高一数学期末模拟卷02（新高考地区专用，测试范围：人教A版2019必修第二册全部）-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学期末模拟卷 全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由，则， 则。即在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A 2．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为，圆锥底面圆半径为, 由圆锥高为，得， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：， 联立方程组，解得，所以球表面积为，故选：C. 3．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以.故选：B 4．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【解析】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确；故选：A 5．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．或 B． C．1或 D．1 【答案】D 【解析】因为与同向共线，所以存在使得， 即， 又向量不共线，所以，解得（舍去）或.故选：D 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】由题意可知，，，， 在中，， ， 由正弦定理得，即， ，所以米.，故选：B 7．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（    ） A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 【答案】D 【解析】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人， 这人答对题目的平均数为， 所以这人答对题目的方差为.故选：D. 8．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，得， 即， 中，，由，则，，所以， ， 由正弦定理， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误.故选：AC. 10．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（    ） A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万 【答案】AC 【解析】对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为： 698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为万，故A正确； 对于B，由图可知，B错误； 对于C，，所以第60百分位数为730.50万，故C正确； 对于D，平均数为万，故D错误．故选：AC. 11．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（    ） A．直线与直线相交 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】对于A：因为平面，平面，， 所以和为异面直线，故A错误； 对于B，的中点，连接，，， 因为E，F，G分别为，，的中点， 所以，，，，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图所示，连接，延长，交于， 由选项可知，，因为，， 所以，，所以四点共面， 所以梯形为截面，因为，， 所以， 因为∽，且相似比为， 所以，故C正确； 对于D，记点与点G到平面的距离分别为， 因为， ，所以，故D错误.故选：BC. . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之和为5的概率为 . 【答案】 【解析】从，，，中任取个不同的数的可能取法有：，，， ，，共个， 其中满足取出的个数之和为5的有，，共个， 所以所求概率. 13．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【答案】 【解析】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的的直观图，如图所示， 因为轴，轴，且，， 可得，且， 所以的面积为. 14．学习以下过程：若，，则，完成下面题目：已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意知 可得 当时，函数取最小值 验证，经验证符合题意 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青）， （小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青），（小东、小军、小英）， （小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青）共10种情况， 其中至少有1人是通讯专业的，对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青）， 所以至少有1人是通讯专业的概率为. （2）设“小红应聘成功”，“小军应聘成功”，“小青应聘成功”， 则至少有2人应聘成功的概率 . 16．（15分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得. 17．（15分）近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. (1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由. 【答案】(1)，中位数为74，平均数为72.5；(2)方案一受到奖励的商家更多，理由见解析 【解析】（1）由题意可知，解得. 设中位数为，则，解得，所以中位数为74， 平均数为 （2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为， 方案二受到奖励的商家的个数为， 因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2)； 【解析】（1）如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点，所以， 平面，平面，所以平面 （2）（ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面，所以， 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角， 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以，所以平面， 连结，为直线与底面所成的角， 因为底面边长为1，， 所以,， ，所以. 所以直线与平面所成角的大小为. 19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作.当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)分别根据下列已知条件求； ①；②； (2)若向量，求证： (3)记，且满足，，，求的最大值. 【答案】(1)5；0；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）因为，，且， 所以； 又，，所以； （2）因为向量，，且向量， 则， 所以， 同理， 所以； （3）设，因为，所以， 所以 ， 当，即时，取得最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．或 B． C．1或 D．1 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（    ） A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 8．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（    ） A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万 11．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（    ） A．直线与直线相交 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之和为5的概率为 . 13．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 14．学习以下过程：若，，则，完成下面题目：已知，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 16．（15分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 17．（15分）近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. (1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作.当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)分别根据下列已知条件求； ①；②； (2)若向量，求证： (3)记，且满足，，，求的最大值. ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知复数满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（    ） A．或 B． C．1或 D．1 6．某地开展植树造林活动，拟测量某座山的高．勘探队员在山脚测得山顶的仰角为，他沿着坡角为的斜坡向上走了100米后到达，在处测得山顶的仰角为．设山高为，若在同一铅垂面，且在该铅垂面上位于直线的同侧，则（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（    ） A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82 8．已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．复数的共轭复数的虚部为2 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（    ） A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万 B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势 C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万 D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万 11．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点.则（    ） A．直线与直线相交 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之和为5的概率为 . 13．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 14．学习以下过程：若，，则，完成下面题目：已知，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率； (2)若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率. 16．（15分）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，求的长. 17．（15分）近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示. (1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 19．（17分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作.当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)分别根据下列已知条件求； ①；②； (2)若向量，求证： (3)记，且满足，，，求的最大值. 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题 （ 每小题 5 分，共 15 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 14 ． ____________________ 四 、解答题（共 7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 5 ．（ 1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B A D B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．AC 11．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）从这5人中随机采访3人，有（小红、小东、小军），（小红、小东、小英）， （小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），（小红、小英、小青）， （小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青） 共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的， 对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青）， 所以至少有1人是通讯专业的概率为............................................................7分 （2）设“小红应聘成功”，“小军应聘成功”，“小青应聘成功”， 则至少有2人应聘成功的概率 .......................................13分 16．（15分） 【解析】（1）因为， 根据正弦定理，得， 化简得，...........................................................3分 因为，所以， 因为，所以............................................................6分 （2）中，由余弦定理得， 所以，解得．...........................................................9分 因为为的中线，所以， 所以，...........................................................12分 因为，所以，解得............................................................15分 17．（15分） 【解析】（1）由题意可知，解得. 设中位数为，则，解得，所以中位数为74， 平均数为.............................................7分 （2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为， 方案二受到奖励的商家的个数为， 因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多. ...........................................................15分 18．（17分） 【解析】（1）如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点，所以， 平面，平面，所以平面...........................................................5分 （2）（ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面，所以，...........................................................6分 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角，..................................9分 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为；...........................................................11分 （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以，所以平面， 连结，为直线与底面所成的角，...........................................................14分 因为底面边长为1，， 所以,， ，所以. 所以直线与平面所成角的大小为............................................................17分 19．（17分） 【解析】（1）因为，，且， 所以； 又，，所以；...........................................................5分 （2）因为向量，，且向量， 则， 所以， 同理， 所以；...........................................................11分 （3）设，因为，所以， 所以 ， 当，即时，取得最大值..........................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$