第03讲 勾股定理的应用 （一）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03讲 勾股定理的应用 （一）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【例1】（2024春•太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•内江期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春•碑林区校级月考）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为 　　． 【变式3】（2024春•德城区月考）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走 　　步可到处健身（假设2步为． 【变式4】（2024春•鹤山市校级月考）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ （2）若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【变式5】（2024春•呼兰区月考）某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划把空地改成小花园，经测量，，，，，． （1）求空地的面积； （2）若学校准备用、两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米品种的鲜花需要150元，每种植1平方米品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25800时，求至少种植多少平方米品种的鲜花． 经典题型汇编 题型一．勾股定理的应用 1．（2024春•灵台县月考）为了求出湖两岸的、两点之间的距离，一个观测者在点设桩，使三角形恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到长，长，则从点穿过湖到点的距离是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•路桥区期末）如图是小安在荡秋千的侧面示意图．小安在起始位置处时，与地面垂直，当小安在处时，她离，的距离分别为，；当小安在处时，若，且她离的距离为，则此时小安离地面的高度是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　　米． 4．（2023秋•巴中期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　　尺． 5．（2024•邯郸二模）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）试说明：； （2）求的长． 6．（2023秋•白银区期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 练习试卷 一、单选题 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 2．（八年级·全国·单元测试）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 3．（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 4．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 7．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 8．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知长方体的长，宽，高．一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面去处觅食．如果它走过的路程最短，它可能经过（    ）    A．正面→右侧面 B．正面→上面 C．左侧面→上面 D．正面→下面 10．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 12．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距 ． 13．（20-21八年级上·江苏常州·期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 15．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 16．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 17．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端在上运动，量得滑杆底端距点的距离为，当底端向右移动到达点，顶端到达点时，求滑杆顶端下滑 米． 18．（23-24八年级上·河南郑州·期中）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 三、解答题 19．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 20．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 21．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    22．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 23．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若． (1)求BC的长度； (2)求出速度判断可疑汽车是否超速？ 24．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率） 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 26．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？ 小明不完整的求解过程如下： (1)设米，则 （用含的代数式表示） (2)请帮小明求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 勾股定理的应用 （一）（1个知识点+1种经典题型+习题试卷） 知识点合集 知识点．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【例1】（2024春•太和县月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，进行计算即可求解． 【解答】解：如图所示， 依题意，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确记忆相关公式是解题关键． 【变式1】（2023秋•内江期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　 A． B． C． D． 【分析】设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用．找到直角三角形，利用勾股定理即可． 【变式2】（2024春•碑林区校级月考）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为 　68　． 【分析】过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图②， ，， ， 由对称性可知：， 通过闸机的物体最大宽度为， 故答案为：68． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 【变式3】（2024春•德城区月考）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走 　52　步可到处健身（假设2步为． 【分析】根据勾股定理进行功能计算即可． 【解答】解：由勾股定理可知：， （步， 故答案为：52． 【点评】本题考查勾股定理的应用，正确记忆计算公式是解题关键． 【变式4】（2024春•鹤山市校级月考）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） （1）若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？ （2）若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 【分析】（1）在中，运用勾股定理算出，根据题意得出，再在中运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理算出即可求解． 【解答】解：（1）在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 中，， 游轮距离岸边还有； （2）由题知，， ， 绳子被收上来． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【变式5】（2024春•呼兰区月考）某中学有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划把空地改成小花园，经测量，，，，，． （1）求空地的面积； （2）若学校准备用、两个品种的鲜花美化空地，每种植1平方米品种的鲜花需要150元，每种植1平方米品种的鲜花需要200元，若投入总费用不超过25800时，求至少种植多少平方米品种的鲜花． 【分析】（1）直接利用勾股定理，再用勾股定理的逆定理得出，进而得出答案； （2）设种植平方米品种的鲜花，列出关于的一元一次不等式，即可得到答案． 【解答】解：（1）连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ； 答：空地的面积为． （2）设种植平方米品种的鲜花，得， 解这个不等式，得， 答：至少种植60平方米品种的鲜花． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，一元一次不等式，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键． 经典题型汇编 题型一．勾股定理的应用 1．（2024春•灵台县月考）为了求出湖两岸的、两点之间的距离，一个观测者在点设桩，使三角形恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到长，长，则从点穿过湖到点的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理即可求得答案． 【解答】解：在中， ，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 2．（2023秋•路桥区期末）如图是小安在荡秋千的侧面示意图．小安在起始位置处时，与地面垂直，当小安在处时，她离，的距离分别为，；当小安在处时，若，且她离的距离为，则此时小安离地面的高度是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于，过点作于，延长交于点，首先证明四边形、均为矩形，由矩形的性质可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可获得答案． 【解答】解：如下图，过点作于，过点作于，延长交于点， 由题意可知，，，，，，， ，， 四边形、均为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即此时小安离地面的高度是． 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． 3．（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　13　米． 【分析】过作地面，连接，由题意得米，（米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【解答】解：过作地面，连接， ， 由题意得，米，（米， 由勾股定理得，（米， 故答案为：13． 【点评】本题考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理的运用． 4．（2023秋•巴中期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 　14.5　尺． 【分析】设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【解答】解：设秋千的绳索长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 5．（2024•邯郸二模）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）试说明：； （2）求的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质证出，利用证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，． 【解答】解：（1）， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 6．（2023秋•白银区期末）风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米； （1）求风筝的垂直高度． （2）若王明同学想让风筝沿方向下降9米到点的位置，则他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出，再利用即可求出风筝的垂直高度； （2）在中，利用勾股定理求出，再利用的长即可求出他应该往回收线多少米． 【解答】解：（1）由题意，得，米，米， 在中， 由勾股定理，得（米， 由题意，知米， （米， 答：风筝的垂直高度长为16.6米； （2）由题意，得米， （米， 在中， 由勾股定理，得（米， 他应该往回收线（米， 答：他应该往回收线7米． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，灵活运用勾股定理是解题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高为x，则绳子的长为， 在中，， ， 解得：， ， 即旗杆的高是． 故选：B． 2．（八年级·全国·单元测试）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 3．（23-24八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 4．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，湖的两岸有A，C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A，C两点间的距离为（    ） A．3米 B．6米 C．9米 D．10米 【答案】C 【分析】由勾股定理求出的长即可． 【详解】由题意得：， 即A，C两点间的距离为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先找到筷子在杯内最短和最长时筷子所处的位置，再利用勾股定理求解，进而得到h的范围． 【详解】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大为：． 当筷子与杯底直径及杯高构成直角三角形时h最小， 此时杯内筷子长度：（）， 此时h最小为：． 故h的取值范围是：． 故选：B． 6．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 7．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，有两棵树，一棵高20米，另一棵高10米，两树相距24米，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（    ） A．26米 B．30米 C．36米 D．40米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图建立数学模型， 则，，则， 两棵树的高度差， 间距， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离， 故选：A． 8．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间．根据勾股定理可列得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设甲乙两人从出发到相遇用了个单位时间，这时乙共行， 甲共行， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故选：D． 9．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知长方体的长，宽，高．一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面去处觅食．如果它走过的路程最短，它可能经过（    ）    A．正面→右侧面 B．正面→上面 C．左侧面→上面 D．正面→下面 【答案】B 【分析】 本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：当经过正面和右侧面时，如图：；    当经过正面和上面时，如图：；    当经过2侧面和上面时，如图：；    当经过正面和下面时，路径长度和经过正面和上面时相同， ∵， ∴经过正面和上面时，路径最短， 故选：B． 10．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    二、填空题 11．（19-20八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 ． 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 12．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）一艘轮船以的速度从港口出发向东北方向航行，同时另一艘轮船也从港口出发以的速度向东南方向航行，半小时后它们相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定为直角三角形，并且根据勾股定理计算是解题的关键．根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算的长度，在直角中，已知可以求得的长． 【详解】解：如图， 因为东北和东南的夹角为，所以为直角三角形． 在中，()， ()． 则()． 故答案为： ． 13．（20-21八年级上·江苏常州·期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．设尺，则尺，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴尺， 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为， 过点作于，连接， ，，， 在中，， 故小鸟至少飞行， 故答案为：13． 15．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉到离旗杆底端6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则绳子长为米，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子长为米， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 16．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）． 故答案为：10． 17．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，滑杆在机械槽内运动，为直角，已知滑杆长，顶端在上运动，量得滑杆底端距点的距离为，当底端向右移动到达点，顶端到达点时，求滑杆顶端下滑 米． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，由题意可知滑杆与、正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算善于观察题目的信息是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴滑杆顶端下滑米， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·河南郑州·期中）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，臀生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设水深尺，则芦苇的高度为尺，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设水深尺，则芦苇的高度为尺，由题意，得：， 解得：， 答：水深尺； 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高，一棵高，两树之间相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ 【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树，过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 20．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水深厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 答：水深是 21．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    【答案】E点应该选在距B点的地方． 【分析】首先设，则，根据勾股定理构建方程，从而得出的值． 【详解】解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 22．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 23．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若． (1)求BC的长度； (2)求出速度判断可疑汽车是否超速？ 【答案】(1)m； (2)可疑汽车已经超速． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离； （2）根据速度的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，m，m， 由勾股定理得，m； （2）解：km/h， ， 答：可疑汽车已经超速． 24．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）有一个圆柱体放在水平面上，如图，在距离地面的B处有一食物，在A处的蚂蚁为了很快吃到B处的食物，请问在最短时间内能吃到食物，蚂蚁爬的距离是多远？（已知：，底面圆在半径，圆周率） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果． 【详解】解：如图，的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 根据题意，得，，， ∴， 即蚂蚁爬的距离是． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点A与点B之间的距离为1000海里 (2)有14个小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）由题意，得：，； ∴； ∵，； ∴（海里）， 即：点A与点B之间的距离为1000海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵海里； ∴； 行驶时间为（小时）． 答：有14个小时可以接收到信号． 26．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，发现将绳子拉直，绳子末端落在点处，此时点到旗杆底部的距离为米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在米高的观赛台上的点处，测得此时点到旗杆的水平距离为米，求旗杆的高度为多少米？ 小明不完整的求解过程如下： (1)设米，则 （用含的代数式表示） (2)请帮小明求出的值． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用， （1）用表示处，在中，根据勾股定理即可用含的代数式表示； （2）在中，用的代数式表示处，根据，列方程即可解出； 能灵活运用勾股定理列代数式、列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题知：，，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴旗杆的高度为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$