专题08 完全平方公式与平方差公式分类训练（8种类型40道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题08完全平方公式与平方差公式分类训练 （8种类型40道） 目录 【题型1运用乘法公式进行计算】 1 【题型2利用完全平方公式确定系数】 2 【题型3利用乘法公式求值】 2 【题型4验证乘法公式】 3 【题型5乘法公式的应用】 5 【题型6乘法公式在几何图形中的应用】 6 【题型7利用乘法公式解新定义问题】 8 【题型8利用乘法公式解规律问题】 9 【题型1运用乘法公式进行计算】 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 2．（23-24八年级下·四川达州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 4．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）利用整式乘法公式简便计算： (1) (2)． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【题型2利用完全平方公式确定系数】 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若是完全平方式，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若是一个关于的完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）已知可以写成一个多项式的平方，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．3 9．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果是一个完全平方式，则 ． 10．（23-24六年级下·山东东营·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【题型3利用乘法公式求值】 11．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）已知，，求和的值． （2）已知，求的值． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知求： (1)的值； (2)的值． 13．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． (1)求的值； (2)求与的值． 14．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，．求的值． 15．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，求下列各式的值． (1) (2) 【题型4验证乘法公式】 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）（1）有若干张长方形和正方形硬纸片（图①），用若干张这样的硬纸片拼成一个新的正方形（图②）． ①用两种不同的方法计算图②中正方形的面积． ②我们知道：同一个正方形的面积是确定的数值．由此，可以得出一个等式：__________． （2）有若干张长方形和正方形硬纸片（图③），请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图，并说明推出的过程． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究． (1)如图，大正方形的边长为，直接写出下列结果． ①中间小正方形的边长； ②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍． (2)当．求的值． (3)若当时，的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示． 18．（23-24七年级下·山东济南·期中）【知识生成】： 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为的长方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式： ． 【问题探究】： （2）①已知，，则的值为 ． ②如图 3，已知，，求的值． 【拓展计算】： （3） 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图1所示，边长为的正方形中存一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______．（用含有，b的式子表示） (2)试利用这个公式化简： 20．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【题型5乘法公式的应用】 21．（2024·河北石家庄·一模）植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排． (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？ (2)当时，这两块花坛一共种植了多少株？ 22．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ (2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 23．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了．老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了．你认为小玲的说法正确吗？为什么？ 24．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 25．（2024九年级·全国·竞赛）体育老师挑选了若干名同学列成8行排练团体操，场外的某同学通过细心观察和思考，发现体操队伍如果再增加或减少120人都能组成正方形的队列，那么体育老师原来挑选了多少名同学排练团体操？ 【题型6乘法公式在几何图形中的应用】 26．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为m、n（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为12． (1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)连接，则四边形的面积是多少？ (3)在图中画出正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形，并连接、，若四边形的面积是18，求m、n的值． 27．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图①，边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形． (1)请你计算图①中阴影部分的面积； (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这个长方形的长与宽分别是多少？面积又是多少？ (3)由图②到图①可以得到什么公式？运用你所得到的公式，计算． 28．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 29．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 30．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 【题型7利用乘法公式解新定义问题】 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）定义，例如 ，则的结果为（     ） A． B． C． D． 32．（16-17七年级下·陕西西安·阶段练习）对于任意有理数a，b，现用★定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）定义：若一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，我们把这个正整数叫做“平方差数”．例如20是“平方差数”，理由：，所以20是“平方差数”． 解决问题： (1)请写出一个小于10的“平方差数”，这个“平方差数”为　　； (2)判断36　　（填“是”或“不是” ） “平方差数”； 探究问题： (3)已知（是正整数，为大于0是常数），是否存在使得为“平方差数”，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果数，都是“平方差数”，请说明也是“平方差数”． 35．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）定义：任意两个数a，b，按规则，扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“吉祥数”． (1)若，，则a，b的“吉祥数”为______； (2)如果，，试说明“吉祥数”c为非负数． 【题型8利用乘法公式解规律问题】 36．（2024·安徽合肥·三模）（1）小明和小军用小石子在沙滩上摆成各种形状，小明摆成如图1所示的一列三角形，则第4个三角形要用 个小石子．小军摆成如图2所示的一列正方形，则第4个正方形要用 个小石子；则第个正方形要用 个小石子． （2）第个三角形要用多少个小石子呢？小明很快想到了解决办法，他把每一个三角形倒过来摆放在三角形右边就形成了平行四边形（如图3），请你帮小明算一算第个三角形要用 个小石子（用含有的单项式表示）． （3）受（2）启发，小明发现相邻两个三角形的小石子数之和等于某一个正方形小石子数．你认为小明的这个发现正确吗？若正确，请直接写出小石子数之和等于第个正方形小石子数的等式；若不正确请说明理由． 37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 38．（2024·安徽合肥·三模）观察下列等式： ①； ； ③； …… 根据上述各题的规律，解决下列问题： (1)完成第⑤个等式：　　　　 (2)请你猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 39．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 40．（23-24七年级下·陕西·期中）在“趣味数学”的社团活动课上，学生小白给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学习的平方差公式之间的有趣关系． 小白同学的具体探究过程如下，请你根据小白同学的探究思路，解决下面的问题： (1)观察下列各式并填空：；；；； ______；______；… (2)通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律； (3)请验证（2）中你所写的规律是否正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08完全平方公式与平方差公式分类训练 （8种类型40道） 目录 【题型1运用乘法公式进行计算】 1 【题型2利用完全平方公式确定系数】 4 【题型3利用乘法公式求值】 5 【题型4验证乘法公式】 9 【题型5乘法公式的应用】 15 【题型6乘法公式在几何图形中的应用】 18 【题型7利用乘法公式解新定义问题】 25 【题型8利用乘法公式解规律问题】 28 【题型1运用乘法公式进行计算】 1．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算：． 【答案】 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 2．（23-24八年级下·四川达州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查运用公式法进行简算： （1）原式先逆用积的乘方运算，再运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式变形为，运用完全平方公式进行计算即可 【详解】（1）解： （2）解： 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）利用整式乘法公式简便计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了整式乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式得，再运用平方差公式进行展开，即可作答． （2）先整理原式得，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)40401 【分析】本题考查的是完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的变形是解题的关键． （1）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （2）先把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型2利用完全平方公式确定系数】 6．（23-24八年级下·全国·假期作业）若是完全平方式，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选：D． 7．（23-24七年级下·湖南永州·期中）若是一个关于的完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 8．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）已知可以写成一个多项式的平方，则的值为（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或3， 故选：C． 9．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如果是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ， ∴， 故答案为：． 10．（23-24六年级下·山东东营·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解作答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3利用乘法公式求值】 11．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）已知，，求和的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查代数式求值， （1）运用完全平方公式对原式进行变形，再将，的值代入即可得解； （2）将，左右两边分别平方，即可得解； 解题的关键运用完全平方公式和等式两边平方法来计算． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； ， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)99 (2)41 【分析】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解此题的关键是要了解与之间的联系． （1）先进行变形，再代入求值即可； （2）先进行变形，再代入求值即可． 【详解】（1），， ， ， ； （2） ． 13．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． (1)求的值； (2)求与的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】该题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，解答的关键是掌握对应的运算法则． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）根据结合即可算出；同理根据算出，再根据即可计算； 【详解】（1）∵， ∴． 又x为正实数， ∴； （2）． ， ∵ ∴， 解得：． 14．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知，．求的值． 【答案】80 【分析】本题考查了完全平方公式，把转化为即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 15．（23-24七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)24 (2)882 【分析】本题考查利用完全平方公式求值．掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据，再整体代入求值即可； （2）先根据完全平方公式求出，再根据，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 【题型4验证乘法公式】 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）（1）有若干张长方形和正方形硬纸片（图①），用若干张这样的硬纸片拼成一个新的正方形（图②）． ①用两种不同的方法计算图②中正方形的面积． ②我们知道：同一个正方形的面积是确定的数值．由此，可以得出一个等式：__________． （2）有若干张长方形和正方形硬纸片（图③），请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图，并说明推出的过程． 【答案】（1）①正方形的面积为或；②；（2）见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积： （1）①直接利用正方形的面积和分割法两种方法写出大正方形的面积即可；②令（1）中的两个代数式相等即可； （2）根据完全平方公式：，拼出一个图形即可． 【详解】解：（1）①大正方形的边长为：， ∴大正方形的面积为：； 用分割法可得：大正方形的面积等于； ②； （2）拼图如图： 由图可知：大正方形的面积可表示为：，也可以表示为：， ∴． 17．（2024七年级下·浙江·专题练习）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究． (1)如图，大正方形的边长为，直接写出下列结果． ①中间小正方形的边长； ②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍． (2)当．求的值． (3)若当时，的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示． 【答案】(1)①；② (2)5 (3) 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式等知识点，灵活掌握相关计算方法是正确解答的前提． （1）①根据图形直接列式计算即可；②用图形中面积之间的关系即可解得； （2）利用（1）中的结论可得，然后将已知条件代入计算即可； （3）用，然后将已知条件代入计算即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，中间小正方形的边长为； ②大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个小长方形的长为a，宽为b，因此面积为， 所以，即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍，即． （2）解：当时， ∵，即，即， ∴． （3）解：由（1）可知，， ∴，即． 18．（23-24七年级下·山东济南·期中）【知识生成】： 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为的长方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式： ． 【问题探究】： （2）①已知，，则的值为 ． ②如图 3，已知，，求的值． 【拓展计算】： （3） 【答案】（1）；（2）①12；②7；（3） 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的几何背景是解此题的关键． （1）用两种方法用代数式表示图、图中阴影部分的面积以及图中各个部分的面积与总面积之间的关系即可； （2）①利用平方差公式代入计算即可；②利用完全平方公式的变形计算即可得出答案； （3）利用平方差公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）图中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故； 图整体上时边长为的正方形，因此面积为，组成图的四个部分的面积和为， 故有； （2）①，， ； ② 解：由题意可得， ∴； （3）应用乘法公式得： ． 19．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）如图1所示，边长为的正方形中存一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______．（用含有，b的式子表示） (2)试利用这个公式化简： 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何应用，平方差公式的应用，熟练的推导平方差公式与运用平方差公式解决问题是关键． （1）图①阴影部分的面积等于大的正方形的面积减去小的正方形面积，图②阴影部分的面积为长方形的面积，从而可得答案； （2）把式子前面乘以，再利用平方差公式依次从左至右的进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即， 图2中的阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，即， ∵图1和图2中的阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：；；； （2）解： ． 20．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 【答案】(1)B (2)①；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积： （1）等积法列出等式即可； （2）①利用（1）中的等式，进行求解即可； ②算式乘以前面乘以，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积为； 故选B． （2）①由（1）可知：， ∵， ∴； ② ‘’ ． 【题型5乘法公式的应用】 21．（2024·河北石家庄·一模）植物园工作人员选用了一块长方形和一块正方形花坛进行新品种花卉的培育实验．其中长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排． (1)长方形花坛比正方形花坛多种植多少株？ (2)当时，这两块花坛一共种植了多少株？ 【答案】(1)长方形花坛比正方形花坛多种植株 (2)这两块花坛一共种植了76株 【分析】本题主要考查了整式运算以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据“长方形花坛每排种植株，种植了排，正方形花坛每排种植株，种植了排”列式并求解即可； （2）根据题意可得共种植了株，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 答：长方形花坛比正方形花坛多种植株． （2）由题意得：， 当时，原式（株）． 答：这两块花坛一共种植了76株． 22．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，小长方形实验田每排种植株火龙果幼苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ (2)当，时，大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少株火龙果幼苗？ 【答案】(1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗； (2)大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，整式的求值，理解题意正确列出式子是解题的关键． （1）根据题意列出，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）把，代入（1）中的结果求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植株火龙果幼苗； （2）解：当，时， ， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植155株火龙果幼苗． 23．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）小玲是某校七年级的学生，她家有一块正方形的菜地，因为修高铁，把这块菜地的东边缩短了．老村长建议在这块菜地（缩短后）的南边加长，小玲的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而小玲却提出了反对意见，认为这样她家这块菜地的面积减少了．你认为小玲的说法正确吗？为什么？ 【答案】小玲的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用；设正方形的菜地的边长为，根据正方形的菜地面积减去长方形的菜地面积，即可求解． 【详解】解：小玲的说法正确，理由如下： 设正方形的菜地的边长为，依题意， ∴小玲的说法正确，她家这块菜地的面积减少了． 24．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种植基地有大、小两块长方形实验田，大长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，小长方形实验田每排种植棵樱桃树苗，种植了排，其中． (1)大长方形实验田比小长方形实验田多种植多少棵樱桃树苗？ (2)当，时，两块试验田一共种植多少棵樱桃树苗？ 【答案】(1)棵 (2)268棵 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方差公式、整式的求值，理解题意，正确列出式子是解此题的关键． （1）根据题意列出，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据题意列出，然后根据整式的混合运算法则计算即可化简，再代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， （棵）， 即大长方形实验田比小长方形实验田多种植棵樱桃树苗． （2）解： （棵）， 当，时，（棵）， 即两块试验田一共种植268棵樱桃树苗． 25．（2024九年级·全国·竞赛）体育老师挑选了若干名同学列成8行排练团体操，场外的某同学通过细心观察和思考，发现体操队伍如果再增加或减少120人都能组成正方形的队列，那么体育老师原来挑选了多少名同学排练团体操？ 【答案】904名或136名 【分析】本题主要考查了平方差公式、二元一次方程的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设体育老师原来挑选了名同学排练团体操，根据题意列出方程组，结合平方差公式可得，进而可得方程组或，求解即可获得答案． 【详解】解：设体育老师原来挑选了名同学排练团体操， 则有， 其中都为正整数，且， ∴，即， 由①、②可知，都能被8整除， ∴都能被4整除，从而都能被4整除， ∴或， 解得或， ∴或， ∴或． 答：体育老师原来挑选了904名或136名同学排练团体操． 【题型6乘法公式在几何图形中的应用】 26．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为m、n（），A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为12． (1)用含有m、n的代数式，表示图中阴影部分的面积； (2)连接，则四边形的面积是多少？ (3)在图中画出正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形，并连接、，若四边形的面积是18，求m、n的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方差公式与图形面积、平方根解方程、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）利用两个正方形的面积之和减去三个直角三角形的面积，整式的运算法则计算即可得； （2）利用梯形的面积公式，平方差公式计算即可得； （3）先利用梯形的面积公式、完全平方公式、平方根解方程可得，再求出，然后解二元一次方程组即可得． 【详解】（1）解：连接， 图中阴影部分的面积为 ． 答：图中阴影部分的面积为． （2）解：如图，连接、， ∵正方形和正方形的面积之差为 12， ， 则四边形的面积是， 答：四边形的面积是6． （3）解：如图， ∵四边形的面积是， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 又， ， ， 联立， 解得． 27．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图①，边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形． (1)请你计算图①中阴影部分的面积； (2)小明将阴影部分拼成了一个长方形，如图②，这个长方形的长与宽分别是多少？面积又是多少？ (3)由图②到图①可以得到什么公式？运用你所得到的公式，计算． 【答案】(1) (2)长是，宽是，面积是 (3)； 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键，属于基础题． （1）用大正方形面积减去4个小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）根据图形得出长方形的长和宽分别为，，由此可计算出面积即可； （3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为：． （2）解：图②中长方形的长是，宽是， 面积是． （3）由图②到图①可以得到公式：； ． 28．（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，弄清题意是解本题的关键． （1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时，原式（平方米）． 答：绿化面积是29平方米． 29．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 30．（22-23七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，某校一块边长为的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为的正方形．    (1)分别求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 【答案】(1)都为 (2) 【分析】（1）求出七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的边长，利用面积公式计算即可； （2）求出两个班级的面积，求差即可． 【详解】（1）解：因为， 所以七年级（2）班、七年级（3）班的清洁区的面积均为． （2）解：因为， 所以七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练掌握乘法公式进行计算． 【题型7利用乘法公式解新定义问题】 31．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）定义，例如 ，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了对新运算的理解，根据运算的定义，对式子进行化简即可． 【详解】根据运算的定义可得： 故答案为：D． 32．（16-17七年级下·陕西西安·阶段练习）对于任意有理数a，b，现用★定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新运算，可以对代数式化简，本题得以解决． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的法则，准确计算． 33．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）定义：若一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，我们把这个正整数叫做“平方差数”．例如20是“平方差数”，理由：，所以20是“平方差数”． 解决问题： (1)请写出一个小于10的“平方差数”，这个“平方差数”为　　； (2)判断36　　（填“是”或“不是” ） “平方差数”； 探究问题： (3)已知（是正整数，为大于0是常数），是否存在使得为“平方差数”，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)如果数，都是“平方差数”，请说明也是“平方差数”． 【答案】(1)9； (2)是； (3)不存在，见解析； (4)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据，即可得解； （2）利用2即可判断； （3）设，由，得，根据是常数，上述等式不成立，即可证明； （4）设，，则，从而可判断． 【详解】（1）解： ， 是平方差数， 故本题答案为：9； （2）解：， 是平方差数， 故本题答案为：是； （3）解：设， ， ， ， 是常数， 上述等式不成立， 不是平方差数， 故不存在使得为“平方差数”； （4），都是平方差数， 设，， ， 故也是平方差数． 35．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）定义：任意两个数a，b，按规则，扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“吉祥数”． (1)若，，则a，b的“吉祥数”为______； (2)如果，，试说明“吉祥数”c为非负数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）利用“吉祥数”的运算法则和有理数的混合运算求解即可； （2）利用“吉祥数”的运算法则和整式的混合运算法则，结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当，时， a，b的“吉祥数”， 故答案为： （2）解：根据题意，当，， “吉祥数” ， ∵， ∴，即“吉祥数”c为非负数． 【题型8利用乘法公式解规律问题】 36．（2024·安徽合肥·三模）（1）小明和小军用小石子在沙滩上摆成各种形状，小明摆成如图1所示的一列三角形，则第4个三角形要用 个小石子．小军摆成如图2所示的一列正方形，则第4个正方形要用 个小石子；则第个正方形要用 个小石子． （2）第个三角形要用多少个小石子呢？小明很快想到了解决办法，他把每一个三角形倒过来摆放在三角形右边就形成了平行四边形（如图3），请你帮小明算一算第个三角形要用 个小石子（用含有的单项式表示）． （3）受（2）启发，小明发现相邻两个三角形的小石子数之和等于某一个正方形小石子数．你认为小明的这个发现正确吗？若正确，请直接写出小石子数之和等于第个正方形小石子数的等式；若不正确请说明理由． 【答案】（1）15，25；；（2）；（3）小明的这个发现正确，第个等式： 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，根据图形总结出一般变化规律． （1）根据图形变化规律即可解答； （2） 总结出平行四边形的变化规律，再除以2，即可得出三角形的变化规律； （3）先求出第个三角形和第个三角形的小石子数之和，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得： 第4个三角形要用个小石子， 第4个正方形要用个小石子， 第个正方形要用个小石子， 故答案为：15，25；； （2）由图可知， 第一个平行四边形：个小石子， 第二个平行四边形：个小石子， 第三个平行四边形：个小石子， …… 第n个平行四边形：个小石子， ∴第个三角形要用个小石子， 故答案为：； （3）由（2）可知： 第个三角形要用个小石子， 则第个三角形要用个小石子， 第个三角形和第个三角形的小石子数之和为， ∵第个正方形要用个小石子， ∴． 37．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据前4个等式，即可写出第5个等式； （2）根据上述等式，可以得出规律：第个等式为：；再证明等式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …， ∴； （2）解：根据上述等式，可以得出规律： 第个等式为：； 证明：左边， 右边， 左边右边， 故成立． 38．（2024·安徽合肥·三模）观察下列等式： ①； ； ③； …… 根据上述各题的规律，解决下列问题： (1)完成第⑤个等式：　　　　 (2)请你猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)， (2)，验证见解析 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变是解题关键． （1）根据题目提供的算式直接写出答案即可； （2）写出第个算式然后展开验证即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：，； （2）解：猜想：第个等式为：， 验证：左边，右边， 所以左边右边， 所以． 39．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．（23-24七年级下·陕西·期中）在“趣味数学”的社团活动课上，学生小白给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学习的平方差公式之间的有趣关系． 小白同学的具体探究过程如下，请你根据小白同学的探究思路，解决下面的问题： (1)观察下列各式并填空：；；；； ______；______；… (2)通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律； (3)请验证（2）中你所写的规律是否正确． 【答案】(1)，6 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律、平方差公式等知识点，根据已知等式归纳出规律是解本题的关键． （1）观察算式，发现规律即可解答； （2）观察算式，归纳总结得到一般性规律并用字母n表示出来即可； （3）利用平方差公式证明即可． 【详解】（1）解：观察下列算式： ； ； ； ； 故答案为：，6； （2）解：通过观察归纳，猜想第n个式子为； （3）解：能．证明如下， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$