专题11 分式方程及其应用分类训练（12种类型60道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题11分式方程及其应用分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1解分式方程】 1 【题型2利用分式方程解的定义求字母的值】 2 【题型3利用分式方程有解求字母的取值范围】 2 【题型4利用分式有增根求字母的值】 3 【题型5利用分式无解求字母的值】 4 【题型6和倍问题】 4 【题型7行程问题】 5 【题型8工程问题】 6 【题型9古算问题】 7 【题型10销售问题】 8 【题型11货运问题】 10 【题型12图形问题】 11 【题型1解分式方程】 1．（2024·江苏连云港·二模）解方程： 2．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：． 3．（23-24九年级下·河南驻马店·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）解分式方程： (1) (2) 5．（2024八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)． 【题型2利用分式方程解的定义求字母的值】 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 7．（18-19八年级上·河北沧州·期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 9．（21-22七年级上·四川南充·期末）（1）解方程：． （2）若方程和关于x的方程的解相同，试求a的值． 10．（21-22七年级上·甘肃金昌·期末）方程－m＝5(y－m)与方程4y－7＝1＋2y的解相同，求2m+1的值． 【题型3利用分式方程有解求字母的取值范围】 11．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 13．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 14．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围. 【题型4利用分式有增根求字母的值】 16．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）若分式方程有增根，求m的值． 17．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求a的值． 18．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值． 19．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 20．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【题型5利用分式无解求字母的值】 21．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知关于的分式方程． 若分式方程无解，求的值． 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程 若该方程无解，求的值． 23．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）若关于x的方程： 无解，求a的值． 24．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． 若分式方程无解，求a的值． 25．（21-22八年级上·湖北鄂州·期末）若关于x的方程无解，求 m 的值． 【题型6和倍问题】 26．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原“老鼠窟”元宵有“味压群芳、誉冠并州”的美称，现已被列入山西省非物质文化遗产名录．元宵节前夕，王某计划购买“老鼠窟”元宵送给亲朋好友，已知袋装元宵每袋450克，礼盒装元宵每盒900克，礼盒装元宵的单价比袋装元宵的单价高19元，若用260元单独购买袋装元宵与用640元单独购买礼盒装元宵的数量相同． (1)求袋装元宵和礼盒装元宵的单价． (2)若王某计划用不超过850元购进袋装元宵、礼盒装元宵共40件，则最多可以购进礼盒装元宵多少盒？ 27．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）冬去春来，随着天气变暖，某服装店的某款T恤衫迎来畅销．该服装店先用6400元购进该款T恤衫若干件，脱销后，又用13600元购进第二批该款T恤衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了5元． (1)该服装店两次一共购进该款T恤衫多少件？ (2)如果这两批该款T恤衫每件的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每件售价至少是多少元？ 28．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产件产品．更新设备前生产件产品的天数和更新设备后生产件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品． 29．（2024八年级下·江苏·专题练习）我校八年级同学为迎接十四岁“青春仪式”，计划由4个小组的志愿者制作720面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名志愿者要比原计划多做5面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有志愿者多少名？ 30．（2024·黑龙江大庆·一模）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？    【题型7行程问题】 31．（2024·湖北恩施·三模）某班举行五四青年节的相关活动，决定到距离学校千米的地方进行研学活动，现有型客车、和型小轿车各一辆，已知在行驶过程中小轿车的速度比客车的速度快千米时，两车同时出发，当小轿车到达目的地后客车距离目的地还有千米，问小轿车和客车的速度分别是多少？ 32．（2024·西藏日喀则·一模）列方程（方程组）解应用题：A，B 两地相距240千米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速前往B地，已知甲的速度是乙的速度的 倍，甲比乙提前了 1 小时到达B地，问甲、乙两人的速度各是多少？ 33．（2024·云南昆明·三模）近年来，随着新的楚大高速公路（楚雄到大理）多个路段的开通，既改善了滇西大通道的通行条件，也促进了滇西旅游业的快速发展．五一期间，小杰打算自驾去大理游玩．其中他从家到大理的距离约为320千米，新修道路自驾到大理的平均速度是原来道路自驾到大理的平均速度的1.6倍，自驾新修道路去大理所需的时间比原来道路缩短了0.5小时，求原来道路自驾到大理的平均速度． 34．（2024·云南昆明·一模）随着昆明地铁的不断修建完善，极大程度地改善和方便了广大市民的出行，有效缓解了城市交通拥堵情况．从昆明地铁2号线甲站到乙站，市民张先生由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，路程由原来的15千米缩短为10千米，而张先生乘坐地铁比自驾车辆少花15分钟，已知乘坐地铁的平均速度是自驾车辆平均速度的1.5倍．求张先生乘坐地铁的平均速度是每小时多少千米？ 35．（2024·吉林长春·二模）甲、乙两名登山爱好者经常相约去登山．上周日甲与乙同时开始攀登一座1800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲的平均攀登速度是乙的倍，求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？ 【题型8工程问题】 36．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天． (1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？ (2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？ 37．（2024·重庆·三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 38．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）我市地铁工程某一路段工程招标，经测算，乙队单独完成这项工程需要的天数是甲队单独完成这项工程天数的倍，若由甲队先做5天再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分．若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 39．（2024·安徽阜阳·二模）某市为了解决交通拥堵情况，对某条主干道进行升级，为了尽快投入使用，工程队在原计划的基础上提高升级改造速度，平均每天的工作量比计划增加，6000米的道路可以比原来少用8天，问该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为多少米? 40．（2023·重庆·模拟预测）为了扎实推进“四好农村路”建设，打造推进乡村振兴“快车道”，我市某区不断优化以乡镇为中心、村组为网点的农村公路交通网络，积极解决农村公路基础设施不足的问题，强化农村公路管养水平，以交通发展全面助推农村经济高质量发展．现需改造一段连接三个村镇的农村公路，其中两村镇间的公路长度比两村镇间的公路长度长1200米．甲施工队计划每天施工300米，恰好可以用24天完成全部公路的改造工程． (1)求两个村镇间的公路长度为多少米； (2)实际施工时，由甲施工队负责两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？ 【题型9古算问题】 41．（2024·甘肃天水·三模）某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 42．（2024·湖南·三模）某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． (1)求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； (2)学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 43．（2024·吉林白山·二模）《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 44．（2024·广东广州·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天． 45．（2024·湖北恩施·模拟预测）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【题型10销售问题】 46．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若该纪念品经销店A种纪念品每件售价23元，B种纪念品每件售价30元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元，求A种纪念品最多购进多少件？ 47．（2024·重庆九龙坡·三模）某超市收购大量农产品，然后售卖，已知番茄和小白菜两种蔬菜单价分别是4元/斤和2元/斤，售卖这两种蔬菜一天的销售总额为元，其中番茄比小白菜少卖斤． (1)求这一天中，番茄和小白菜各卖了多少斤？ (2)为了加快售卖速度，该超市实行送货上门服务，两种蔬菜每天售卖数量也大幅提升．据统计，这段时间番茄共销售了斤，小白菜共销售了斤，番茄每天销售数量是小白菜平均每天销售量的，番茄销售天数比小白菜少了天，求小白菜平均每天的销售量． 48．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 49．（2024·重庆·二模）重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的，用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份． (1)求两种小吃的单价分别为多少元？ (2)已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份元．某天该小吃店售出两种小吃共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？ 50．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）炎炎夏日来临，某超市用3000元购进新款冰淇淋准备出售，每支售价定为10元，很快冰淇淋全部售完．由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种冰淇淋，但这次的进价比第一次进价提高了，购进冰淇淋的数量是第一次的2倍还多300支． (1)求该种冰淇淋第一次进价每支多少元? (2)第二次购买的冰淇淋，按每支10元售出200支时，出现滞销，剩下的冰淇淋降价后才顺利全部售出．要使这两次销售的总利润不低于7700元，每支冰淇淋至多降价多少元?(利润=销售收入一进价) 【题型11货运问题】 51．（2024·山东泰安·三模）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；且乙车每趟运费比甲车少100元．若单独租用一辆车运送货物，租用哪一辆车运完此批货物支出的总费用较少？总费用是多少？ 52．（2024·云南昆明·二模）从智能家居到自动驾驶汽车，从金融分析到医疗诊断，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5 倍．要配送 6000 件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天，求1辆无人配送车平均每天可配送包裹多少件? 53．（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 54．（23-24八年级上·山东德州·期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？ (2)为运输两批水果从市到相距的市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为，两车先后出发，当甲车到达市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度． 55．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）生活更加便捷高效某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 新型机器人简介 运量更高：每台新型机器人比每台旧型机器人每天多搬运20吨货物！ 速度更快：每台新型机器人搬运480吨货物的时间和每台旧型机器人搬运360吨货物的时间相同！ (1)根据宣传，求每台新型机器人每天搬运的货物量？ (2)银川某快递公司计划淘汰一批旧型机器人，购进若干台新型机器人，新旧机器人共需20台，若保证每天搬运货物不少于 1500吨，则至少需要购进多少台新型机器人？ 【题型12图形问题】 56．（2024·福建漳州·一模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 57．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 58．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图的《千里江山图》是中国十大传世名画之一在我市润州段的长江江堤上，《千里江山图》以壁画的形式悄然出现挡浪墙上，它的局部画面是一个长为米，宽为米的矩形，在其四周装上宽度相等的木质边衬，整幅外框矩形的宽与长之比即 ，那么请问边衬的宽度为多少米？    59．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    60．（2024·安徽合肥·二模）如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是，求边衬的宽度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11分式方程及其应用分类训练 （12种类型60道） 目录 【题型1解分式方程】 1 【题型2利用分式方程解的定义求字母的值】 4 【题型3利用分式方程有解求字母的取值范围】 7 【题型4利用分式有增根求字母的值】 10 【题型5利用分式无解求字母的值】 12 【题型6和倍问题】 14 【题型7行程问题】 18 【题型8工程问题】 20 【题型9古算问题】 25 【题型10销售问题】 27 【题型11货运问题】 32 【题型12图形问题】 36 【题型1解分式方程】 1．（2024·江苏连云港·二模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程．一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，检验． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，检验即可得到方程的解． 【详解】去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 3．（23-24九年级下·河南驻马店·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键． （1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可． （2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可． 【详解】（1）解：原方程化为． 方程两边同时乘上得：． 移项，合并，得：． 检验：将代入， 是原方程的解． （2）解：， 两边乘最简公分母得：， 展开得：． 合并同类项得：， 解得． 经检验，时，． 原分式方程无解． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握等式的性质，解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键． （1）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可； （2）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可． 【详解】（1）解：两边都乘以，得， 即 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为； （2）两边都乘以，得， 去括号得， 移项得， 解得， 经检验是原方程的增根， 所以原方程无解． 【题型2利用分式方程解的定义求字母的值】 6．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验． 【详解】解：在方程的两边同乘，可得：． 解得． 经检验，是方程的解． 把代入方程，得：． 解得． 经检验，是方程的解． ∴的值为． 7．（18-19八年级上·河北沧州·期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先解方程，然后将方程的解代入即可求出a值． 【详解】解：化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1， 化简得：x=﹣3， 经检验x=﹣3是原方程的解， ∴原方程的解是x=﹣3， 将x=-3代入， 解得a=， 经检验a=是原方程的解， ∴a=． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握方程的解法是解题关键． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知关于的分式方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先将方程的解求出，再将该解代入，得到关于的方程，最后解方程并在检验后得出结论． 【详解】解：解分式方程，得， 经检验，是方程的解， 关于的分式方程的解与方程的解相同， 将代入， 得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，准确进行计算是解题的关键，注意要检验． 9．（21-22七年级上·四川南充·期末）（1）解方程：． （2）若方程和关于x的方程的解相同，试求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可； （2）先求出两个方程的解，再根据两个方程的解相同列出新的方程求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． ∴． （2）解方程． 移项，得． 合并同类项，得． ∴． 解关于x的方程． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． ∴． ∵两个方程的解相同， ∴． 移项，得． 合并同类项，得． ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程及其拓展，熟练掌握这些知识点是解题关键． 10．（21-22七年级上·甘肃金昌·期末）方程－m＝5(y－m)与方程4y－7＝1＋2y的解相同，求2m+1的值． 【答案】2m＋1＝10 【分析】先解一元一次方程4y－7＝1＋2y，得到，然后把代入到中求出m的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵4y－7＝1＋2y， ∴解得y＝4． ∵方程 与方程4y－7＝1＋2y的解相同， ∴， ∴，即 解得 ∴2m＋1＝10． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程同解问题，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 【题型3利用分式方程有解求字母的取值范围】 11．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的解：使分式两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解不等式． （1）先化为整式方程得到，再把代入得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可； （2）先把整式方程整理得到，再利用方程的解为正数得到，解得，由于分母不为零，则，解得，于是得到m的取值范围为且． 【详解】（1）， 去分母得，， 把代入得， 解得； （2）把整理得， ∵， ∴，解得， 又∵，即， ∴， 解得， ∴m的取值范围为且． 12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】 本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数，确定出a的范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 解得：， 关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得：且． 13．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程有解（无解）的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据分式方程的解为正数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 关于的分式方程的解为正数， ， 解得：且， 即实数的取值范围为且． 14．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围. 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解： 方程两边同乘得，， 解得：， 且， 且 的取值范围是且． 【题型4利用分式有增根求字母的值】 16．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）若分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， 去分母，得， 将代入，得， 解得． 17．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程；求出分式方程的解及增根，再把增根代入所求的解中即可求出a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：； 由，得，此即分式方程的增根， 则， 所以． 18．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于 的方程 有增根，求的值． 【答案】或 【分析】 本题考查分式方程的解的情况，求参数的值，先将方程转化为整式方程，根据方程有增根，求出未知数的值，代入整式方程中求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理，得：； ∵方程有增根， ∴， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 19．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 20．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解：去分母，整理得， 解得： ∵关于x的方程有增根， ∴ ∴， 解得. 【题型5利用分式无解求字母的值】 21．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知关于的分式方程． 若分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答． 【详解】解：去分母，得． ①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解． ②将上式整理，得． 当，即时，分式方程无解． 综上，若分式方程无解，的值为或． 22．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知关于的分式方程 若该方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】根据解分式方程的方法，当有增根时，方程无解；当，方程无解；从而得到答案． 【详解】 解：由（2）知当或，方程有增根，则分式方程无解； 由（1）可知，原分式方程去分母后得到， 当，即时，方程无解； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查解分式方程，分式方程无解的条件、增根定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 23．（23-24八年级上·湖南湘潭·期中）若关于x的方程： 无解，求a的值． 【答案】a的值为1或或8 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况；根据方程无解，可分两种情况：原分式方程、整式方程无解，即可求解． 【详解】 解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 24．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． 若分式方程无解，求a的值． 【答案】a的值为或2． 【分析】根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 【详解】 解：由（1）知：时，原方程无解 当，方程无解 ∴时，原方程无解 综上所述，a的值为或2． 25．（21-22八年级上·湖北鄂州·期末）若关于x的方程无解，求 m 的值． 【答案】或或 【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ， 化简得：， 当时，原方程无解， 可能的增根是或， 当时，， 当时，， 当或时，原方程无解， 或或时原方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键． 【题型6和倍问题】 26．（2024·山西吕梁·模拟预测）太原“老鼠窟”元宵有“味压群芳、誉冠并州”的美称，现已被列入山西省非物质文化遗产名录．元宵节前夕，王某计划购买“老鼠窟”元宵送给亲朋好友，已知袋装元宵每袋450克，礼盒装元宵每盒900克，礼盒装元宵的单价比袋装元宵的单价高19元，若用260元单独购买袋装元宵与用640元单独购买礼盒装元宵的数量相同． (1)求袋装元宵和礼盒装元宵的单价． (2)若王某计划用不超过850元购进袋装元宵、礼盒装元宵共40件，则最多可以购进礼盒装元宵多少盒？ 【答案】(1)袋装元宵和礼盒装元宵的单价分别是元和元 (2)最多可以购进礼盒装元宵17盒 【分析】（1）设袋装元宵的单价是元，则礼盒装元宵的单价是元，利用数量总价单价，结合用260元单独购买袋装元宵与用640元单独购买礼盒装元宵的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即袋装元宵的单价），再将其代入中，即可求出礼盒装元宵的单价； （2）设购进盒礼盒装元宵，则购进袋袋装元宵，利用总价单价数量，结合总价不超过850元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设袋装元宵的单价是元，则礼盒装元宵的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． （2）解：设购进盒礼盒装元宵，则购进袋袋装元宵， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为17． 答：最多可以购进礼盒装元宵17盒． 27．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）冬去春来，随着天气变暖，某服装店的某款T恤衫迎来畅销．该服装店先用6400元购进该款T恤衫若干件，脱销后，又用13600元购进第二批该款T恤衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了5元． (1)该服装店两次一共购进该款T恤衫多少件？ (2)如果这两批该款T恤衫每件的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每件售价至少是多少元？ 【答案】(1)240件 (2)100元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设第一批购进该款T恤衫x件，则第二批购进该款T恤衫件，根据第二次每件进价比第一次多了5元，列出方程，解方程即可； （2）设每件售件是a元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批购进该款T恤衫x件，则第二批购进该款T恤衫件， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原方程的解， 则，（件）， 答：该服装店两次一共购进该款T恤衫240件． （2）解：设每件售件是a元， 根据题意，得：， 解得：． 答：每件售价至少是100元． 28．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后每天比更新前多生产件产品．更新设备前生产件产品的天数和更新设备后生产件产品的天数相同，求更新设备后每天生产多少件产品． 【答案】更新设备后每天生产件产品 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设更新设备前每天生产件产品，更新设备后每天生产产品数量件，根据“更新设备后每天比更新前多生产件产品．更新设备前生产件产品的天数和更新设备后生产件产品的天数相同”，列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设更新设备前每天生产件产品，更新设备后每天生产产品数量件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （件）， 答：更新设备后每天生产件产品． 29．（2024八年级下·江苏·专题练习）我校八年级同学为迎接十四岁“青春仪式”，计划由4个小组的志愿者制作720面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名志愿者要比原计划多做5面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有志愿者多少名？ 【答案】每个小组有志愿者12名 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题时要能读懂题意，并根据题意列出分式方程是关键．依据题意，设每个小组有志愿者名，由题意得：，解方程并检验后即可得解． 【详解】解：设每个小组有志愿者名， 由题意得：， 解得：， 当时，， 是分式方程的根， 答：每个小组有志愿者12名． 30．（2024·黑龙江大庆·一模）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？    【答案】购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍列方程求解，然后检验即可． 【详解】解：设购买一个“滨滨”需要x元，一个“妮妮”需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元） 答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元． 【题型7行程问题】 31．（2024·湖北恩施·三模）某班举行五四青年节的相关活动，决定到距离学校千米的地方进行研学活动，现有型客车、和型小轿车各一辆，已知在行驶过程中小轿车的速度比客车的速度快千米时，两车同时出发，当小轿车到达目的地后客车距离目的地还有千米，问小轿车和客车的速度分别是多少？ 【答案】客车的速度是千米时，则小轿车的速度是千米时． 【分析】此题考查了分式方程的应用，设客车的速度是千米时，则小轿车的速度是千米时，根据两车同时出发，当小轿车到达目的地后客车距离目的地还有千米，列出方程求解并检验即可，读懂题意列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设客车的速度是千米时，则小轿车的速度是千米时， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ， 答：客车的速度是千米时，则小轿车的速度是千米时． 32．（2024·西藏日喀则·一模）列方程（方程组）解应用题：A，B 两地相距240千米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速前往B地，已知甲的速度是乙的速度的 倍，甲比乙提前了 1 小时到达B地，问甲、乙两人的速度各是多少？ 【答案】甲的速度是120千米/小时， 乙的速度是80千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程成为解题的关键． 设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为千米/小时， 根据题意，得: 解方程得:． 经检验， 是方程的解． ． 答∶ 甲的速度是120千米/小时， 乙的速度是80千米/小时． 33．（2024·云南昆明·三模）近年来，随着新的楚大高速公路（楚雄到大理）多个路段的开通，既改善了滇西大通道的通行条件，也促进了滇西旅游业的快速发展．五一期间，小杰打算自驾去大理游玩．其中他从家到大理的距离约为320千米，新修道路自驾到大理的平均速度是原来道路自驾到大理的平均速度的1.6倍，自驾新修道路去大理所需的时间比原来道路缩短了0.5小时，求原来道路自驾到大理的平均速度． 【答案】原来道路自驾到大理的平均速度为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，能读懂题意，寻找等量关系列出方程，会解分式方程是解答的关键．设原来道路自驾到大理的平均速度为，得到新修道路自驾到大理的平均速度是，根据“自驾新修道路去大理所需的时间比原来道路缩短了0.5小时”列方程求解，并检验，即可解题． 【详解】解：设原来道路自驾到大理的平均速度为，则新修道路自驾到大理的平均速度是， 根据题意可得： ， ， 解得， 经检验，是该方程的解， 答：原来道路自驾到大理的平均速度为． 34．（2024·云南昆明·一模）随着昆明地铁的不断修建完善，极大程度地改善和方便了广大市民的出行，有效缓解了城市交通拥堵情况．从昆明地铁2号线甲站到乙站，市民张先生由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，路程由原来的15千米缩短为10千米，而张先生乘坐地铁比自驾车辆少花15分钟，已知乘坐地铁的平均速度是自驾车辆平均速度的1.5倍．求张先生乘坐地铁的平均速度是每小时多少千米？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设张先生乘坐地铁的平均速度是每小时x千米，则自驾车辆平均速度是每小时千米，根据题意列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设张先生自驾车辆平均速度是每小时千米，则乘坐地铁的平均速度是每小时千米，依题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， ∴乘坐地铁的平均速度是每小时千米 答：乘坐地铁的平均速度是每小时千米 35．（2024·吉林长春·二模）甲、乙两名登山爱好者经常相约去登山．上周日甲与乙同时开始攀登一座1800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲的平均攀登速度是乙的倍，求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？ 【答案】12米 【分析】设甲的平均速度是每分钟米，则乙的平均速度是每分钟米，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲的平均速度是每分钟米，则乙的平均速度是每分钟米， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲的平均速度是每分钟12米． 【题型8工程问题】 36．（2024·安徽合肥·三模）甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天． (1)求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？ (2)如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？ 【答案】(1)乙施工队单独完成这项工作需要80天 (2)甲施工队至少要工作25天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙施工队单独完成这项工作需要天，根据甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．列出分式方程，解方程即可； （2）设甲施工队要工作天，根据乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙施工队单独完成这项工作需要天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， 答：乙施工队单独完成这项工作需要80天； （2）设甲施工队要工作天， 由题意得：， 解得：， 答：甲施工队至少要工作25天． 37．（2024·重庆·三模）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用时10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天？ (2)由于居民对第一期文化改造工程反映很好，引来了不少市民打卡参观．社区计划在A处建造400平方米文化宣传墙，由丙工程队负责；在B处建造160平方米的文化宣传墙，由丁工程队负责．若丙每天可完成的工作量比丁每天可完成的工作量多5平方米，丙完成的时间是丁完成时间的2倍，求丙、丁每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了4天，乙工作了6天 (2)丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设甲工作了天，乙工作了天，根据第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，共用10天完成，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设丙每天可完成的工作量是平方米，则丁每天可完成的工作量是平方米，根据丙完成的时间是丁完成时间的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲工作了天，乙工作了天， 由题意得：， 解得：， 答：甲工作了4天，乙工作了6天； （2）设丙每天可完成的工作量是平方米，则丁每天可完成的工作量是平方米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：丙每天可完成的工作量是25平方米，丁每天可完成的工作量是20平方米． 38．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）我市地铁工程某一路段工程招标，经测算，乙队单独完成这项工程需要的天数是甲队单独完成这项工程天数的倍，若由甲队先做5天再由甲、乙合作9天，共完成总工作量的． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ (2)甲队施工1天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余部分．若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，则甲、乙两队最多合作多少天？ 【答案】(1)甲队60天，乙队90天 (2)最多合作12天 【分析】本题考查分式方程的应用和不等式的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程解答即可； （2）根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项工程需要x天，乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天； （2）解：设甲、乙两队合作a天， 甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需要90天， 甲、乙两队合作一天完成工程的， ， 解得：， a的最大值是12； 答：甲、乙两队最多合作12天． 39．（2024·安徽阜阳·二模）某市为了解决交通拥堵情况，对某条主干道进行升级，为了尽快投入使用，工程队在原计划的基础上提高升级改造速度，平均每天的工作量比计划增加，6000米的道路可以比原来少用8天，问该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为多少米? 【答案】该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为125米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为米，根据等量关系列出方程，并解方程，再检验即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该工程队计划平均每天升级改造的道路里程为125米． 40．（2023·重庆·模拟预测）为了扎实推进“四好农村路”建设，打造推进乡村振兴“快车道”，我市某区不断优化以乡镇为中心、村组为网点的农村公路交通网络，积极解决农村公路基础设施不足的问题，强化农村公路管养水平，以交通发展全面助推农村经济高质量发展．现需改造一段连接三个村镇的农村公路，其中两村镇间的公路长度比两村镇间的公路长度长1200米．甲施工队计划每天施工300米，恰好可以用24天完成全部公路的改造工程． (1)求两个村镇间的公路长度为多少米； (2)实际施工时，由甲施工队负责两村镇间的公路改造工程，同时乙施工队负责两村镇间的公路改造工程．甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程．乙施工队每天施工多少米？ 【答案】(1)两个村镇间的公路长度为4200米 (2)乙施工队每天施工500米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程以及分式方程是解此题的关键． （1）设两个村镇间的公路长度为米，则两个村镇间的公路长度为米．根据“甲施工队计划每天施工300米，恰好可以用24天完成全部公路的改造工程”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设乙施工队每天施工米，根据“甲施工队施工2天后，施工速度变为乙施工队施工速度的，结果仍比乙施工队晚5天完成公路改造工程”列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设两个村镇间的公路长度为米，则两个村镇间的公路长度为米． 由题意，得， 解得． 答：两个村镇间的公路长度为4200米． （2）解：设乙施工队每天施工米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：乙施工队每天施工500米． 【题型9古算问题】 41．（2024·甘肃天水·三模）某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 【答案】每套《三国演义》的价格为80元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每套《三国演义》的价格为元，则每套《西游记》的价格为元，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以，原分式方程的解为， 答：每套《三国演义》的价格为80元． 42．（2024·湖南·三模）某校开展数学文化节活动，预计用3600元网购数学经典书籍《几何原本》和《九章算术》奖励获奖同学．已知《九章算术》的单价是《几何原本》单价的1.5倍，用1800元购买《几何原本》比用1800元购买《九章算术》可多买20本． (1)求《几何原本》和《九章算术》的单价分别为多少元； (2)学校实际购买时，恰逢该网上书店进行促销活动，所有图书均按原价的八折出售．若学校在不超过预算的前提下，购买了《几何原本》和《九章算术》两种图书共120本，则学校至少购买了多少本《几何原本》？ 【答案】(1)《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元 (2)学校至少购买了60本《几何原本》 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用，一元一次不等式方程的运用． （1）设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元，根据题意，列出方程求解即可； （2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》，根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设《几何原本》的单价为x元，则《九章算术》的单价为元． 由题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：《几何原本》的单价为30元，《九章算术》的单价为45元； （2）设学校购买了m本《几何原本》，则购买了本《九章算术》． 由题意得， 解得． 答：学校至少购买了60本《几何原本》． 43．（2024·吉林白山·二模）《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．求两种图书的单价分别为多少元？ 【答案】《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元 【分析】本题考查了解分式方程的应用；设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，根据等量关系：用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，列出分式方程即可求解；根据等量关系列出方程是解题的关键，注意解分式方程要检验． 【详解】解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意，得， 解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以（元）． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元． 44．（2024·广东广州·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天． 【答案】7天 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：规定时间是7天． 45．（2024·湖北恩施·模拟预测）中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】9天 【分析】本题考查了分式方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设规定时间为x天，根据题意得：， 解得：． 经检验是原分式方程的解． 答：规定时间为9天． 【题型10销售问题】 46．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若该纪念品经销店A种纪念品每件售价23元，B种纪念品每件售价30元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元，求A种纪念品最多购进多少件？ 【答案】(1)A种纪念品每件的进价为20元，则B种纪念品每件的进价25元 (2)250件 【分析】（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元，根据“用1200元购进的A种纪念品与用1500元购进的B种纪念品的数量相同”，列方程求解即可． （2）设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进件，根据“这两种纪念品全部售出后总获利不低于2000元” 列不等式求出a的范围，再取a的最大正整数解即可． 本题主要考查了列分式方程解应用题和列一元一次不等式解应用题，正确的列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价元， 由题意得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A种纪念品每件的进价为20元，则B种纪念品每件的进价25元； （2）设A种纪念品购进a件，由题意得： ， 解得：， a为整数， a的最大值为250． 答：A种纪念品最多购进250件． 47．（2024·重庆九龙坡·三模）某超市收购大量农产品，然后售卖，已知番茄和小白菜两种蔬菜单价分别是4元/斤和2元/斤，售卖这两种蔬菜一天的销售总额为元，其中番茄比小白菜少卖斤． (1)求这一天中，番茄和小白菜各卖了多少斤？ (2)为了加快售卖速度，该超市实行送货上门服务，两种蔬菜每天售卖数量也大幅提升．据统计，这段时间番茄共销售了斤，小白菜共销售了斤，番茄每天销售数量是小白菜平均每天销售量的，番茄销售天数比小白菜少了天，求小白菜平均每天的销售量． 【答案】(1)这一天中，番茄卖了斤，小白菜卖了斤 (2)小白菜的平均每天销售量为斤 【分析】本题考查了经济问题的实际应用，涉及一元一次方程和分式方程，正确列式是解题的关键． （1）设小白菜卖了斤，则番茄卖了斤，根据“售卖这两种蔬菜一天的销售总额为元”列式求解即可； （2）设小白菜的平均每天销售量为斤，分别列出两种蔬菜的销售天数，利用“番茄销售天数比小白菜少了天”列式求解即可，注意检验． 【详解】（1）解：设小白菜卖了斤，则番茄卖了斤， 根据题意可列方程：， 解得：， （斤） 答：这一天中，番茄卖了斤，小白菜卖了斤； （2）设小白菜的平均每天销售量为斤， 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 答：小白菜的平均每天销售量为100斤． 48．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． (1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于62%(不考虑其他因素)，那么每件恤衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元 (2)每件恤衫的标价至少是72元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可； （2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得，解得， 经检验是方程的解， ， 答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元； （2）解：（件）， 设每件恤衫的标价是元，根据题意可得，解得， 答：每件恤衫的标价至少是72元． 49．（2024·重庆·二模）重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的，用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份． (1)求两种小吃的单价分别为多少元？ (2)已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份元．某天该小吃店售出两种小吃共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？ 【答案】(1)山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元 (2)当天至少卖出山城冰汤圆60份 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元，根据用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份列出方程求解即可； （2）设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份，根据总利润不低于380元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：山城冰汤圆的单价为元，则玫瑰冰粉的单价为元； （2）解：设当天卖出山城冰汤圆m份，则卖出玫瑰冰粉份， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为60， 答：当天至少卖出山城冰汤圆60份． 50．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）炎炎夏日来临，某超市用3000元购进新款冰淇淋准备出售，每支售价定为10元，很快冰淇淋全部售完．由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种冰淇淋，但这次的进价比第一次进价提高了，购进冰淇淋的数量是第一次的2倍还多300支． (1)求该种冰淇淋第一次进价每支多少元? (2)第二次购买的冰淇淋，按每支10元售出200支时，出现滞销，剩下的冰淇淋降价后才顺利全部售出．要使这两次销售的总利润不低于7700元，每支冰淇淋至多降价多少元?(利润=销售收入一进价) 【答案】(1)该种冰淇淋第一次进价每支5元 (2)每支冰淇淋至多降价1元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设该种冰淇淋第一次进价每支x元，则第二次进价每支元，根据“购进冰淇淋的数量是第一次的2倍还多300支”列方程求解即可； （2）设每支冰淇淋降价y元，根据“两次销售的总利润不低于7700元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该种冰淇淋第一次进价每支x元，则第二次进价每支元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：该种冰淇淋第一次进价每支5元； （2）解：由（1）得第二次购进冰淇淋的数量为（支），第一次购进冰淇淋的数量为（支）， 设每支冰淇淋降价y元， 根据题意，得， 解得， 答：每支冰淇淋至多降价1元． 【题型11货运问题】 51．（2024·山东泰安·三模）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；且乙车每趟运费比甲车少100元．若单独租用一辆车运送货物，租用哪一辆车运完此批货物支出的总费用较少？总费用是多少？ 【答案】单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是4500元 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为元，根据两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，列出方程求解，设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，根据两车合作，各运12趟才能完成，列出分式方程，进行求解，再求出各自需要的费用，比较即可． 【详解】解：设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为元， 依题意，得：， 解得：， ∴． 设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 单独租用甲车所需总费用为（元）， 单独租用乙车所需总费用为（元）． ∵， ∴单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是4500元． 52．（2024·云南昆明·二模）从智能家居到自动驾驶汽车，从金融分析到医疗诊断，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5 倍．要配送 6000 件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员配送所需时间少16天，求1辆无人配送车平均每天可配送包裹多少件? 【答案】1辆无人配送车平均每天可配送包裹件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比1名快递员同时配送所需时间少16天”列分式方程求解即可． 【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹， 依题意可得：， 解得：． 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （件）． 答：1辆无人配送车平均每天可配送包裹件． 53．（2024·安徽芜湖·三模）某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同，问甲、乙两种型号的机器人每小时分别搬运多少千克快递？ 【答案】甲型机器人每小时搬运180千克快递，乙型机器人每小时搬运240千克快递 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递，根据“甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同”，这一等量关系列方程，解答，检验即可． 【详解】解：设甲型机器人每小时搬运x千克快递，则乙型机器人每小时搬运千克快递， 依题意，得 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（千克）． 答：甲型机器人每小时搬运180千克快递，则乙型机器人每小时搬运240千克快递． 54．（23-24八年级上·山东德州·期末）赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？ (2)为运输两批水果从市到相距的市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为，两车先后出发，当甲车到达市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度． 【答案】(1)80元 (2)甲货车的速度为，乙货车的速度为． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，找准等量关系，列分式方程，解方程即可； （2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为，找准等量关系，列分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元， 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元． （2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴， ∴甲货车的速度为，乙货车的速度为． 55．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）生活更加便捷高效某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 新型机器人简介 运量更高：每台新型机器人比每台旧型机器人每天多搬运20吨货物！ 速度更快：每台新型机器人搬运480吨货物的时间和每台旧型机器人搬运360吨货物的时间相同！ (1)根据宣传，求每台新型机器人每天搬运的货物量？ (2)银川某快递公司计划淘汰一批旧型机器人，购进若干台新型机器人，新旧机器人共需20台，若保证每天搬运货物不少于 1500吨，则至少需要购进多少台新型机器人？ 【答案】(1)一台新型机器人每天搬运的货物量为80吨 (2)至少需要购进15台新型机器人 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台旧型机器人每天搬运吨货物，则每台新型机器人每天搬运吨货物，利用工作时间工作总量工作效率，结合每台新型机器人搬运480吨货物的时间和每台旧型机器人搬运360吨货物的时间相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每台旧型机器人每天搬运的货物量，再将其代入中，即可求出每台新型机器人每天搬运的货物量； （2）设购进台新型机器人，则保留台旧型机器人，根据要保证每天搬运货物不少于1500吨，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台旧型机器人每天搬运吨货物，则每台新型机器人每天搬运吨货物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （吨． 答：每台新型机器人每天搬运80吨货物； （2）解：设购进台新型机器人，则保留台旧型机器人， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为15． 答：至少需要购进15台新型机器人． 【题型12图形问题】 56．（2024·福建漳州·一模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】装裱后的长为 cm，宽为 cm，根据题意，得 ． 故选：D． 57．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“”的个数为，第2幅图中“”的个数为，第3幅图中“”的个数为，以此类推，若．（为正整数），则的值为 ． 【答案】4047 【分析】本题考查了找规律-图形类，先根据已知图形得出，代入到方程中，再利用所得规律化简即可． 【详解】解：由图形知，，，， ， 可化为：， ， ， 解得：或0（不合题意，舍去）， 故答案为：4047． 58．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图的《千里江山图》是中国十大传世名画之一在我市润州段的长江江堤上，《千里江山图》以壁画的形式悄然出现挡浪墙上，它的局部画面是一个长为米，宽为米的矩形，在其四周装上宽度相等的木质边衬，整幅外框矩形的宽与长之比即 ，那么请问边衬的宽度为多少米？    【答案】米 【分析】设边衬的宽度为x米，根据题意，得，，结合，建立分式方程解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】设边衬的宽度为x米， 根据题意，得，， ∵， ∴． 解得， 经检验，是原方程的根． 答：边衬的宽度为米． 59．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得 ＝，   解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：边衬的宽度为． 60．（2024·安徽合肥·二模）如图，合肥市某画家书画作品装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，对此画四周加上宽度相同的边衬进行装裱，装裱后整幅图画长与宽的比是，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为米 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 设边衬的宽度为米，根据题意可知，装䄇后的长为米，宽为米，再根据整幅图画长与宽的比是，即可得到相应的方程进行求解即可． 【详解】解：设边衬的宽度为米，则装裱后的长为米，宽为米， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：边衬的宽度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$