专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2024·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 1．（2024·山东淄博·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，且满足，则实数的值为（    ） A．6和 B．3和 C．6和3 D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的两个实数根分别为和，则 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 3．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程的两个根分别是，则= ． 3．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（2024上·河南新乡·九年级统考期末）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（2022上·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．-3 C． D． 2．（2020上·四川·九年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 3．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例8】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 2、（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 1．（2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 2．（四川省自贡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D．6 4．（广西壮族自治区南宁市青秀区天桃实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024年江苏省无锡市大桥实验学校中考数学一模试题）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 6．（2023年江苏省徐州市中考数学模拟预测题）已知方程的一个根为1，则该方程的两根之和为 ． 7．（2024年江苏省盐城市建湖县中考二模数学试题）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 8．（江苏省九年级上数学期末押题卷01（测试范围：九上 九下）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（苏科版））已知实数，满足，则 ． 9．（江苏省无锡市江阴临港科创实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）已知满足，满足，且，则 ． 10．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期11月检测数学试题）已知，且有，，则的值等于 ． 11．（2024年江苏省盐城市亭湖区等2地中考二模数学试题）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 12．（2024年江苏省扬州市高邮市城北中学中考模拟预测数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 13．（江苏省苏州市吴中区西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值 14．（江苏省泰州市医药高新区（高港区）农村七校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 15．（江苏省镇江市丹阳市第三中学2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试题）关于x的一元二次方程有两个实根． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c； (3)若方程两实根满足，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2024·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 1．（2024·山东淄博·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，且满足，则实数的值为（    ） A．6和 B．3和 C．6和3 D． 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到a的方程．根据方程有两个相等的实数根得出，解方程；再根据根与系数的关系得出，，代入，得出关于a的方程，然后解方程；由相同的解得出结果． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得，， ∵方程有两个的实数根 ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， 综上，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）一元二次方程的两个实数根分别为和，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了根与系数的关系，先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算，若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：10． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 1．（2024·安徽合肥·二模）已知关于x的方程的两根分别为和，若，则k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根之和，再由可求出，进而得出，最后用k表示出两根之积即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别为和， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 3．（2024年四川省遂宁市中考数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义可得，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程的两个根分别是，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：方程的两个根分别是， ，， ． 故答案为：． 3．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 1．（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将变形为据此可知，为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到，，整理得，，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键． 【详解】解：，易得，方程两侧同除得： ， 又∵，且， ∴，为方程 的两个实数根， ∴，，整理得，， ∴， 故选：． 2．（2024·四川内江·二模）已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料： 材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，； 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ； ； (2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． （1）利用根与系数的关系即可解决问题． （2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题． （3）将s和t看作方程的两个根即可解决问题． 【详解】（1）解：，， 故答案为：， （2）解：根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴实数s，t是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2023上·山西阳泉·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程的两根分别为，，且满足，，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，从而可得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵x的方程的两根分别为，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，是解题的关键． 2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，则m的取值范围是 ，若、满足：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；根据根与系数的关系即可得出，，结合的取值范围即可得出，再由，即可得出，解之即可得出的值． 【详解】方程有两个实数根，， ， 解得：； 原方程的两个实数根为、， ，， ， ， ， ， ，且， 整理得，， ∵， ∴， ∵， ∴解得：． 故答案为：，． 3．（2024上·四川广元·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)若是方程的根，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解不等式、解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关性质及解法是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系，列出不等式求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，从而由题中条件列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 综上所述，的取值范围为且； （2）解：若是方程的根，则， ， ， 整理得：， 解得， ∵且， ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（2024上·河南新乡·九年级统考期末）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 1．（2022上·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．-3 C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义得到原方程即为，再根据根与系数的关系得到，最后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确根据题意得到是解题的关键． 2．（2020上·四川·九年级四川师范大学附属中学校考阶段练习）定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab和a+b的代数式，再由a 、b 是方程 的两个根可得ab和a+b的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 【详解】∵，为的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为-8．　 【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab和a+b的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键． 3．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，，再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可. 【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴, ∴或； 当时，，， ∴, ∴符合题意； 当时，， ∴, ∴（不符合题意，舍去）， ∴k的值为2. 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例8】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为； ②若方程无实根，则方程有两个不相等的实根； ③若方程两根为、，且满足，则方程，必有实根，； ④若c是方程的一个根，则一定有； ⑤若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 是方程的解，①的说法正确； ②若方程无实根，则，∴，对于方程，，则方程无实根；②的说法不正确． ③若方程两根为，且满足， ，， ，， 即可得出方程，必有实根，，③的说法正确； ④由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么④不一定正确； ⑤若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ，⑤的说法正确； 综上，①③⑤的说法正确； 故选：D． 2、（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则；     ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 1．（2024年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 2．（四川省自贡市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）关于的一元二次方程有实数根，此方程的根可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵于的一元二次方程有实数根， ∴，， A. ，，，故此选项不符合题意；     B. ，，，故此选项不符合题意； C. ，，，故此选项不符合题意；     D. ，，，，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据根与系数的关系，可得出和的值，再代入即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ， 故选：B． 4．（广西壮族自治区南宁市青秀区天桃实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；已知是一元二次方程的两个实数根，可推出根据根与系数的关系可得且满足不等式代入即可得到一个关于的不等式，由此可解得的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， 解得 由根与系数的关系，得 ∵ ，解得 故选：A． 5．（2024年江苏省无锡市大桥实验学校中考数学一模试题）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 6．（2023年江苏省徐州市中考数学模拟预测题）已知方程的一个根为1，则该方程的两根之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设方程的另一个根为，则，根据方程的两根之和为，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵， ∴，即， ∴方程的两根之和为 故答案为：． 7．（2024年江苏省盐城市建湖县中考二模数学试题）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（江苏省九年级上数学期末押题卷01（测试范围：九上 九下）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步学与练（苏科版））已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】由时，得到，是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：当时，则，是方程的两个不相等的根， ，， ． 故答案为：． 9．（江苏省无锡市江阴临港科创实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）已知满足，满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 10．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期11月检测数学试题）已知，且有，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 是的两根， ， 故答案为：． 11．（2024年江苏省盐城市亭湖区等2地中考二模数学试题）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 12．（2024年江苏省扬州市高邮市城北中学中考模拟预测数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了根与系数的关系：．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系得，解不等式即可． 【详解】（1）， ， ， ， ∴不论取何值，方程总有两个实数根． （2）∵，且， ， 解得， ∴的取值范围为：． 13．（江苏省苏州市吴中区西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根： (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． （1）根据判别式的范围进行证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ，， ， ， ， ， ， ． 14．（江苏省泰州市医药高新区（高港区）农村七校联考2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”， (1)方程 “2倍根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出c的值． (3)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值： （1）先利用因式分解法解方程得到，再由即可得到方程是“2倍根方程”； （2）设方程的两根为，由“2倍根方程”的定义可设，由根与系数的关系得到，进而求出，则； （3）解方程得到，再由“2倍根方程”的定义得到或，即或，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴方程是“2倍根方程”， 故答案为：是； （2）解：设方程的两根为， ∵一元二次方程是“2倍根方程”， ∴不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵是“2倍根方程”， ∴或， ∴或， ∴或． 15．（江苏省镇江市丹阳市第三中学2023-2024学年九年级上学期第一次调研数学试题）关于x的一元二次方程有两个实根． (1)求实数m的取值范围； (2)当时，若恰好分别是一个直角三角形的两条直角边长，求这个直角三角形的斜边长c； (3)若方程两实根满足，求m的值． 【答案】(1) (2)斜边长6 (3) 【分析】（1）由题意知，，计算求解即可； （2）当时，，即，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得：； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴斜边长6； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$