专题12 相交线、平行线与平移分类训练（11种类型55道）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（沪科版，安徽专用）

专题12相交线、平行线与平移分类训练 （11种类型55道） 目录 【题型1点到直线的距离】 1 【题型2垂线段最短】 2 【题型3平面内两直线的位置关系】 4 【题型4利用平行线的判定进行证明】 5 【题型5利用平行线的性质探究角的关系】 7 【题型6利用平行线的性质求角的度数】 9 【题型7平行线的性质在生活中的应用】 10 【题型8根据平行线判定与性质求角度】 13 【题型9根据平行线判定与性质证明】 14 【题型10求平行线间的距离】 17 【题型11利用平行线间的距离解决问题】 18 【题型1点到直线的距离】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，则点到的距离是(    ) A． B． C． D． 2．（2024七年级下·天津·专题练习）如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，，，，点到直线的距离是（　　）​ A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·安徽池州·期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【题型2垂线段最短】 6．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）在一个无风的日子，一辆汽车在直线形的公路上由向行驶，如图，是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，学校受汽车噪声的影响最大（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（    ） A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 9．（23-24七年级下·山东临沂·期中）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 10．（2024八年级下·全国·专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（    ） A． B． C． D． 【题型3平面内两直线的位置关系】 11．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④有公共顶点且相等的角是对顶角；⑤有公共顶点且互补的两个角是邻补角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（23-24七年级下·云南怒江·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．若两条线段不相交，则它们互相平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 15．（23-24七年级下·福建宁德·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ） ①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，则； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【题型4利用平行线的判定进行证明】 16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 17．（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知直线被直线所截，平分，平方，，吗？为什么？ 解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（________） 所以________（等式性质）， 因为（已知）， 所以________， 所以________（________）． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 19．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 20．（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，且；    求证： (1)； (2)． 【题型5利用平行线的性质探究角的关系】 21．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）已知点A，C，B不在同一条直线上，． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，，分别为，的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的前提下，且有，，试求出的值． 22．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与相交于点B，，，和相等吗？请说明理由． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 24．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知，平分． (1)如图1，当点，在上时，写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点在，之间，且在连线右侧，点仍在上时，写出，，间的数量关系，并说明理由． 25．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【题型6利用平行线的性质求角的度数】 26．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知直线分别交射线、于点、，连接、和、，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 28．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知：点在的一边上，过点的直线．作的平分线，过点画的垂线，如图所示． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在三角形中，，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求和的度数． 30．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，，，求的度数． 【题型7平行线的性质在生活中的应用】 31．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 32．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 33．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    34．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    35．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【题型8根据平行线判定与性质求角度】 36．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，分别是射线，上的点，连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 37．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 38．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 39．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知是直线间的一点，于点交于点． (1)_________； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 40．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分．说明：． 【题型9根据平行线判定与性质证明】 41．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，．试说明：． 解：___________， ___________， ___________． 又（已知）， ___________（等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， ______________________， ___________． 42．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是　　． 43．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，已知，与相交于点F，且． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 44．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，四边形中，，，E为线段延长线上一点，连接，，F为射线上一点，过点E作． (1)直线与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 45．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【题型10求平行线间的距离】 46．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证： (2)若 ，且，，．求与之间的距离． (3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 47．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 48．（20-21七年级下·广西贵港·期末）如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 49．（22-23七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 50．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【题型11利用平行线间的距离解决问题】 51．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    52．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）按下列要求画图并填空．    (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 53．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    54．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？    解：作，垂足为，作，垂足为． 又因为（已知）， 所以______（平行线间距离的意义）． （完成以下说理过程） 55．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，为固定的木条，，为可伸缩的橡皮筋．当点A在与平行的轨道上滑动时，你能说明的面积将如何变化吗？并简述你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12相交线、平行线与平移分类训练 （11种类型55道） 目录 【题型1点到直线的距离】 1 【题型2垂线段最短】 4 【题型3平面内两直线的位置关系】 6 【题型4利用平行线的判定进行证明】 9 【题型5利用平行线的性质探究角的关系】 14 【题型6利用平行线的性质求角的度数】 22 【题型7平行线的性质在生活中的应用】 27 【题型8根据平行线判定与性质求角度】 32 【题型9根据平行线判定与性质证明】 40 【题型10求平行线间的距离】 50 【题型11利用平行线间的距离解决问题】 56 【题型1点到直线的距离】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，则点到的距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离，根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【详解】解：， 点到的距离是线段的长． 故选：A． 2．（2024七年级下·天津·专题练习）如图所示，三角形中，，过点画，则下列说法不正确的是（    ） A．线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的 B．线段是点到直线的垂线段 C．点到直线的距离是线段的长 D．点到直线的距离是线段的长 【答案】B 【分析】根据垂线段的定义，点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】解：线段是点与直线上各点连接的所有线段中最短的，正确，本选项不符合题意； 线段是点到直线的垂线段，错误，应该是线段，本选项符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意； 点到直线的距离是线段的长，正确，本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查垂线段最短，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解点到直线的距离． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，，，，点到直线的距离是（　　）​ A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据其定义“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，得出答案即可，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，点在直线上， ∴点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义即可判断①②；根据点到直线的距离即可判断④⑤；根据垂线段的定义即可判断③． 【详解】解：∵， ∴与互相垂直，故①正确； 与不垂直，故②错误； 到的垂线段是线段，故③错误； ∵， ∴点到的距离是线段的长度，故④正确； ∵，即， ∴点到的距离是线段的长度，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，垂线段和点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽池州·期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键． 【题型2垂线段最短】 6．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，要修建一条从村庄A到公路的小路，过点A作于点H，沿修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：B． 7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）在一个无风的日子，一辆汽车在直线形的公路上由向行驶，如图，是学校的位置，当汽车行驶到下列哪一位置时，学校受汽车噪声的影响最大（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段长度的比较，理解线段的长度是解题的关键． 【详解】由图可知：最短， 所以当汽车行驶到处时影响最大， 故选：B． 8．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，某村庄要在河岸上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（    ） A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：过点C作于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是：垂线段最短． 故选：C． 9．（23-24七年级下·山东临沂·期中）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．两钉子固定木条 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．弯曲河道改直 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，根据相关性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B、能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C、能用垂线段最短进行解释，符合题意； D、能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选C． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路线问题，垂线段最短．过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出、、即可． 【详解】解：解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线，只要最短即可， 即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽． 连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求． 故选：D． 【题型3平面内两直线的位置关系】 11．（23-24七年级下·甘肃定西·期中）直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，以及平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：①如果，，则，故①说法正确； ②如果，，，则，故②说法正确； ③如果，，则，故③说法正确； ④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 12．（23-24七年级下·全国·假期作业）下面说法中正确的个数为（    ） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线没有公共点就平行； 同一平面内不平行的两条直线一定相交． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线公理，垂线的性质，两条直线的位置关系，根据平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置关系逐一判断即可求解，掌握平行线公理、垂线的性质及两条直线的位置是解题的关键． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确，符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不合题意； 在同一平面内，两条直线没有公共点就平行，原说法错误，不合题意； 同一平面内不平行的两条直线一定相交，该说法正确，符合题意； ∴说法正确的有个， 故选：． 13．（23-24七年级下·福建福州·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④有公共顶点且相等的角是对顶角；⑤有公共顶点且互补的两个角是邻补角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，点到直线的距离，两直线的位置关系等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误； ④有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，原说法错误； ⑤有公共项点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，原说法错误． 故选：A． 14．（23-24七年级下·云南怒江·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．若两条线段不相交，则它们互相平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、性质及平行公理．根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案． 【详解】解：A、在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．原说法错误，本选项不符合题意； B、一条直线的平行线有无数条．原说法错误，本选项不符合题意； C、如图， 线段和线段不相交，也不平行，在一条直线上，原说法错误，本选项不符合题意； D、平行于同一直线的两条直线互相平行，正确，本选项符合题意． 故选：D． 15．（23-24七年级下·福建宁德·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ） ①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，则； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了两条直线位置关系的知识，解题的关键是掌握平行公理及推论、平行线、相交线的性质．根据两条直线位置关系的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：①在同一平面内，若a与c相交，b与c相交，则a与b相交或平行，故①错误； ②若，则，故②正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③正确； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故④错误； 故选：D． 【题型4利用平行线的判定进行证明】 16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 17．（23-24七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知直线被直线所截，平分，平方，，吗？为什么？ 解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（________） 所以________（等式性质）， 因为（已知）， 所以________， 所以________（________）． 【答案】角平分线的定义；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义推出，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结论． 【详解】解：因为平分，平方（已知）， 所以， ，（角平分线的定义） 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；；；同旁内角互补，两直线平行． 18．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出 ，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 19．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线交于点O，分别平分和，已知．    (1)若，求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键． （1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可； （2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（22-23七年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，且；    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义： （1）根据对顶角相等可得，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行，可证； （2）根据角平分线的定义可得，，进而可得，，根据内错角相等，两直线平行，可证． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴， ∴； （2）证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5利用平行线的性质探究角的关系】 21．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）已知点A，C，B不在同一条直线上，． (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，，分别为，的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图3，在（2）的前提下，且有，，试求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线的定义，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，则，根据平行线的性质可得出、，将其代入即可求出的度数； （2）过点作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：（1）在图①中，过点作， ∵ 则． ， ，， ． （2）解：在图②中，过点作，由得． ，， ，． 平分，平分， ，， ． ， ． （3）解：， ，， ． ， ． ， ∴， ，， ， ． 22．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与相交于点B，，，和相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，先根据平行线的性质得出，然后根据得出，再根据对顶角性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：相等．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．（23-24七年级下·山东济宁·期中）动点探究题 (1)如图一，，，度，求的度数．小明的思路是过点P做，通过平行线的性质来求的度数．请你按小明的思路求的度数． (2)问题迁移：如图二，，点P在直线OM上运动，记，．求当点P在B、D两点之间运动时，问与和之间有何数量关系，请说明理由． (3)如图3，，平分，垂直于，平分．请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质定理，解决问题的关键是添加辅助线，运用平行线的性质，让角与角产生关联从而解决问题． （1）利用平行线的性质，分别同得，的度数，相加即可； （2）利用平行线的性质，和（1）辅导线的作法，推理即可； （3）利用平行线的性质，按照前面方法写出数量关系即可． 【详解】（1）解：过点P做，， ， ， ，， ， 即， ，， ； 故答案为：． （2） 如图，过点P做， ，， ， ， （3） 过点P做，过点K做， 则， ，，，， ， ∵平分，垂直于，平分， ∴，，，， ， , ． 24．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知，平分． (1)如图1，当点，在上时，写出与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点在，之间，且在连线右侧，点仍在上时，写出，，间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义； （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，，即可得到； （2）过作，得到，推出，，得到，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，于是． 【详解】（1）解：如图，，理由如下： 平分， ， ， ，， ； （2）如图2，，理由如下： 过作， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 25．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图，直线，点A，点D在直线b上，射线交直线a于点，于点C，交射线于点，，，为射线上一动点，P从A点开始沿射线方向运动，速度为，设点P运动时间为t秒，M为直线a上一定点，连接，． (1)若使的值最小，求t的值； (2)若点P在左侧运动时，探究与的关系，并说明理由； (3)若点P在右侧运动时，写出与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两点之间，线段最短可知，当P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时，的值最小，解答即可； （2）当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论； （3）当点P在右侧运动时，根据点P在上和点P在线段的延长线上，过点P作，对这两种情况分别讨论，利用平行公理的推论和平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：由两点之间，线段最短可知，当P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时最小，, ，， ， ， 秒时，有最小值． （2）解：当点P在左侧运动时，点P在上，过点P作，如图所示， 又， ， ，， ， ， ． （3）解：当点P在右侧运动时， ① 点P在上，过点P作，如图所示， 又， ， ，， ， 又， ． ② 点P在线段的延长线上，过点P作，如图所示， 又， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述：当点P在右侧运动时， 或． 【题型6利用平行线的性质求角的度数】 26．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知直线分别交射线、于点、，连接、和、，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据同角的补角相等得，则，再根据平行线的判定与性质即可求证； （）根据角度和差求出，然后根据平行线的性质即可求解； 本题考查平行线的判定与性质和同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ， 由（1）可知，， ． 27．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）先证明，可得出，然后利用平行线的判定即可得证； （2）先利用角平分线定义求出，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又∵平分， ∴ ∵， ∴． 28．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知：点在的一边上，过点的直线．作的平分线，过点画的垂线，如图所示． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质、垂线等知识，解答本题的关键是熟记平行线的性质定理． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得的度数； （2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得和的关系，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在三角形中，，，． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）由平行线的性质和已知条件证明，即可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，再由平行线的性质得到，，，再由角之间的关系即可得到答． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 30．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，由平行线的性质推出，而，得到，判定，推出． 【详解】】解：， ， ， ， ， ． 【题型7平行线的性质在生活中的应用】 31．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角和扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数，进而得出的度数． 【详解】解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 33．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 34．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）如图、一艘轮船由B处向C处航行，C处在B处的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，若轮船行驶到C处时测得，求从C处看A、B两处的视角的度数．    【答案】 【分析】 根据方位角的概念，画出图形，再根据已知转向的角度结合三角形的内角和求解． 【详解】解：如图，在处测得处在的北偏东方向上， 则， 在海岛上的观察所测得在的南偏西方向上， 则， ∴，又， ∴， ， ．    【点睛】本题主要考查方向角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和求解． 35．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 【题型8根据平行线判定与性质求角度】 36．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，分别是射线，上的点，连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 37．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，正确作出作辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过点M作，则，根据，可得，再根据平行线的性质即可解答； （2）过点M作，即，根据、可得，根据平行线的性质可得，再结合即可解答． 【详解】（1）解：如图①，过点M作，则， ∴,     ∵, ∴,     ∵，, ∴,     ∴． （2）解：猜想：，理由如下： 如图②，过点M作，即, ∴, ∵，,     ∴, ∴， ∵, ∴， ∴． 38．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）已知直线 ，是截线，点M 在直线与之间． (1)如图①，连接，过点M作．请直接写出 与 之间的数量关系 ； (2)如图②，在的角平分线上取两点M，Q，使得请写出 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若射线是的平分线，点 N在的延长线上，连接，若 求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，过点M作，可得，由平行线的性质可得，进而可以证明； （2）根据角平分线的定义得到，由（1）知，等量代换得到，根据平角的定义即可得到结论； （3）如图3，令，则，过点H作，可得，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，令，则， ∵射线是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知是直线间的一点，于点交于点． (1)_________； (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①的度数为或；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解； （2）①当时，分两种情况，当在和之间，当在和之间，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当在和之间时，如图2， ∵，， ∴， ∴射线运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； 当在和之间时，如图3所示， ∵，， ∴， ∴射线ME运动的时间秒， ∴射线旋转的角度， 又∵， ∴； ∴的度数为或； ②当，即时，若，如图， 则，即， 解得：，不合题意，舍去；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，若，如图， 则，即， 解得：；      当时，不存在互相平行的情况； 综上，当时，t的值是或． 40．（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分．说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线定义和平行线的性质定理，能熟记平行线的性质定理是解此题的关键． 根据垂直定义得出，求出，，根据角平分线定义得出，求出，根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：（已知）， 垂直的定义）， ， （平角定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等角的余角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． 【题型9根据平行线判定与性质证明】 41．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图，已知，．试说明：． 解：___________， ___________， ___________． 又（已知）， ___________（等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， ______________________， ___________． 【答案】已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同旁内角相等；等量代换． 【详解】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可． 【解答】解：（已知， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等． 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角相等）， （等量代换）． 故答案为：已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；两直线平行，同旁内角相等；等量代换． 42．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过作． ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ， ， ， 同理：， ， ． （3）如图，设交于． 当点在内部时，， ， 平分， ， ， ，， ， ． 当点在直线的下方时，同法可知：， 综上所述：或． 43．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）如图，已知，与相交于点F，且． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证明，得出，进而证出结论； （2）先求出，进而得出，根据平行线的性质求出结论即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∴，        ∴， ∵， ∴ 即； （2）解：如图： 由 （1） 得， ， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴，     ∵， ∴， ∵， ∴． 44．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，四边形中，，，E为线段延长线上一点，连接，，F为射线上一点，过点E作． (1)直线与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）先由平行线的性质得到，进而得到，由平角的定义可得，据此可证明； （2）先求出，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 45．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图1，点在上，，． (1)求证：； (2)如图2，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)在（1）的结论下，保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； （3）如图3，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； （3）解：的度数不变，理由如下： 如图3，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ． 【题型10求平行线间的距离】 46．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证： (2)若 ，且，，．求与之间的距离． (3)若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出根据已知得出，即可得证； （2）根据等面积法求平行线间的距离即可求解； （3）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）证明：       两直线平行，内错角相等    又   （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （2）由知与之间的距离等于点到直线的距离即三角形的边上的高设为．由三角形的面积计算公式可得： 即： 解得： 故：与之间的距离为． （3）设点到直线的距离为，∵，， 如图所示，作，当点与点重合时，到直线的距离为，    当点接近直线时，则点到直线的距离接近， ∴点到直线的距离的取值范围：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 47．（21-22七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 48．（20-21七年级下·广西贵港·期末）如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）根据已知求证即可； （2）根据平行公理得出，从而得出即为点到的距离，再根据线段的和即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴即为点到的距离， ∵，， ∴， ， 故点到的距离为6． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键． 49．（22-23七年级下·北京海淀·开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记． (1)若，则线段与的公共点个数可能为______； (2)若取最小值且，则的取值范围是______． 【答案】(1)0或1 (2) 【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解； （2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时， 此时线段与的公共点个数为0；    当点A和B在直线，之间时，如图所示： 此时线段与的公共点个数为1；    故答案为：0或1； （2）当取最小值且时，如图所示： 此时点A恰好在，的中间直线上， ∴，之间的距离为2，即，    当点P在上方或下方时，如图所示：    此时即为，之间的距离为2； 当点P在，之间时，如图所示：    ∵， ∴当点P在，的中间直线上时，， 当点P不在，的中间直线上时，； 综上可得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 50．（22-23七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．    (1)求证：． (2)若，且．求与之间的距离． (3)若．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)大于0小于等于5 【分析】（1）由平行线的性质可得，从而得到，再由平行线的判定即可得到； （2）由知：与之间的距离等于点到直线的距离，由三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （3）过点作于，连接，当与重合时，，当无限接近时，无限接近0，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：由知：与之间的距离等于点到直线的距离， 即设三角形的边上的高为， 由三角形的面积计算公式可得： ，即， 解得：， 与之间的距离为2.4； （3）解：过点作于，连接，   ， 当与重合时，， 当无限接近时，无限接近0， ， 点到直线的距离的取值范围为大于0小于等于5． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线之间的距离，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【题型11利用平行线间的距离解决问题】 51．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    【答案】8 【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案． 【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 52．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）按下列要求画图并填空．    (1)过点B画直线的垂线，交直线于点D， (2)过点B画直线的平行线； (3)直线和直线的距离是线段_______的长； (4)若平分且，则_______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】（1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据平行线的定义画出图形； （3）根据平行线之间的距离，判断即可； （4）利用平行线的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：直线和直线的距离是线段的长． 故答案为：；    （4）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 53．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）如图，正方形和正方形并排放置，和相交于点，已知厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？    【答案】阴影部分的面积为平方厘米 【分析】连接，，根据正方形的性质及三角形面积公式推出阴影部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积， ∵厘米， ∴平方厘米， ∴阴影部分的面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 54．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线，点A、B在直线上，点C、D在直线上，与交于点E．与的面积相等吗？为什么？    解：作，垂足为，作，垂足为． 又因为（已知）， 所以______（平行线间距离的意义）． （完成以下说理过程） 【答案】相等，理由见解析． 【分析】作，垂足为，作，垂足为，根据平行线间间距相等得到，再根据三角形面积公式得到，进而可得． 【详解】解：相等，理由如下： 作，垂足为，作，垂足为． 又因为（已知）， 所以（平行线间距离的意义） 因为，， 所以，所以， 所以， 所以与的面积相等． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线间间距相等是解题的关键． 55．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，为固定的木条，，为可伸缩的橡皮筋．当点A在与平行的轨道上滑动时，你能说明的面积将如何变化吗？并简述你的理由． 【答案】的面积保持不变，理由见解析． 【分析】由于点在与平行的轨道上滑行，根据两平行线间的距离相等，虽然点在移动，但三角形的高不变，且底为不变，故三角形面积不变． 【详解】解：设的边上的高为， 由于轨道与平行，故保持不变． 根据可知，的面积保持不变． 【点睛】本题考查了平行线间的距离处处相等，在三角形的面积公式中底边和高的长度不变，那么不论三角形如何变化，其面积不变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$