高二数学期末测试卷（集合、常用逻辑用语、不等式、导数、数列、计数原理、概率统计）02（新题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

人教B高二期末测试卷（集合、常用逻辑用语、不等式、导数、数列、计数原理、概率统计）（2） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·浙江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（21-22高二上·贵州黔西·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（20-21高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知随机变量，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 8．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示． 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 记事件：“在班级里随机选一人，选到男生” 事件：“在班级里随机选一人，选到团员” 下列说法正确的是（    ） A．事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C．， D．事件与事件相互独立 11．（22-23高二下·云南玉溪·期末）已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A． B．单调递增区间为 C．的极大值为1 D．方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 13．（23-24高二上·河南焦作·期末）有甲､乙两个鱼缸，甲鱼缸中有条金鱼和条锦鲤，乙鱼缸中有4条金鱼和3条锦鲤，先从甲鱼缸中随机捞出一条鱼放入乙鱼缸，再从乙鱼缸中随机捞出一条鱼，若从乙鱼缸中捞出的是金鱼的概率为，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·云南大理·期末）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)当时，求的值域． 16．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 17．（22-23高二下·福建厦门·期末）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色.为研究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 车辆颜色 白色 红色 女生 40 20 男生 50 10 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联? (2)现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率. 附：，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 19．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教B高二期末测试卷（集合、常用逻辑用语、不等式、导数、数列、计数原理、概率统计）（2） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·浙江·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为或，， 则. 故选：D. 2．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定写出结论即可. 【详解】命题，是一个存在量词命题，则其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是：，． 故选：C 3．（21-22高二上·贵州黔西·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】从充分性和必要性两个方面考虑. 【详解】先说充分性：当，比如，此时：不成立，所以“”不是“”的充分条件； 再说必要性： ，所以成立，所以“”是“”的必要条件. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（20-21高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 5．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可. 【详解】由题意可得， 则， 则， 又， 则， 则， 则使数列的前n项和的最小正整数n为7 故选：C. 6．（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得分法的种数，再结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有（种）分配方法， 再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有（种）分配方法， 其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有（种）， 则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率. 故甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为. 故选：B. 7．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知随机变量，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 8．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给式子结构，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据单调性求解即可. 【详解】令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以，， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，再逐项分析判断即得. 【详解】由，得，，A、B正确； 显然，因此，C错误； ，D正确. 故选：ABD 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示． 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 记事件：“在班级里随机选一人，选到男生” 事件：“在班级里随机选一人，选到团员” 下列说法正确的是（    ） A．事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生” B．事件与事件互斥 C．， D．事件与事件相互独立 【答案】AC 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据互斥事件的概念可判断B；根据古典概型可判断C；根据相互独立事件的概念可判断D. 【详解】对于A，事件的对立事件为:“在班级里随机选一人,选到女生”，故A正确； 对于B，事件与事件可以同时发生，故不互斥，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，结合选项C可知，， ​​​​​​​故事件与事件不相互独立，故D错误. 故选:AC. 11．（22-23高二下·云南玉溪·期末）已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ） A． B．单调递增区间为 C．的极大值为1 D．方程有两个不同的解 【答案】AB 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，先求出的导数，再逐项分析即可. 【详解】函数的定义域为 , 求导得. 对于A，，A正确. 对于B，由解得，函数的单调递增区间为，B正确. 对于C，当时, ，当时, ，则函数在上递减，在上递增，当时, 取得极小值, 无极大值， C错误. 对于D，显然函数在上递减，在上递增, ，则方程有唯一解，D错误. 故选: AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合导数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 13．（23-24高二上·河南焦作·期末）有甲､乙两个鱼缸，甲鱼缸中有条金鱼和条锦鲤，乙鱼缸中有4条金鱼和3条锦鲤，先从甲鱼缸中随机捞出一条鱼放入乙鱼缸，再从乙鱼缸中随机捞出一条鱼，若从乙鱼缸中捞出的是金鱼的概率为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据题意，利用全概率公式，列出方程求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由全概率公式可得，整理得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式列举出前几项，进而可求出及数列的周期，进而可得出答案. 【详解】由，， 得，，，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以数列的前99项和为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·云南大理·期末）已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义进行判断； （2）先求出当，时，函数的值域，结合函数的奇偶性得到答案. 【详解】（1）的定义域为R， 且，故函数为奇函数； （2）当，时，， 因为，所以，，，即， 由（1）知，函数为奇函数， 故当，时，， 又，故的值域为. 16．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知的展开式中的所有二项式系数之和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二项式系数和可求得的值； （2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得． （2）解：由（1）知 所以展开式通项为， 令，解得，则， 所以展开式中的常数项为． 17．（22-23高二下·福建厦门·期末）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色.为研究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 车辆颜色 白色 红色 女生 40 20 男生 50 10 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联? (2)现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率. 附：，其中 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. (2) 【分析】（1）独立性检验，根据公式计算，与临界值比较后下结论； （2）利用条件概率和全概率公式计算. 【详解】（1）零假设为：购车顾客的性别与其购买的车辆颜色无关联. 根据列表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）由题得抽取的12人中，是男生且购买白色车辆的有5人. 设A=“第一次抽到的是男生且购买白色车辆”，B=“第二次抽到的是男生且购买白色车辆”. ，，，， 由全概率公式， 得. 所以第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆概率为. 18．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义判断可得答案； （2）由（1）求出得，再利用并组求和、等比数列求和可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 19．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出得出的单调性； （2）不妨设,先分析出,再构造函数函数，,利用导数分别完成对左右的证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，解得， 当时，；当时，, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）,当时，且, 当时, , 结合(1)可知,函数有两个不相等的正实数,使得, 又, 不妨设,则必有, 要证: ,即证明, 由于， 因为函数在上单调递增,所以即证: . 又因为,所以即证：. 构造函数， 有， 易知 当且仅当时取等, 所以在上恒成立,即函数在上单调递减， 那么, 由，可得. 因为，所以， 所以. 设， 则. 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以时，, 于是有时. 因为，所以，则. 又因为,所以， 故. 因为，所以， 所以，即. 综上所述，. 【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题: 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值)，从而得出不等关系; 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系; 3．适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系; 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$