专题09 因式分解分类训练（10种类型50道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题09因式分解分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1利用因式分解求值】 1 【题型2利用因式分解简便计算】 2 【题型3利用因式分解化简求值】 3 【题型4利用因式分解判断整除】 3 【题型5利用因式分解判断三角形的形状】 4 【题型6利用因式分解比较大小】 6 【题型7利用因式分解判断正负】 8 【题型8利用因式分解解新定义问题】 9 【题型9利用因式分解探究规律】 10 【题型10因式分解在阅读理解中的应用】 12 【题型1利用因式分解求值】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 3．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 4．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 5．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 【题型2利用因式分解简便计算】 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【题型3利用因式分解化简求值】 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）（1）已知，，求的值． （2）化简求值：，其中，． 12．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，，求的值． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）因式分解：； （2）已知，，求的值． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，用因式分解法求的值． 15．（23-24八年级下·广东清远·期中）先把因式分解，然后计算求值，其中，． 【题型4利用因式分解判断整除】 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）若为任意整数，则的值不一定能（    ） A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除 18．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 19．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除 20．（21-22七年级下·全国·单元测试）（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【题型5利用因式分解判断三角形的形状】 21．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读材料： 常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法． 根据以上材料，解答下列问题： (1)按上述方法因式分解： ①； ②； (2)已知， ，为的三边，且，试判断的形状并说明理由． 22．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 23．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解： 小亮： = = = 小颖： = ． 请你在他们解法的启发下，解决下面问题； (1)因式分解； (2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 24．（23-24八年级上·四川乐山·期末）我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫做配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个的多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．例如，分解因式：． 解：． 请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：①，②； (2)求多项式的最小值； (3)已知a、b、c是的三边长，且满足．判断的形状． 25．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明：； (2)分解因式：； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【题型6利用因式分解比较大小】 26．（23-24七年级下·广西来宾·期中）阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． (3)比较代数式：与的大小． 28．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：________； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；    ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 29．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，长方形的长为x，宽为y，且．设正方形的面积为，长方形的面积为． (1)用含x、y的代数式表示正方形的边长__________； (2)用含x、y的代数式表示，并比较与的大小． 30．（22-23六年级下·山东烟台·期中）代数推理： 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ；   (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【题型7利用因式分解判断正负】 31．（23-24九年级下·河北沧州·期中）当，，且时，的值（    ） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 32．（21-22九年级·浙江·自主招生）已知、、是一个三角形的三边，则的值是（    ） A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负 33．（21-22九年级下·浙江·期末）设x，y，，，，，则a，b，c三个数（    ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 34．（23-24八年级下·山东威海·期中）不论x，y取何实数，代数式总是（　　） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 35．（2024八年级·全国·竞赛）已知是实数，，下列说法正确的是（    ） A．三个数中，至少有一个数是正数 B．三个数中，至少有一个数是0 C．三个数中，至少有一个数是负数 D．三个数必为两正一负或两负一正 【题型8利用因式分解解新定义问题】 36．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）定义，例如 ，则的结果为（     ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）定义，，给出下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 38．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）设a、b是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是（    ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 39．（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则是，依此法则计算的结果为（    ） A． B．0 C．1 D．2 40．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【题型9利用因式分解探究规律】 41．（2024·安徽滁州·三模）观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子    第3个式子   第4个式子   按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：_______； (2)写出第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 42．（2024·内蒙古赤峰·三模）智慧小组在计算个位是5的数的平方时，发现了规律： 设是一个两位数，其中a是十位上的数字（），5是个位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． (1)尝试填空： ①当时，； ②当时，； ③当时，______；… (2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与的差为2525，求a的值． 43．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 44．（2024·安徽合肥·三模）（1）小明和小军用小石子在沙滩上摆成各种形状，小明摆成如图1所示的一列三角形，则第4个三角形要用 个小石子．小军摆成如图2所示的一列正方形，则第4个正方形要用 个小石子；则第个正方形要用 个小石子． （2）第个三角形要用多少个小石子呢？小明很快想到了解决办法，他把每一个三角形倒过来摆放在三角形右边就形成了平行四边形（如图3），请你帮小明算一算第个三角形要用 个小石子（用含有的单项式表示）． （3）受（2）启发，小明发现相邻两个三角形的小石子数之和等于某一个正方形小石子数．你认为小明的这个发现正确吗？若正确，请直接写出小石子数之和等于第个正方形小石子数的等式；若不正确请说明理由． 45．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【题型10因式分解在阅读理解中的应用】 46．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 47．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______； (2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值； (3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值． 48．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 49．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）仔细阅读下面的例题，仿照例题解答“问题”，阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因分解的过程． 解：设， 原式（第一步）        （第二步）          （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说．小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后 结果 ： (3)请你用换元法对多项式进行因式分解 50．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请阅读并解答下列问题： 若满足，求的值． 解：设，，则， ， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若，，则的值为__________； （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，则一块三角板的面积为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09因式分解分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1利用因式分解求值】 1 【题型2利用因式分解简便计算】 3 【题型3利用因式分解化简求值】 7 【题型4利用因式分解判断整除】 9 【题型5利用因式分解判断三角形的形状】 11 【题型6利用因式分解比较大小】 18 【题型7利用因式分解判断正负】 24 【题型8利用因式分解解新定义问题】 27 【题型9利用因式分解探究规律】 30 【题型10因式分解在阅读理解中的应用】 36 【题型1利用因式分解求值】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）已知，，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用提公因式法化简后代值求解即可； （2）利用完全公平公式化简后代值求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用；由想到设原式，然后利用多项式相等的知识进行解题． 【详解】解：， 设原式， 即， ，， ，， ． 答：的值为6． 3．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，代数式提因式得到，再用平方差公式即可得出，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 4．（23-24八年级下·山东济南·期中）先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期中）已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 【答案】， 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 先计算，再比较即可得到答案 【详解】解：∵ ∴ 解得：． 【题型2利用因式分解简便计算】 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）利用因式分解的方法简算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3)40000 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式进行求解，再提取公因数计算即可； （2）提公因数再进行计算； （3）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1） （2） （3） 8．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提公因式后再进行计算即可； （2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；、 （3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解进行计算是解题的关键． 10．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 【题型3利用因式分解化简求值】 11．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）（1）已知，，求的值． （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1）10；（2）， 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，整式的化简求值： （1）把所求式子因式分解为，据此利用整体代入法求解即可； （2）先根据多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2） ， ，时，原式． 12．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）因式分解：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），36 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）利用平方差公式求解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵，， ∴原式． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，用因式分解法求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是因式分解和整体代入法求值，先将原式提公因式进行因式分解，最后整体代入求解． 【详解】解： ∵， ∴原式 15．（23-24八年级下·广东清远·期中）先把因式分解，然后计算求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，先利用平方差公式分解因式，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型4利用因式分解判断整除】 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 17．（23-24八年级上·河北保定·期末）若为任意整数，则的值不一定能（    ） A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．将原式分解因式为，然后进行判断即可． 【详解】解： ， ∴的值一定能被2、4、8整除，不一定能被6整除． 故选：C． 18．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【答案】D 【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除. 【详解】 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 19．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被9整除 B．被a整除 C．被整除 D．被整除 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式分解，即可做出判断，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：原式， 则对于任何整数a，多项式都能被整除． 故选：C． 20．（21-22七年级下·全国·单元测试）（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【答案】（1）能被整除，能被整除，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，据此即可得到答案； （2）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，再根据、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，即可说明结论． 【详解】解：（1）能被整除，能被整除，理由如下： ， 能被整除，能被整除； （2）， 为正整数， 、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数， 当为正整数时，的值必为的倍数． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是利用因式分解把复杂运算简单化或解决整除问题． 【题型5利用因式分解判断三角形的形状】 21．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）阅读材料： 常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法． 根据以上材料，解答下列问题： (1)按上述方法因式分解： ①； ②； (2)已知， ，为的三边，且，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)是等腰三角形，理由见解析； 【分析】（1）①本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；②本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案； （2）本题考查因式分解的应用，将因式分解即可得到积等于0，即可得到答案； 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ， ， ， ， ∵， ，为的三边， ，，， ， ，即， 是等腰三角形． 22．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 23．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解： 小亮： = = = 小颖： = ． 请你在他们解法的启发下，解决下面问题； (1)因式分解； (2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（）运用分组分解法直接作答即可； （）运用分组分解法判断出，进而得到结论； 本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵，，是的三边， ∴， ∴为等腰三角形． 24．（23-24八年级上·四川乐山·期末）我们把二次三项式恒等变形为（h、k为常数）的形式叫做配方．巧妙地运用配方法不仅可以将一个的多项式进行因式分解，也能求一个二次三项式的最值，还能结合非负数的意义来解决一些实际问题．例如，分解因式：． 解：． 请用配方法解答下列问题： (1)分解因式：①，②； (2)求多项式的最小值； (3)已知a、b、c是的三边长，且满足．判断的形状． 【答案】(1)①；② (2) (3)等边三角形 【分析】本题主要考查因式分解的应用，关键是配方法的灵活运用． （1）根据题意进行分解即可； （2）分解因式再根据平方的非负性即可得到答案； （3）分解因式进行判定． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：原式 ， ， 故多项式的最小值为； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 即的形状为等边三角形． 25．（23-24八年级上·广西玉林·期末）阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明：； (2)分解因式：； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的形状是等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，正确进行因式分解． （1）仿照题干信息进行证明即可； （2）利用分组分解法进行分解因式即可； （3）根据，得出，分解因式得出，即可得出，从而可以判断三角形的形状． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， 等式两边同乘以2， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形． 【题型6利用因式分解比较大小】 26．（23-24七年级下·广西来宾·期中）阅读与思考 我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ． 请使用分组分解法解决以下问题： (1)分解因式：． (2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查因式分解分组分解法，理解题意并掌握分组分解法是解题的关键． （1）运用题中所给定的方法即分组分解法因式分解即可； （2）运用分组分解法可得，再根据推导，从而得解． 【详解】（1）解： （2）因为 所以 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以 所以． 27．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵，∴，∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)探究：； (2)求的最小值． (3)比较代数式：与的大小． 【答案】(1)，1 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的性质极其应用，掌握其非负性是解题的关键 （1）根据配方法的基本步骤配方计算即可； （2）配方法计算即可． （3）移项配方法，解答即可． 【详解】（1）． 故答案为：，1． （2）， ∵， ∴当即时，原式有最小值． （3）， ∵， ∴， ∴． 28．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：________； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；    ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 【答案】(1)， (2)的最小值为 (3)①，；② 【分析】（1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）根据题意分组配方，即可求解； （3）①根据长方形，正方形的面积的计算方法即可求解；②运用的结果的正负来判断大小． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到新长方形，长方形的面积为， ∴， 正方形的边长增加，得到新正方形，正方形的面积为， ∴； ②， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解图示，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． 29．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，长方形的长为x，宽为y，且．设正方形的面积为，长方形的面积为． (1)用含x、y的代数式表示正方形的边长__________； (2)用含x、y的代数式表示，并比较与的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先表示出长方形的周长为，再除以4即可得出答案； （2）根据正方形和长方形的面积公式可得，进而可作出判断. 【详解】（1）∵长方形的长为x，宽为y， ∴长方形的周长， ∵用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形， ∴正方形的周长， ∴正方形的边长； 故答案为：； （2）， ∵， ∴， ∴，即. 【点睛】本题考查了整式的运算，列出需要的代数式、正确计算是解题的关键. 30．（22-23六年级下·山东烟台·期中）代数推理： 阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： ；   (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36，6 (2)，最小值为 (3)，理由见解析 【分析】（1） 根据完全平方公式解答即可； （2）根据材料给出的代数推理进行推理即可； （3）先列出和的代数式，然后用，再通过完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）由完全平方公式可得， 故答案为：36；6； （2） ， 无论x取何值，总是非负数， 即 ， ∴， ∴的最小值为； （3）由题意得：， ， ∴ ， 无论a取何值，总是非负数，即， ∴ ， ∴的最小值为11， ∴， ∴． 【点睛】本题考查我完全平方公式的应用，读懂材料，根据材料合理利用完全进行推理是解题的关键． 【题型7利用因式分解判断正负】 31．（23-24九年级下·河北沧州·期中）当，，且时，的值（    ） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，把原式变形后利用平方差公式因式分解得到，然后分别判断出，，即可得出结论． 【详解】解∶ ， ∵，，且， ∴，， ∴，即， ∴总是为正， 故选∶A． 32．（21-22九年级·浙江·自主招生）已知、、是一个三角形的三边，则的值是（    ） A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负 【答案】B 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将代数式因式分解即可求解． 【详解】解： ∵是一个三角形的三边， ∴， ∴原式 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 33．（21-22九年级下·浙江·期末）设x，y，，，，，则a，b，c三个数（    ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方的非负性，根据得到，将三个式子相加求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵x，y，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴至少有一个不小于4， 故选：D． 34．（23-24八年级下·山东威海·期中）不论x，y取何实数，代数式总是（　　） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式把原式变形为，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴总是正数， 故选：B． 35．（2024八年级·全国·竞赛）已知是实数，，下列说法正确的是（    ） A．三个数中，至少有一个数是正数 B．三个数中，至少有一个数是0 C．三个数中，至少有一个数是负数 D．三个数必为两正一负或两负一正 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方式，将相加，配方后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴三个数中，至少有一个数是正数， 故选：A． 【题型8利用因式分解解新定义问题】 36．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）定义，例如 ，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了对新运算的理解，根据运算的定义，对式子进行化简即可． 【详解】根据运算的定义可得： 故答案为：D． 37．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）定义，，给出下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则． 根据完全平方公式，得，，逐项判断即可． 【详解】解：由完全平方公式，得，， 若，则，，则； 若，则，，所以和不一定相等，故A错误，B正确； 若，则， 又因为，， 所以，所以；故C正确，不符合题意； 若，则或，则，故D正确，不符合题意． 故选A． 38．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）设a、b是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ①；②；③；④． 其中正确推断的序号是（    ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可． 【详解】解：①，，∴，故①正确； ②，，∴，故②正确； ③，，∴，故③错误； ④，，∴，故④错误． 故选：B． 39．（23-24七年级下·贵州铜仁·阶段练习）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则是，依此法则计算的结果为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算，先根据题意列出算式，然后再化简即可．熟练掌握相关运算法则和公式是解本题的关键． 【详解】根据题意得：． 故选：A． 40．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案． 【详解】解：∵， 则，故正确； 则， ；故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 【题型9利用因式分解探究规律】 41．（2024·安徽滁州·三模）观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子    第3个式子   第4个式子   按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：_______； (2)写出第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）第1个式子： ，左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第2个式子   左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第3个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第4个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 于是第5个式子：左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是，写出等式即可． （2）根据规律猜想出等式，后用完全平方公式展开计算即可． 本题考查了整式中的规律，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）第1个式子： ，左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第2个式子   左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第3个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第4个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 于是第5个式子：左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 故第5个式子是， 故答案为：． （2）根据题意，得第n个式子是． 故答案为：． 证明：等式的左边； 等式的右边 ， 左边=右边， 故． 42．（2024·内蒙古赤峰·三模）智慧小组在计算个位是5的数的平方时，发现了规律： 设是一个两位数，其中a是十位上的数字（），5是个位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． (1)尝试填空： ①当时，； ②当时，； ③当时，______；… (2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与的差为2525，求a的值． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算，从而可得答案； （3）由与的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时， （2）解：相等，理由如下： ， ； （3）与的差为2525， 整理得： 即 解得： ， ． 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 43．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）观察下面的算式： ， ， ， ， …． (1)请你写出1个与上述算式具有相同规律的算式； (2)用字母表示数，写出上述算式反映的规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据前4个等式，即可写出第5个等式； （2）根据上述等式，可以得出规律：第个等式为：；再证明等式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …， ∴； （2）解：根据上述等式，可以得出规律： 第个等式为：； 证明：左边， 右边， 左边右边， 故成立． 44．（2024·安徽合肥·三模）（1）小明和小军用小石子在沙滩上摆成各种形状，小明摆成如图1所示的一列三角形，则第4个三角形要用 个小石子．小军摆成如图2所示的一列正方形，则第4个正方形要用 个小石子；则第个正方形要用 个小石子． （2）第个三角形要用多少个小石子呢？小明很快想到了解决办法，他把每一个三角形倒过来摆放在三角形右边就形成了平行四边形（如图3），请你帮小明算一算第个三角形要用 个小石子（用含有的单项式表示）． （3）受（2）启发，小明发现相邻两个三角形的小石子数之和等于某一个正方形小石子数．你认为小明的这个发现正确吗？若正确，请直接写出小石子数之和等于第个正方形小石子数的等式；若不正确请说明理由． 【答案】（1）15，25；；（2）；（3）小明的这个发现正确，第个等式： 【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，根据图形总结出一般变化规律． （1）根据图形变化规律即可解答； （2） 总结出平行四边形的变化规律，再除以2，即可得出三角形的变化规律； （3）先求出第个三角形和第个三角形的小石子数之和，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可得： 第4个三角形要用个小石子， 第4个正方形要用个小石子， 第个正方形要用个小石子， 故答案为：15，25；； （2）由图可知， 第一个平行四边形：个小石子， 第二个平行四边形：个小石子， 第三个平行四边形：个小石子， …… 第n个平行四边形：个小石子， ∴第个三角形要用个小石子， 故答案为：； （3）由（2）可知： 第个三角形要用个小石子， 则第个三角形要用个小石子， 第个三角形和第个三角形的小石子数之和为， ∵第个正方形要用个小石子， ∴． 45．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型10因式分解在阅读理解中的应用】 46．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： 【应用新知】 （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； 【拓展提升】 （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）将看成一个整体，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 47．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______； (2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值； (3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用: （1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵53是“完美数”， ∴； 故答案为： （2）解：∵ ， ∵， ∴ ∴； （3）解： ∵S为“完美数”， ∴ ∴． 48．（23-24七年级下·四川成都·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式，以及几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． （1）根据题目所给的方法，利用完全平方公式，求出x和y的值，即可求解； （2）根据，得出，将代入，得 ，利用题目所给方法和完全平方公式，求出b和c的值，再得出a的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， ∴， 解得，则， ∴． 49．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）仔细阅读下面的例题，仿照例题解答“问题”，阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因分解的过程． 解：设， 原式（第一步）        （第二步）          （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ） A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 (2)老师说．小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后 结果 ： (3)请你用换元法对多项式进行因式分解 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解-换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式的特点即可判定； （2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：根据第二步到第三步的因式分解可知是运用了完全公式法． 故选C． （2）解：原式． 故答案为． （3）解：设， ． 50．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请阅读并解答下列问题： 若满足，求的值． 解：设，，则， ， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若，，则的值为__________； （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，则一块三角板的面积为______． 【答案】（1）①20；②10；（2）22） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到a、b的和，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：20． ②令，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）设三角板的两条直角边，则一块三角板的面积为， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴一块三角板的面积是22． 故答案为：22 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$