或不答道题，再根据小明同学得分要超过100分，建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答道题， 依题意，得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为14． 答：他至少要答对14道题． 29．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分，选手至少答对多少题才能得到70分以上（含70分）？ 【答案】至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分） 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式即可求解． 设答对道，得到不等式，求解即可． 【详解】解：设答对道， 依题意有， 解得：． 故至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 30．（23-24八年级下·山西晋中·期中）开学初，某校组织开展“消防安全”知识竞赛，倡导同学们从自身做起，从日常生活细节入手，增强消防意识，共筑平安校园．竞赛试题共有20道，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分．小明想本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对几道题？ 【答案】他至少需要答对15道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：设小明想参加本次竞赛得分超过60分，他需要答对x道题， 根据题意，得． 解这个不等式得 因为x为整数，所以x的最小值为15． 答：小明想参加本次竞赛得分超过60分，他至少需要答对15道题． 【题型7运输问题】 31．（2023·云南楚雄·模拟预测）年月日，国家发布了中共中央国务院关于加快建设全国统一大市场的意见，其中明确提出，大力发展第三方物流，促进全社会物流降本增效．某物流公司承接甲、乙两种货物从地运往地的运输业务，已知月份甲种货物运输单价为元/吨，乙种货物运输单价为元/吨，共收取运费元；由于运输成本下降，运输单价下降为：甲种货物元/吨，乙种货物元/吨；该物流公司月份承接的甲、乙两种货物的重量与月份相同，共收取运费元． (1)该物流公司月份运输两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计月份运输这两种货物共吨，且甲种货物的重量不超过乙种货物的倍，在运输单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到运费多少元？ 【答案】(1)该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨 (2)该物流公司月份最多将收到运费元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用； （1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨，根据题意列出一元一次不等式组，解得，设该物流公司月份共收到运费元，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨， 依题意得， 解得， 答：该物流公司月份运输甲种货物吨，乙种货物吨； （2）设该物流公司预计月份运输乙种货物吨，则运输甲种货物吨， 根据题意，得， 解得． 设该物流公司月份共收到运费元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为元， 答：该物流公司月份最多将收到运费元． 32．（2024·山东临沂·一模）为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，所需费用少于54000元，求出所需费用最少的方案，且最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子． （1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设有a辆大货车，辆小货车，列出不等式组，求出a的取值范围，然后求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资； （2）解：设有a辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， 解得：， ∴整数，7，8； 当有6辆大货车，6辆小货车时，所需要的费用为： （元）； 当有7辆大货车，5辆小货车时，所需要的费用为： （元）； 当有8辆大货车，4辆小货车时，所需要的费用为： （元）； ∵， ∴当有6辆大货车，6辆小货车时，最小费用为48000元． 33．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉． (1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？ (2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？ 【答案】(1)一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨 (2)派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，根据题意列出二一元一次方程组求解即可； （2）设B型车a辆，则A型车辆，根据题意列出一元一次不等式组，求出，然后根据a为整数求解即可． 【详解】（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨， 由题意可得：， 解得：， 答：一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨； （2）设B型车a辆，则A型车辆， 由题意可得：， 解得：， ∵a为整数， ∴或3， 答：派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车． 34．（2024六年级下·上海·专题练习）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表所示．如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少？ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨辆） 45 30 租金（元辆） 400 300 【答案】最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆，费用是2200元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，先设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，再根据为正整数，求出租车方案，再分别求出每种方案的费用，即可得出答案，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，注意为正整数． 【详解】设租甲型货车辆，则乙型货车辆，根据题意得： ， 解得：， 为正整数， 共有两种方案， 方案1：租甲型货车4辆，乙型货车2辆， 方案2：租甲型货车5辆，乙型货车1辆， 方案1的费用为：元； 方案2的费用为：元； ∵， 则选择方案1最省钱， 即最省钱的租车方案是租甲型货车4辆，乙型货车2辆． 35．（2023·贵州遵义·模拟预测）遵义火车站现有甲种货物306吨，乙种货物230吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂A、B两种不同型号货厢50节． (1)已知甲种货物7吨和乙种货物3吨可装满一节A型货厢，甲种货物5吨和乙种货物7吨可装满一节B型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？ (2)若一节A型货厢的运费是0.5万元，一节B型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费． 【答案】(1)3种安排货厢方案：第一种：安排A型货厢28节，B型货厢22节；第二种：安排A型货厢29节，B型货厢21节；第三各：安排A型货厢30节，B型货厢20节； (2)安排A型货厢30节，B型货厢20节时，运费最少，最少运费为31万元． 【分析】（1）设A型货厢挂x节，型B货厢挂节，根据题意列出不等式组求解即可； （2）设总运费为W万元，得到关于x的一次函数，由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A型货厢挂x节，B型货厢挂节， 由题意，得：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 故不等式组的解集为：； 因为x为整数，故x取28或29或30； 故有3种安排货厢的方案： 第一种：安排A型货厢28节，B型货厢22节； 第二种：安排A型货厢29节，B型货厢21节； 第三各：安排A型货厢30节，B型货厢20节； （2）解：设总运费为W万元， ， ∵， ∴当时，W最小，最小值为31万元； 即安排A型货厢30节，B型货厢20节时，运费最少，最少运费为31万元． 【题型8租车问题】 36．（2024·山东东营·模拟预测）为拓展学生视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15 人没有座位； 若租用同样数量的60 座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满． 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 250 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ (2)若该校计划租用甲、乙两种客车，共12辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 请你帮助计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金是多少？ 【答案】(1)参加此次研学活动的师生有600人 (2)9种，详见解析，租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是3200元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组及一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设租用45座客车a辆，租用60座客车辆，先根据题意列不等式组求出a的取值范围，即可求出具体的方案，设租金为，列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆， 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人； （2）解：设租用45座客车a辆，租用60座客车辆， ∵要使每位师生都有座位， ∴， 解得， 又a是整数， ∴a的值为0，1，2，3，4，5，6，7，8， ∴的值为12，11，10，9，8，7，6，5，4， ∴共有9种方案， 租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车， 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 租用5辆45座客车，7辆60座客车， 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 租用8辆45座客车，4辆60座客车， 设租金为元，则：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为：（元）； ∴租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是3200元． 37．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为 (元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 38．（23-24八年级下·广东梅州·期中）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，共435名师生，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表： 甲种客车 乙种客车 载客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 1080 900 (1)如果恰好一次性将435名师生送往劳动实践基地，应安排租用甲、乙两种车各几辆？ (2)设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元． ①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式； ②当甲种客车有多少辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)应安排租用甲种客车5辆，租用乙种客车3辆 (2)① (元)与 (辆)之间的函数表达式为：；②当甲种客车有5辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是8100元 【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，函数值随自变随的增大而增大．易错点是根据乙客车的数量及两种客车可拉人数得到自变量的取值范围． （1）甲种客车的辆数乙种客车的辆数，把相关数值代入计算即可； （2）①甲种客车的辆数乙种客车的辆数，把相关数值代入可得一次函数解析式，进而根据乙种客车辆数及两种客车所拉的人数可得自变量的取值范围； ②根据一次函数的比例系数可得该一次函数的增减性，进而根据自变量的取值可得当甲种客车有多少辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是多少元． 【详解】（1）解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 根据题意，得：． 解得：． ∴． 答：应安排租用甲种客车5辆，租用乙种客车3辆． （2）①． ∵租用甲种客车辆， ∴租用乙种客车辆． ∴， 解得：． ∴ (元)与 (辆)之间的函数表达式为：． ②∵， ∴随的增大而增大． ∴时，最小．最小值． 答：当甲种客车有5辆时，能保障全体师生都能被送往劳动实践基地且租车费用最少，最少费用是8100元． 39．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． (1)最多能租用多少辆A型号客车? (2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 【答案】(1)最多能租用7辆A型号客车 (2)有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆；方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆 【分析】本题考查了不等式（组）的应用； （1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆．根据题意列出不等式，解不等式，即可求解； （2）根据题意得，结合（1）中的结论，x为整数，且，得出整数解，即可求解． 【详解】（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆． 依题意，得， 解得：． 又∵x为整数， ∴x的最大值为7． 答：最多能租用7辆A型号客车． （2）依题意，得， 解得：． 又∵x为整数，且， ∴或7． ∴有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆； 方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆． 40．（22-23八年级下·四川成都·期中）我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计拟共租8辆车，租金总费用不超过3000元． (1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ (2)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人 (2)学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意得到研学活动的老师和学生的人数． （1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设设租甲型客车m辆，则乙型客车辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总费用=400×租用甲型客车的数量+320×租用乙型客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人， 依题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人； （2）解：设租甲型客车m辆，则乙型客车辆， 依题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴共有4种租车方案． 设租车总费用为w元，则， ∵80＞0， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值． ∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元． 【题型9分配问题】 41．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）若装满一个果篮需要3个苹果，而用m个苹果最多可以装满4个果篮，则m应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等组的应用，根据题意得到不等式组，解题即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， 故选C． 42．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）活动课上，老师将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，则活动小组有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设活动小组有x个，根据将43个苹果分给各小组，每组8个，还有剩余；每组9个，却又不够，列出不等式组求解即可． 【详解】解：设活动小组有x个， 由题意得，， 解得， 又∵x为正整数， ∴， ∴活动小组有5个， 故选：A． 43．（2023·山东滨州·模拟预测）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书共有本数为（    ） A．27 B．24 C．21 D．18 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的应用，设有x人，则书有本，根据：如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可求解． 【详解】解：设有x人，则书有本， 由题意得：， 解得， x为正整数， ， 这些书共有本数为：（本）， 故选C． 44．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设登山的有x人，则矿泉水有瓶，根据若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶可列不等式组求解即可． 【详解】解：设登山人数为x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴登山人数是5人，矿泉水的瓶数是13瓶， 故选A． 45．（22-23八年级上·安徽六安·开学考试）有一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，小朋友人数和玩具件数分别是（    ） A．6；22 B．7；25 C．6；22或7；25 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设小朋友的人数为x人，由每人分3件，则剩余4件得玩具件数为，由若每人分4件，则有一人得到的玩具不足3件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】设小朋友的人数为x人，玩具件数为，由题意可得： ， 解得：， 由于x的是正整数，所以x的取值为6人或7人， 当时，件； 当时，件； ∴小朋友的人数及玩具件数分别为6人、22件或者7人、25件， 故选：C． 【题型10门票问题】 46．（2024六年级下·上海·专题练习）小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票（无任何优惠）．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 购买门票的数量（张 购买总费用（元 成人票 学生票 第一次购物 5 2 380 第二次购物 3 4 340 第三次购物 7 5 310 (1)小明以折扣价购买门票是第 　　次参观； (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案？（要求必需购买成人票） 【答案】(1)三 (2)每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元 (3)有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）由表中数据即可得出结论； （2）设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设每张成人票和学生票都打折，由购买成人票和学生票共15张，结合表中数据列出一元一次方程，解得，再设购买成人票张，则购买学生票张，由题意：购票总费用不超过320元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：小明以折扣价购买门票是第三次参观， 故答案为：三； （2）解：设每张成人票的标准票价为元，每张学生票的标准票价为元， 由题意得：， 解得：， 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元； （3）解：设每张成人票和学生票都打折， 由题意得：， 解得：， 即每张成人票和学生票都打5折， 设购买成人票张，则购买学生票张， 由题意得：， 解得：， 必需购买成人票， 或2， 有2种购票方案：①购买成人票1张，购买学生票14张；②购买成人票2张，则购买学生票13张． 47．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）春节期间全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预订量同比暴涨，某景区的票价为50元，为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠． (1)若小红一家共5人游玩，则选择哪种方案更划算； (2)经计算小明一家选择方案二更划算，则小明一家至少多少人． 【答案】(1)选择方案一更划算 (2)至少9人 【分析】本题考查方案选择问题，不等式的应用，解题的关键是运用等量关系：门票总费用折扣票价人数，根据选择的方案列不等式并求解． （1）分别求出两种方案需要的费用，然后进行比较即可； （2）设小明家有x人去旅游，根据两种方案分别列出代数式，选择方案二更划算则方案二的费用小于方案一的费用，列不等式并求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案一更划算； （2）解：设小明家有x人去旅游，根据题意得： ， 解得：， 小明家去旅游的至少有9人． 48．（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）某景点的门票为每张10元，一次性使用．为了吸引更多的游客，景区在保留原有的售票方法外，还推出“购买个人年票”（个人年票从购票之日起，可供持票人一年内不限次数使用）的售票方法．年票分A，B，C三类，售价及使用方法如下表： 类别 售价 使用时额外费用 A 120元/张 无 B 60元/张 2元/次 C 40元/张 3元/次 （1）若计划在一年内花费80元去该景点游玩，请计算说明哪种购票方法可以获得的游玩次数最多，最多是多少次？ （2）求一年内至少去该景点游玩多少次时，购买A类年票比较合算？ 【答案】（1）购买C类年票可以游玩的次数最多，最多为13次；（2）一年内至少游玩30次时，购买A类年票较为划算 【分析】（1）分别计算出几种方案可以游玩的次数，然后进行比较即可； （2）设一年内游玩x次时，购买A类年票较为划算，然后根据直接每张10元购票的花费为 ，B类别的花费 和C类别的花费 都要比A的高，由此列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直接购买门票可以游玩次，购买B类年票可以游玩次， 购买C类年票可以游玩，即13次， ∴购买C类年票可以游玩的次数最多，为13次； 答：购买C类年票可以游玩的次数最多，为13次； （2）设一年内游玩x次时，购买A类年票较为划算， 则， 解得：， ∴一年内至少游玩30次时，购买A类年票较为划算． 答：一年内至少游玩30次时，购买A类年票较为划算． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出不等式组进行求解． 49．（20-21七年级下·江苏常州·期末）某公园的门票价格如表所示： 购票人数 1～50 51～80 100以上 票价（元/人） 10 8 5 某校七年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付928元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要520元． （1）甲、乙两班分别有多少人？ （2）游园过程中，学校组织全体学生坐船游玩“畅沁湖”．坐小船4人一艘，每艘小船价格20元；坐大船8人一艘，每艘大船价格50元，领队只剩下620元．在保证每艘船都坐满的情况下，请问至少需要租多少艘小船？ 【答案】（1）甲班有56人，乙班有48人；（2）至少需要租6艘小船 【分析】（1）设甲班有x人，乙班有y人，利用总价=单价×数量，结合“如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付928元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要520元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要组m艘小船，则租（13-m）艘大船，利用总租金=每艘船的租金×租船数量，结合总租金不超过620元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人， 依题意得：， 解得：， 答：甲班有56人，乙班有48人． （2）设需要组m艘小船，则租=（13-m）艘大船， 依题意得：20m+50（13-m）≤620， 解得：m≥6． 答：至少需要租6艘小船． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 50．（23-24八年级下·山东青岛·期中）两个家庭暑假结伴自驾到某景区旅游，该景区售出的门票分为成人票和儿童票，小鹏家购买张成人票和张儿童票共需元，小波家购买张成人票和张儿童票共需元． (1)求成人票和儿童票的单价； (2)售票处规定：一次性购票数量达到张，可购买团体票，即每张票均按成人票价的八折出售．若干个家庭组团到该景区旅游，导游收到通知该团成人和儿童共人，估计儿童至人．导游选择哪种购票方式花费较少？ 【答案】(1)成人票的单价是元，儿童票的单价是元； (2)当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少． 【分析】（）设每张成人票x元，每张儿童票y元，列方程组求解即可； （）先求出人按照团体票购票的花费，设参加旅游的儿童有人，列出一元一次不等式，求解的取值范围，即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用． 【详解】（1）设成人票的单价是元，儿童票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：成人票的单价是元，儿童票的单价是元； （2）设该团儿童有人，则该团成人有人，购买团体票所需费用为（元），不购买团体票所需费用为元， 当时，，     ∴当时，购买团体票花费较少； 当时，， ∴当时，两种购票方式花费一样多； 当时，， ∴当时，不购买团体票花费较少， 答：当时，购买团体票花费较少；当时，两种购票方式花费一样多；当时，不购买团体票花费较少． 【题型11古代问题】 51．（2024·广东深圳·二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下： 投入壶内 投入壶耳 落在地上 总分 小龙 3支 4支 3支 27分 小华 3支 3支 4支 24分 (1)求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？ (2)小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？ 【答案】(1)一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分 (2)她至少投入壶内2支箭 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可； （2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可． 【详解】（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据题意得 解得 答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分； （2）设投入壶内m支箭，根据题意可得 解得： ∵m需取整数 答：她至少投入壶内2支箭． 52．（23-24七年级下·江苏南通·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元 (2)A种材质的围棋最多能采购12套 (3)在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用， （1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）令，解得，即可作答． 【详解】（1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套， 根据题意，得， 解得 答：A种材质的围棋最多能采购12套； （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标． 53．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”根据以上信息，判断以下说法是否正确，在题后相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×” 该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．__________ 请你仿照这种形式，写出你认为正确的对歌答案：“__________条打猎去，__________条看羊来，__________条守门口，剩下__________给财主．” (2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】(1)×；；；； (2)“三多”的每群够有条，则“一少”的够有条 【分析】本题考查了不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式和方程组． （1）设“三多”的每群够有条，则“一少”的够有条，根据题意列出不等式，得出，结合为奇数得出取，，，…，，共12个，即可得出答案； （2）设“三多”的每群够有条，则“一少”的够有条，根据题意列出二元二次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设“三多”的每群够有条，则“一少”的够有条， 根据题意得：， 解得：， 为奇数， 取，，，…，，共12个， 故该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种（×）， “97条打猎去，97条看羊来，97条守门口，剩下9给财主， 故答案为：×；；；；； （2）解：设“三多”的每群够有条，则“一少”的够有条， 由题意得：， 解得：， “三多”的每群够有条，则“一少”的够有条． 54．（22-23八年级下·山西晋中·期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． (1)求每副象棋和围棋的价格； (2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元 (2)最多能购买40副围棋 【分析】（1）设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买副围棋，则购买副象棋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每副象棋的价格为元，每副围棋的价格为元． 依题意得， 解得． 答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元． （2）设购买副围棋，则购买副象棋． 依题意得：， 解得． 答：最多能购买40副围棋． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式是解题的关键． 【题型12方案问题】 55．（23-24七年级下·四川巴中·期中）随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示： A型号 B型号 座位数（个/辆） 60 30 (1)每辆A型车和B型车各多少万元？ (2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？ 【答案】(1)每辆型车50万元，每辆型车20万元 (2)共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设每辆型车万元，每辆型车万元，根据“购买型号车6辆，型号14辆，需要资金580万元；购买型号车12辆，型号车8辆，需要资金760万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买型车辆，则购买型车辆，根据资金不高于500万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出有3种购买方案，分别求出各方案的座位数，比较后即可得出结论． 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设每辆型车万元，每辆型车万元， 依题意得：， 解得：． 答：每辆型车50万元，每辆型车20万元． （2）设购买型车辆，则购买型车辆， 依题意得：， 解得：． 又，均为正整数， 可以为1，2，3， 有3种购买方案， 方案1：购买型车1辆，型车19辆，座位数为（个； 方案2：购买型车2辆，型车18辆，座位数为（个； 方案3：购买型车3辆，型车17辆，座位数为（个． ， 方案3的座位数最多． 答：共有3种购买方案，购买型车3辆，型车17辆时，座位数最多，是690个． 56．（2024·四川资阳·一模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共100个，总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)篮球的单价是30元，实心球的单价是20元 (2)最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设篮球的单价是元，实心球的单价是元，根据“购买3个篮球和4个实心球需170元；购买4个篮球和5个实心球需220元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购进个篮球，则购进个实心球，根据“总费用不超过2400元，且篮球个数不少于实心球个数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校购进篮球、实心球共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，实心球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是30元，实心球的单价是20元； （2）解：最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球，理由如下： 设该校购进个篮球，则购进个实心球， 根据题意得：， 解得：． 设该校购进篮球、实心球共花费元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时（个， 最省钱的购买方案为：购进34个篮球，66个实心球． 57．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）今年4月23日是第29个“世界读书日”．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为提高学生的阅读品味，继续推动书香校园建设，现决定购买《红星照耀中国》和《十万个为什么》两种书共50本．已知购买2本《红星照耀中国》和1本《十万个为什么》需100元；购买6本《红星照耀中国》与购买7本《十万个为什么》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《红星照耀中国》的数量不少于所购买《十万个为什么》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元； (2)共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． （1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求出，根据m为正整数求解即可． 【详解】（1）设《红星照耀中国》的单价为x元，《十万个为什么》的单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴《红星照耀中国》的单价为35元，《十万个为什么》的单价为30元； （2）设购买《红星照耀中国》的数量为m本，则购买《十万个为什么》的数量为本， 根据题意得， 解得 ∵m为正整数 ∴当时，；当时，；当时，；当时，； ∴共有4种购买方案：①购买《红星照耀中国》17本，购买《十万个为什么》33本；②购买《红星照耀中国》18本，购买《十万个为什么》32本；③购买《红星照耀中国》19本，购买《十万个为什么》31本；④购买《红星照耀中国》20本，购买《十万个为什么》30本． 58．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某公司要把吨白砂糖运往、两地，现用大、小两种货车共辆，恰好能一次性装完这批白砂糖．已知这两种货车的载质量分别为吨/辆和吨/辆，运往地的运费为大货车元/辆，小货车元/辆；运往地的运费为大货车元/辆，小货车元/辆． (1)求用这两种货车各多少辆； (2)如果安排辆货车前往地，其余货车前往地，且运往地的白砂糖不少于吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费？ 【答案】(1)大货车用辆，小货车用辆 (2)应安排辆大货车和辆小货车前往地，安排辆大车和辆小车前往地，最少运费为元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式（组）的应用、求代数式值， （1）设大货车用辆，小货车用辆，根据“大货车数量小货车数量辆”“大货车装的货物数量小货车装的货物数量吨”作为相等关系列方程组即可求解； （2）设总运费为元，调往地的大货车辆，小货车辆；调往B地的大车辆，小车辆，根据运费的求算方法列出关于运费的关系式，再根据“运往地的白砂糖不少于吨”列关于的不等式求出的取值范围，然后确定的值，再代入关系式中计算运费，最后比较可得答案； 将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出相关的式子是解题的关键． 【详解】（1）解：设大货车用辆，小货车用辆， 依据题意，得：， 解得：， ∴大货车用辆，小货车用辆； （2）设总运费为元，调往地的大车辆，小车辆；调往地的大车辆，小车辆， 则，且， 即：（，为整数）， ∵， ∴， ∴，且为整数， ∴或， 当时，（元）， 当时，（元）， ∵， ∴应安排辆大货车和辆小货车前往地，安排辆大车和辆小车前往地，最少运费为元． 59．（23-24七年级下·广东江门·期中）某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： (3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 【答案】(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨 (2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆 (3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆 【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键． （1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求； （2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案． （3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可． 【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨； （2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆， ， 则有， 解得：， ∵为正整数， ． ∵为正整数， ∴， ∴． ∴满足条件的租车方案一共有3种， 即租用型车4辆，型车9辆， 租用型车9辆，型车6辆， 租用型车14辆，型车3辆． （3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次， 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元． ， ∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆． 60．（23-24七年级下·吉林长春·期中）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用低于40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 【答案】(1)A型180元，B型220元 (2)二种方案：①A型79套，B型121套；②A型80套，B型120套；购买A型80套，B型120套总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是能找准等量关系， （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组求解即可； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组并求解即可． 【详解】（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套 则， 解得 答：购买A型需180元/套，B型需220元/套． （2）设购买A型x套，B型套． 则， 解得 ∴ 又∵x是整数， ∴，80． ∴共有两种方案：①A型79套，B型121套；②A型80套，B型120套； 方案①：费用为：元； 方案②：费用为：40800元； 答：共有2套购买方案：①A型79套，B型121套；②A型80套，B型120套；当购买A型80套，B型120套时，费用最低． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$