专题10 分式及其基本性质分类训练（10种类型50道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题10分式及其基本性质分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1分式的识别】 1 【题型2分式有意义的条件】 2 【题型3分式值为零的条件】 2 【题型4分式的求值】 3 【题型5求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 4 【题型6求分式值为整数时未知数的整数值】 5 【题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6 【题型8将分式的分子分母各项系数化为整数】 8 【题型9利用分式的基本性质求值】 9 【题型10分式的规律性问题】 10 【题型1分式的识别】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在，，，中，分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）代数式，，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：，，，，，，只是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）在式子、、、、、、、中，分式的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2分式有意义的条件】 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 7．（22-23八年级下·辽宁阜新·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 8．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）等式成立的条件是 ． 9．（20-21八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）要使分式有意义，则x的取值范围为 ． 10．（19-20八年级下·河南新乡·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【题型3分式值为零的条件】 11．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 12．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 13．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）当 时，分式的值为零． 14．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ． 15．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ． 【题型4分式的求值】 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）已经，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（2024·甘肃天水·一模）已知∶，求分式的值． 18．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：，求代数式的值． 19．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 20．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【题型5求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 21．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 23．（22-23八年级下·江苏·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 24．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 25．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 【题型6求分式值为整数时未知数的整数值】 26．（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 28．（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 29．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 30．（21-22八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化】 31．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 33．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知等式 (1)①用含的代数式表示； ②若均为正整数，求的值； (2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由． 34．（21-22八年级下·山东济南·期中）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． (1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质； (2)参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 35．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)括号内应填入 ； (2)括号内应填入 ； (3)括号内应填入 ． 【题型8将分式的分子分母各项系数化为整数】 36．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 37．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 38．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 40．（2023七年级下·全国·专题练习）化简：（1）； （2）． 【题型9利用分式的基本性质求值】 41．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 42．（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 43．（2023·广西贵港·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 44．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 45．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【题型10分式的规律性问题】 46．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 47．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 48．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 49．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 50．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10分式及其基本性质分类训练 （10种类型50道） 目录 【题型1分式的识别】 1 【题型2分式有意义的条件】 3 【题型3分式值为零的条件】 4 【题型4分式的求值】 6 【题型5求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 9 【题型6求分式值为整数时未知数的整数值】 15 【题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化】 18 【题型8将分式的分子分母各项系数化为整数】 23 【题型9利用分式的基本性质求值】 26 【题型10分式的规律性问题】 30 【题型1分式的识别】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在，，，中，分式有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握分母中含有字母的式子是分式是解题的关键． 【详解】解：分式为，，共个， 故选C． 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）代数式，，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，，，中是分式的有，，共2个， 故选：A． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）在式子、、、、、中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式：，，，，，，只是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义进行判断即可求解． 【详解】解：，，是分式， 故选：B． 5．（23-24八年级下·四川眉山·期中）在式子、、、、、、、中，分式的个数是（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A、B，且B中含有字母，则形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在式子、、、、、、、中，分式源头、、、，共4个， 故选：B． 【题型2分式有意义的条件】 6．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据，且计算即可，本题考查了分式有意义条件，熟练掌握是解题的关键． 【详解】分式有意义． 故，且， 解得，且 故答案为：且#且． 7．（22-23八年级下·辽宁阜新·阶段练习）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 8．（21-22八年级下·江苏无锡·阶段练习）等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】接：∵ ∴ ,解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零． 9．（20-21八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）要使分式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案． 【详解】解：1+x≠0，1+≠0， x≠﹣1，x≠﹣2 故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 10．（19-20八年级下·河南新乡·期中）使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】x≠±3且x≠﹣4． 【分析】根据分式的分母不等于零得到：x-3≠0、x+4≠0、x2-9≠0，解不等式即可求解. 【详解】解：由题意，分母不为0，故有． 解得x≠±3且x≠﹣4． 故答案是：x≠±3且x≠﹣4． 【点睛】本题考查分式有意义的条件：分式的分母不为0，否则分式就无意义. 【题型3分式值为零的条件】 11．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·江西吉安·模拟预测）已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题的关键． 由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，，， ∴， 故答案为：． 14．（20-21八年级下·广东江门·开学考试）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】0或 【分析】将分子进行因式分解，再根据分式值为0的条件进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∵原分式值为0， ∴且， ∴或， 解得：或， 故答案为：0或． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式化简的方法，以及分式值为0的条件：分子等于0，分母不为0． 15．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件； 根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可． 【详解】解：∵当时，该分式没有意义， ∴， ∴， ∵当时，该分式的值为0， ∴，此时， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4分式的求值】 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）已经，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式： （1）根据完全平方公式得到，则； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ． 17．（2024·甘肃天水·一模）已知∶，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，能求出是关键．先求出，再把代入即可求出． 【详解】∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把所求式子分母和分子因式分解得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 19．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解． 【详解】解：设， ， 原式． 故答案为：． 20．（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以，故的值为． 该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目： (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）解：∵，且 ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． 【题型5求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 21．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 22．（23-24八年级上·全国·课后作业）【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故． 所以当时，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： (1)当取何值时，分式的值为负？ (2)当取何值时，分式的值为负？ 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； （2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集； 【详解】（1）解：依题意，得， 则有①或②， 解不等式组①得：不等式无解； 解不等式组②得：， 不等式的解集是：， 当时，分式的值为负； （2）解：， ， 依题意得， ， 则有①，或②， 解不等式组①得且， 解不等式组②得不等式组无解， 故且， 所以当且时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论． 23．（22-23八年级下·江苏·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负 【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得0， 则有 (1)或 (2) 解不等式组(1)得：无解； 解不等式组(2)得：， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键． 24．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 25．（23-24八年级下·陕西西安·期中）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题： (1)如果，求x的取值范围； (2)如果，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组，运用转化思想是解决本题的关键． （1）由，将转化为解即可； （2）由，将其转化为或，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴时，， 解得：； （2）解：由得：或， 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得：该不等式组无解集， ∴当时，． 【题型6求分式值为整数时未知数的整数值】 26．（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 27．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 28．（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解析】略 29．（2024七年级·全国·竞赛）若为整数，则整数可取的值有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了分式为整数时求未知数的整数值，熟练掌握整数的性质，找到使分式为整数时的所有可能情况，是解答本题的关键． 根据题意，得到可取的值有：，，，，共八种情况，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：，为整数， 可取的值有：，，，，共八种情况， 整数可取的值有个， 故选：． 30．（21-22八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化】 31．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 32．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 33．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知等式 (1)①用含的代数式表示； ②若均为正整数，求的值； (2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由． 【答案】(1)① ②或者 (2)，理由见详解 【分析】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解； （2）根据题条件可知，，即有．设，，根据，可得，则有，，进而可得，依据，即可得． 【详解】（1）①由得：， 即， ②∵x、y为正整数，， ∴可知y只能为1或者2， ∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3， 即x、y的值为：或者； （2），理由如下， 根据题条件可知，， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， 则有：， 即 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论得证． 【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想． 34．（21-22八年级下·山东济南·期中）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． (1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质； (2)参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【答案】(1)等式，分式 (2) 【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断； （2）按照阅读材料中的设k法即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质． 故答案为：等式，分式； （2）解：设， 则，，， ∴， ∴分式的值为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键． 35．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)括号内应填入 ； (2)括号内应填入 ； (3)括号内应填入 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式分子分母同时乘以或者除以一个不为0的数，分式的值不变． （1）根据，确定分子，分母同乘以计算即可． （2）根据，确定分子，分母同乘以计算即可． （3）根据，分式的分子，分母同时除以x计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）∵ ∴， 故答案为： （3）∵， ∴， 故答案为：． 【题型8将分式的分子分母各项系数化为整数】 36．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 37．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （1）分式的分子与分母中各项的系数是小数，分子、分母同乘10； （2）分式的分子与分母中各项系数是分数，分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数30． 【详解】（1）解：． （2）解：． 38．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 39．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论； （2）把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 40．（2023七年级下·全国·专题练习）化简：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把分子与分母同时乘以6即可得出结论； （2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变． 【题型9利用分式的基本性质求值】 41．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知． (1)将A进行因式分解． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先将展开后合并同类项，再利用平方差公式即可求解； （2）先对进行化简，再代入求值即可； 【详解】（1） ． （2） ， 若， 则． 42．（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）当时，求分式的值； （2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的求值，非负数的性质，准确的计算是解本题的关键； （1）把直接代入分式进行计算即可； （2）先利用非负数的性质求解的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）当时， ∴； （2）∵与互为相反数， ∴即； ∴，， ∴，， ∴； 43．（2023·广西贵港·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【分析】本题考查了化简求值，涉及平方差公式，完全平方公式，分式的约分等知识点．熟练掌握相关知识是解题的关键． 先计算平方差，完全平方公式，约分，然后进行加减运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 44．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值. 解：由，知，，即. ，. 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了倒数法解题，正确理解方法的内涵是解题的关键． (1)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． (2)把已知，求式都分别取倒数，后计算，最后结果再取倒数即可． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵取倒数得：， ∴． （2）∵，知， ， 即． ∴， ∴． 45．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值 (3)已知为实数，，求分式的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由可设， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型10分式的规律性问题】 46．（2024·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 47．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律，进行解答便可； （2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证． 【详解】（1）解∶ ． 故答案为∶ ； （2）解：第个等式是． 左边右边， 等式成立． 48．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可； （2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可； （3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． 本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键． 【详解】（1）∵第一个式子是，， 第二个式子是，， 第三个式子是，， ∴第四个式子是， ， 第五个式子是，； 故答案为： （2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是， ， 证明： ∵左边， 右边 ∴左边=右边， ∴原式成立； 故答案为：； （3） （L）． 故倒n次倒出的总水量有L． 49．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 50．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 【答案】规律是（是正整数），证明见解析 【分析】第一个式子等式左边分数中分子比分母大1，乘数与分母相同，等式右边的分数，分母与等式左边的分数分母相同，分子为等式左边分子的平方，第二个式子等式左边的分数是第一个式子左边的分数，加数是第一个式子等式左边的乘数，第二个式子右边的分数与第一个式子等式右边的分数相同，由此求解即可． 【详解】解：规律是（是正整数）． 证明：右边， ∴左边右边， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加法计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$