专题05 轴对称、平移、旋转（思维导图+4重点+9题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题05 轴对称、平移、旋转 知识点1：轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 知识点2：平移 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：旋转 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2） 中心对称的两个图形是全等图形. 作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤： 1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点. 2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形. 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 知识点4：图形的全等 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 题型归纳 【题型1 利用轴对称的性质求解】 1．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 2．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数．（用含的代数式表示） 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是线段和线段上的点，连接，和关于所在直线对称，连接交于点F．求的度数． 【题型2 将军饮马问题】 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 5．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）小河的同旁有甲、乙两个村庄（如图），现计划在河岸上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸上的何处？ (2)如果要求建造水泵站到甲乙两村庄距离最近，水泵站M又应建在河岸上的何处？ 6．（21-22八年级上·福建宁德·阶段练习）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝ 问题解决：已知A（1，4），B（7，2） (1)试求A，B两点的距离； (2)在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度． 7．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，直接写出最小时的长． 8．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 【题型3 利用旋转的性质求解】 9．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)当直角三角板的一直角边与射线重合时，的度数为______； (2)将图中的直角三角板绕点O逆时针旋转一周，设旋转的角度为，在旋转的过程中，若，求的值． 10．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）取一副三角尺按图①所示的方式放在一起，，，固定三角尺，将三角尺以点A为中心按顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图②所示．当为多少度时，能使得？ 【题型4 旋转综合题】 11．（23-24七年级下·河北沧州·期中）将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，将两个完全一样的等腰直角三角尺如图叠放，，，使公共顶点与直线上的点O重合，，．    (1)_______； (2)若三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，直线恰好平分，求t的值； (3)在（2）的条件下另一个三角尺也绕点O以每秒的速度顺时针旋转．当三角尺的边平分时，求t的值？（自行画图分析） 13．（23-24七年级上·陕西西安·期末）问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    14．（22-23七年级上·云南·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．    (1)如图①，则 °． (2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求； (3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间． 15．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）． (1)如图，当、重合时，求的度数； (2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围． (3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，射线在内部，与互补，且；    (1)求． (2)如图1，射线绕着点从开始以15度/秒顺时针旋转至结束，射线绕着点从开始以3度/秒逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值． (3)如图2，射线绕点逆时针以每秒的速度旋转，平分，同时，射线从的位置出发往返于内，速度为每秒，设旋转时间为秒，且，当时，的值为___________． 【题型5 利用平移的性质求解】 17．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 18．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 19．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【题型6 平移综合题】 20．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． (1)写出点的坐标； (2)在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 22．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，已知两条射线，动线段的两个端点、分别在射线、上，且，点在线段上，平分，平分． (1)写出与的数量关系，并说明理由 (2)若平行移动，那么与的度数比是否随着位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； (3)如果在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由． 23．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【题型7 作图】 24．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，三角形经平移后点A的对应点是点，请你在图中作出平移后所得到的三角形． (1)写出点A的坐标为________；点的坐标为_________． (2)在图中画出三角形平移后的三角形； (3)写出点的坐标________，点的坐标________． (4)直接写出三角形的面积． 25．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)点A关于y轴对称的点的坐标为______； (2)把向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，请在图中画出，点A、B、C的对应点分别是、、．并写出、、的坐标； (3)求的面积． 26．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线l对称的； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，则D点的位置在 ． (3)请在图中l上画出点P，使的和最小． 27．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； （2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积．    【题型8 求图形变化后点的坐标】 28．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 29．（23-24七年级下·重庆·期中）已知实数a，b满足，坐标平面内两点，，现将点A，点B向右平移5个单位长度分别到D，C两点，顺次连接点A，B，C，D． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)若在y轴上找一点P，使四边形的面积等于的面积的3倍，求点P的坐标； (3)连接，的平分线与的平分线交于点Q，请确定与的数量关系，并说明理由． 30．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，Rt△AOB中，点A（1，0），OB＝2，将△AOB绕点A顺时针旋转90°后与△ACD重合，点O、B分别与点C、D对应，求点D的坐标． 31．（23-24七年级下·河南焦作·期中）已知点P的坐标为，且和是一个正数的两个平方根，求点P关于原点的对称点的坐标． 【题型9 图案设计】 32．（23-24七年级下·全国·课后作业）现实生活中有很多图形都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形． (1)图①中的三个图形是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________；（分别用a、b、c填空） (2)在图②的两圆中，按要求分别画出与图①不重复的图案．（用尺规画、徒手画均可，但要尽可能准确、美观） A．是轴对称图形但不是中心对称图形； B．既是轴对称图形又是中心对称图形． 33．（20-21七年级下·山东枣庄·期末）在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上． (1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）点P是由点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 5．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 6．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 9．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）如图所示，设．将绕点旋转，当时，（    ）．    A． B． C． D．或 10．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，该图案的设计思路可以为（    ） A．用一个平行四边形平移得到 B．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 C．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 D．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别为，，点B在x轴正半轴上．将沿射线方向平移，若点A的对应点为，则点C的对应点的坐标为 ． 12．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 13．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移m格，再纵向平移n格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么的值为 ． 14．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 15．（21-22七年级下·北京海淀·期中）已知点与点关于原点对称，则A关于轴的对称点的坐标为 ，B关于y轴的对称点的坐标为 ． 三、解答题 16．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）加图，将三角形绕点O旋转得到三角形，且，，则： (1)点B的对应点是____________________． (2)线段的对应线段是_______________． (3)线段的对应线段是_______________． (4)的对应角是__________________． (5)三角形旋转的角度是____________． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称、平移、旋转 知识点1：轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 知识点2：平移 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：旋转 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2） 中心对称的两个图形是全等图形. 作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤： 1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点. 2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形. 找对称中心的方法和步骤： 方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心. 方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心. 知识点4：图形的全等 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 题型归纳 【题型1 利用轴对称的性质求解】 1．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解． （2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 由折叠可知，． ∵， ∴． （2）解：由折叠可知，． ∴的周长． 2．（22-23七年级下·浙江温州·阶段练习）如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的判定与性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据长方形的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用等式的性质可得，最后利用平行线的判定即可解答； （2）先利用平行线的性质可得，，再利用折叠的性质可得，然后利用等量代换以及三角形内角和定理可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， 的度数为． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是线段和线段上的点，连接，和关于所在直线对称，连接交于点F．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对称的性质、三角形的外角定理等知识，根据对称有，，从而，，可先求出的度数，然后根据外角,进而求出的度数，从而求解． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， ∴，． ∵， ∴． 又∵ ∴ ∴ 【题型2 将军饮马问题】 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【答案】探究（一）：见解析；探究（二）：见解析；探究（三）：见解析；拓展应用：6 【分析】探究（一）：作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； 探究（二）：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求； 探索（三）：延长交直线l于P，点P即为所求； 拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接，则当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合，根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而证明，得到，则的最小值为6． 【详解】解：探究（一）：如图所示，线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求；    探究（二）：如图所示，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求；    探索（三）：如图所示，延长交直线l于P，点P即为所求； 在直线l上任取一点不与点P重合的点， ∵， ∴， 又∵， ∴当点与点P重合时，， ∴直线l上任意一点一定满足， ∴点P即为所求；    拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合 ∵中，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题的关键． 5．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）小河的同旁有甲、乙两个村庄（如图），现计划在河岸上建一个水泵站，向两村供水，用以解决村民生活用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两村庄的距离相等，水泵站M应建在河岸上的何处？ (2)如果要求建造水泵站到甲乙两村庄距离最近，水泵站M又应建在河岸上的何处？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接甲、乙两点，作线段的垂直平分线，与的交点即为点M； （2）作甲（或乙）关于的对称点，连接对称点和另一点，与的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图①，点M即为所求；    （2）解：如图②，点P即为所求．    连接，根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最短，即建造水泵站到甲乙两村庄距离最近． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质和两点之间线段最短． 6．（21-22八年级上·福建宁德·阶段练习）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝ 问题解决：已知A（1，4），B（7，2） (1)试求A，B两点的距离； (2)在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求PA+PB的最短长度． 【答案】(1)2 (2)P点作图见解析，PA+PB的最短长度为6 【分析】（1）根据点A和点B的坐标，直接运用公式，从而求得结果；（2）作点A关于点x轴的对称点，连接B，求得B的长，从而得出结果． 【详解】（1）解：∵A（1，4），B（7，2） ∴AB＝＝2； （2）如图， 作点A关于x轴的对称点（1，﹣4），连接B，交x轴于点P， 则PA+PB的最小值是B的长， ∵B＝＝6， ∴PA+PB的最小值＝6． 【点睛】本题考查了通过阅读使用坐标系中两点之间的距离公式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 7．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接． (1)当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数； (3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，直接写出最小时的长． 【答案】(1)3 (2)或 (3)1.5 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理求出，根据轴对称的性质即可得出答案； （2）分类讨论等腰三角形的腰和底，根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解； （3）作点关于的对称点，对线段进行转化，从而根据垂线段最短、两点之间线段最短确定点的位置，从而可求解． 【详解】（1）解：在中，， 则 是四边形的对称轴 ． （2）当时， ，平分 当时， 综上所述或． （3）在上截取，连接、 ，平分 垂直平分 ，且的值最小时，的值最小，此时的值最小则当，且点在上时，的值最小 过作 点是的中点， ． 8．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点分别在y轴和x轴上，已知，． (1)求直线的解析式； (2)若射线上有一点，面积为S，求S与x的函数关系式，并求时，点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使最小，求出最小值和点Q的坐标． 【答案】(1) (2)关于的函数关系式为．当时，点的坐标为 (3)最小值为， 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法． （1）根据矩形性质求出长，可得点坐标，即可求直线的解析式； （2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与的关系式，进而求得点坐标． （3）作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小，据此求解即可． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理，得， ， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴直线的解析式为． （2）， 当时，， ∴关于的函数关系式为，当时，点的坐标为． （3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点Q，连接，此时最小， 可得，， ∴， ∴最小值为， 设直线函数关系式为：， 可得，解得：， ∴直线函数关系式为：， 令得， 解得：， ∴． 【题型3 利用旋转的性质求解】 9．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)当直角三角板的一直角边与射线重合时，的度数为______； (2)将图中的直角三角板绕点O逆时针旋转一周，设旋转的角度为，在旋转的过程中，若，求的值． 【答案】(1)； (2)的度数为或 【分析】此题考查旋转的性质，一元一次方程的应用， （1）由即可求出的度数； （2）分情况：①当在内时，②当在外时，分别画出图形列方程解答． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为； （2）①当在内时，有： ，， 则， 解得：； ②当在外时，有： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为或． 10．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）取一副三角尺按图①所示的方式放在一起，，，固定三角尺，将三角尺以点A为中心按顺时针方向旋转一个大小为的角得到，如图②所示．当为多少度时，能使得？ 【答案】当时，能使得 【分析】根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据旋转的性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即当时，能使得． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等；旋转前后对应边的夹角等于旋转角． 【题型4 旋转综合题】 11．（23-24七年级下·河北沧州·期中）将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)15秒或24秒或27秒或33秒 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、三角板中角的运算、一元一次方程等知识，分情况讨论和数形结合是解题的关键． （1）由题意可得，作差即可得到答案； （2）按照旋转时间的变化分情况画图进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 即的度数为； （2）解：如图1，当时，， （秒）； 如图2，当 时，， （秒）； 如图3，当时，， （秒）； 如图4，当时，， （秒）； 如图5，当时，， （秒）； 综上可知，所有符合条件的的值为15秒或24秒或27秒或33秒． 12．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，将两个完全一样的等腰直角三角尺如图叠放，，，使公共顶点与直线上的点O重合，，．    (1)_______； (2)若三角尺绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒，在旋转的过程中，直线恰好平分，求t的值； (3)在（2）的条件下另一个三角尺也绕点O以每秒的速度顺时针旋转．当三角尺的边平分时，求t的值？（自行画图分析） 【答案】(1) (2)当或时，直线平分 (3)当时边平分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，旋转的性质，角平分线的定义，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）利用角度的和差计算即可； （2）分两种情况分析：①当平分时；②当的延长线平分时，根据角度的数量关系分别列方程求解即可； （3）由题意可知，，，且在内部，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，， ①如图，当平分时，此时旋转到位置，    由题意可知，， ∴， ∴ 解得； ②如图，当的延长线平分时，此时旋转到位置，    由题意可知，，， ， ， 解得：； 综上，当或时，直线平分； （3）解：由题意可知，，，且在内部， 则， ， ， 解得：， 即当时，边平分．    13．（23-24七年级上·陕西西安·期末）问题提出 （）如图所示，将含有 和角的一副直角三角板与 在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则 ． 问题探究 （）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒 速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当 与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．    【答案】（）；（）度数不会发生变化，为；（）或． 【分析】（）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）利用角的和差关系及角平分线的定义即可求解； （）由，可判断出与重合前（含重合）和与重合后这两个阶段不存在满足条件的值，由此得到满足条件的值在与重合后到与重合时这个阶段，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了角的旋转，角的计算及角平分线的定义，能通过图形找到所求角的和差关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵点在直线上，，， ∴， ∵为平分线， ∴， 故答案为：； （）∵将三角板绕点逆时针旋转， ∴，， ∵平分，为平分线， ∴， ， ∴， ∴度数不会发生变化，为； （）由图可知，当与重合前（含重合）和与重合后，， ∴在这两个阶段不存在满足条件的值， 当与重合后到与重合时， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，的值为或． 14．（22-23七年级上·云南·期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有、的直角三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板、三角板均可绕点逆时针旋转．    (1)如图①，则 °． (2)如图②，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转旋转一定角度，平分，平分，求； (3)如图③，在图①基础上，若三角板开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板绕点逆时针旋转，转速为，（当转到与重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据平角是计算； （2）根据角平分线的定义得到，，分别用表示出、，计算即可； （3）设旋转的时间为秒，的取值范围是，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解： ， ，， ； 故答案为：； （2）解：设三角板绕点逆时针旋转旋转， 平分，平分， ，， ，， ，， ； （3）解：设旋转的时间为秒， 当转到与重合时，两三角板都停止转动，， 故的取值范围是， 当平分时，如图所示，    ， ， ； 当平分时，如图，    ， ， 解得：； 当平分时，如图    ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：旋转的时间为秒或秒． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、旋转的性质，掌握角平分线的定义、正确理解旋转角的概念是解题的关键． 15．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且小于等于的角）． (1)如图，当、重合时，求的度数； (2)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转，且时，直接写出n的取值范围． (3)当从如图所示位置绕点O沿顺时针方向旋转时，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是定值，见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，，为定值；当时，，为定值；当时，，由，解得：（不符合题意，舍去）；即可确定n的取值范围． （3）分两种情况讨论：；． 【详解】（1）如图1，与重合， ∵平分，即平分， ∴， ∵平分，即平分， ∴， ∴； （2）当时，如图2， 即有：，，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 此时，为定值； 当时，如图3． 即，，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 此时，为定值； 当时，如图4． 即，， ， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，n的取值范围； （3）的值不是定值，理由是： 当时，如图5． 的值是定值，理由是： ，， ∵平分，平分， ∴、， ∴为定值； 当时，如图6． 即：，，， ∵平分，平分 ∴，， 则，不是定值， 故的值不是定值． 【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的定义，旋转变换的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知，射线在内部，与互补，且；    (1)求． (2)如图1，射线绕着点从开始以15度/秒顺时针旋转至结束，射线绕着点从开始以3度/秒逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值． (3)如图2，射线绕点逆时针以每秒的速度旋转，平分，同时，射线从的位置出发往返于内，速度为每秒，设旋转时间为秒，且，当时，的值为___________． 【答案】(1) (2)的值为 (3)或 【分析】（1）由，设，再由与互补，可得，即可得到的度数； （2）由，，可以将表示为含的式子，再由，即可求出的值； （3）根据题意，分情况讨论和的位置分别求出的值． 【详解】（1）解：， 设， 与互补， ， 解得：， ； （2）解：∵； ∴， ∴， ∵，， ， 解得：， 的值为；    （3）解：设旋转后的对应边为， ①当时， 射线在内部， ∵， ∴ ∵平分， ∴， 根据题意可得，， 当在左边时， ∴ 解得：；    当在右边时， ， 解得：；    ②当时，在外，到达后返回，还为到达 ， ∵平分， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍去），    ③当时，在外，到达后返回到在去往 ， ∵平分， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍去）， 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，线段的旋转求角度，解答此题的关键是找准角之间数量关系，采用分类讨论的思想进行解题． 【题型5 利用平移的性质求解】 17．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解：沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 18．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地． (1)方案一：将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，如图所示图形的操作过程，将线段向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（1）；将折线向右平移a个单位到，得到封闭图形，即阴影部分如图（2）．    ①请你分别写出图（1）、图（2）中空白部分的面积______，_______； ②联想与探索，如图（3）在一个长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是a个单位），请你猜想空白部分草地面积______； (2)方案二：修建一个长是宽的1.8倍，面积为486的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到32m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义，无理数的估算等知识，难点在于对无理数的估算． （1）①先确定小路的面积，图（1）是平行四边形，可利用平行四边形的面积公式求解，图（2）可以转化为图（1），再求空白部分的面积即可；②图（3）也可以转化为图（1），按照图（1）的方法计算； （2）设宽，则长为m，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，根据估算结果判定即可． 【详解】（1）①长方形空地的面积：， 图（1）中四边形是平行四边形，面积为：， ∴图（1）中空白部分的面积； 图（2）中连接，，如图所示，    根据平移的性质，， ∴封闭图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，图（2）中空白部分的面积， ②连接，，如图所示，    根据平移的性质可得，曲线围成的图形的面积和四边形的面积是相等的， 因此，空白部分草地面积 故答案为：①，；② （2）设宽m，则长为m 依题意有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ×× 即：． 这个篮球场能用做比赛． 19．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 【题型6 平移综合题】 20．（22-23八年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，，现同时将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点的对应点，连接． (1)写出点的坐标； (2)在线段上是否存在一点，使得，如果存在，试求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据几何图形在平面直角坐标系中各边长，各顶点与轴的关系，平移的性质即可求解； （2）根据题意，设，则，根据三角形的面积计算公式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∵点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得对应点， ∴． （2）解：如图所示， ，设，则， ∴，， ∴，解得，， ∴点存在，且坐标为． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，掌握几何图形的性质，平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键． 21．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【答案】(1) (2)①详见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【详解】（1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ②， ， ， ， ． 22．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，已知两条射线，动线段的两个端点、分别在射线、上，且，点在线段上，平分，平分． (1)写出与的数量关系，并说明理由 (2)若平行移动，那么与的度数比是否随着位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； (3)如果在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请求出度数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不变，与的度数的比值 (3)存在， 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由，推出，，所以，根据平分，平分，推出，，所以，即； （2）由，得，根据，推出，所以，即，则与的度数的比值． （3）因为，，所以，再根据，推出，即可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图： ， ，， ， ， 平分，平分． ，， ， ， ； （2）解：不变，与的度数的比值，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 与的度数的比值． （3）解：存在，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)请直接写出，两点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时(不与，重合)，请找出，，的数量关系，并证明你的结论； (3)在轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、都不行内角和定理，平行线的性质，坐标与图形， （1）根据绝对值以及偶次幂的非负性求得的值，进而求得的坐标； （2）根据平移可得，过点作,根据，得出，进而即可求解； （3）根据题意求出的面积，分点在轴上、点在轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，，， 则点，的坐标分别为，； （2）， 理由如下： 如图所示，过点作, 根据平移可知， ∴ ； （3）由题意得，点的坐标为，点的坐标为， 则的面积， 当点在轴上时，设点的坐标为， 则， 由题意得，， 解得，或， 综上所述，三角形的面积与三角形的面积相等时，点的坐标为或 【题型7 作图】 24．（23-24七年级下·吉林松原·期中）如图，三角形经平移后点A的对应点是点，请你在图中作出平移后所得到的三角形． (1)写出点A的坐标为________；点的坐标为_________． (2)在图中画出三角形平移后的三角形； (3)写出点的坐标________，点的坐标________． (4)直接写出三角形的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)， (4)4.5． 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点A和点在坐标系中的位置求解即可； （2）根据图形可知：将三角形向右平移4个单位，再向下平移1个单位可得到三角形； （3）根据（2）中点和点在坐标系中的位置求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）由题意可得，点A的坐标为；点的坐标为； （2）如图所示，三角形即为所求； （3）如图所示， 点的坐标为，点的坐标为； （4）三角形的面积． 25．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)点A关于y轴对称的点的坐标为______； (2)把向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，请在图中画出，点A、B、C的对应点分别是、、．并写出、、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)图见解析，，， (3) 【分析】本题考查了坐标变换轴对称，平移作图，利用网格求图形面积，熟记轴对称变换，平移变换的性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标互为相反相成数求解即可； （2）利用平移的性质作出图形，再根据点的位置，写出坐标即可； （3）利用网格，根据的面积=矩形面积减去三个直角三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：， 点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． （2）解：△ 如图所示， 由图可得：，，． （3）解：的面积． 26．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线l对称的； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，则D点的位置在 ． (3)请在图中l上画出点P，使的和最小． 【答案】(1)见解析 (2)的中点上 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的性质，三角形的中线，解题的关键是作出对应点的位置，熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此点D在边的中点上； （3）连接交直线l于一点，该点即为点P， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：因为三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分，所以找出边的中点D，连接，则将的面积平分，因此则D点的位置在的中点上． （3）解：如图所示，连接交直线l于一点P，则点P即为所求． 连接， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 27．（23-24七年级下·全国·课后作业）（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； （2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的； （3）求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查图形旋转变换和平移变换，掌握图形变换性质是关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）如答图，即为所作． （2）如答图，即为所作． （3）．    【题型8 求图形变化后点的坐标】 28．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． (1)点B的坐标为__________； (2)当P点移动了4秒时，点P的坐标为多少？ (3)在移动过程中，当点P到轴距离为5个单位长度时，则点P移动的时间为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移、直角坐标系中点的性质，熟练掌握坐标系中点的平移性质是解题关键． （1）直接利用坐标系中点的性质得出； （2）先确定移动后点的位置，即可确定坐标； （3）分两种情况讨论：点P在上和点P在上，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，， ∴点和点横坐标相同，点和点纵坐标相同， ∵，， ∴； （2）∵P点移动了4秒，速度为每秒2个单位长度， ∴点P移动的距离为：， ∵， ∴点P在上，且， ∴； （3）①当点P在上时，则点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， ②当点P在上时，点P移动的距离为， ∴点P移动的时间为， 综上所述，点P移动的时间为或． 29．（23-24七年级下·重庆·期中）已知实数a，b满足，坐标平面内两点，，现将点A，点B向右平移5个单位长度分别到D，C两点，顺次连接点A，B，C，D． (1)直接写出点A，点B的坐标； (2)若在y轴上找一点P，使四边形的面积等于的面积的3倍，求点P的坐标； (3)连接，的平分线与的平分线交于点Q，请确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 (3) 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性、坐标的平移性质、平行线的性质等，解题的关键是对相关性质与定理能够灵活应用． （1）根据绝对值与算术平方根的非负性可求得、的值，即可求得点、的坐标， （2）设出点的坐标，然后根据三角形与平行四边形的面积关系列出方程，求得点的坐标即可； （3）由角平分线可知，，由平移可知，作，则，由此可知，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）将点A，点B向右平移5个单位长度分别到D，C两点， 由平移可知：，， ∴四边形的面积为， 设点的坐标为，根据题意得：， 即：，亦即， ∴或 解得：或， ∴的坐标为或； （3）∵平分，平分，， ∴，， 由平移可知，作，则 ∴，，， ， 即：． 30．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，在直角坐标平面内，Rt△AOB中，点A（1，0），OB＝2，将△AOB绕点A顺时针旋转90°后与△ACD重合，点O、B分别与点C、D对应，求点D的坐标． 【答案】（3，1） 【分析】先求出AO，再根据旋转变换的性质可得AC＝AO，CD＝BO，CD∥x轴，AC⊥x轴，然后求解即可． 【详解】解：∵点A（1，0）， ∴AO＝1， ∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后与△ACD重合， ∴AC＝AO＝1，CD＝BO＝2，CD∥x轴，AC⊥x轴， ∴点D的横坐标为1+2＝3， 纵坐标为1， ∴点D的坐标为（3，1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记旋转的性质并求出相应线段的长度以及与x轴的位置关系是解题的关键． 31．（23-24七年级下·河南焦作·期中）已知点P的坐标为，且和是一个正数的两个平方根，求点P关于原点的对称点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了正数的平方根的关系、解一元一次方程以及关于原点对称的点的坐标特点．先利用两个平方根互为相反数列出一元一次方程，求出，再求出点P的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根． ，解得：， ，， 点P的坐标为． 点与点P关于原点对称， . 【题型9 图案设计】 32．（23-24七年级下·全国·课后作业）现实生活中有很多图形都有圆的影子，它们看上去非常漂亮，这是因为圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形． (1)图①中的三个图形是轴对称图形的有________，是中心对称图形的有________；（分别用a、b、c填空） (2)在图②的两圆中，按要求分别画出与图①不重复的图案．（用尺规画、徒手画均可，但要尽可能准确、美观） A．是轴对称图形但不是中心对称图形； B．既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；、； (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；据此进行解答即可． （1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得A 是轴对称图形但不是中心对称图形； B既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； 故答案为：、、；、； （2）如图，即为所求， 33．（20-21七年级下·山东枣庄·期末）在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）； （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案） 【答案】见解析 【分析】直接利用轴对称图形的性质以及结合平移的性质、旋转的性质分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称图形的性质，正确掌握相关图形性质是解题关键． 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中，点都在小方格的顶点上，按要求画一个四边形，使它的顶点都在方格的顶点上． (1)在图1中所画的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中所画的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，当四边形是平行四边形时，中心对称图形，但不是轴对称图形，利用平移性质作图即可得到答案； （2）由正方形性质可知，当四边形是正方形时，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，利用网格中矩形对角线相互垂直作图即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：正方形即为所求． 【点睛】本题考查网格中作图，涉及平行四边形对称性、正方形对称性、网格中平移作图及网格中矩形对角线的垂直关系等知识，熟练掌握平行四边形对称性、正方形对称性及网格中作图是解决问题的关键． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南昭通·期中）如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，即平移是图形位置的改变，图形大小，形状未发生变化，由此即可求解． 【详解】解：、图形可以平移得到，不符合题意； 、图形可以平移得到，不符合题意； 、图形可以通过翻折得到，而不能通过平移得到，符合题意； 、图形可以平移得到，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁营口·期中）点P是由点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了坐标的平移问题；用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．根据已知让横坐标加5，纵坐标减3即可得出答案． 【详解】解：点先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度， 则，， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，下列四种通信标志中，其图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 故选：A． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 6．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，将绕点C按顺时针方向旋转，点B落到上的点处，得到，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质求得，由旋转的性质得，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是边上的高， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，平角的定义，解题关键是掌握这些性质并能熟练运用．首先根据轴对称的性质得出，，再根据平角的定义和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形纸片中，， ∴， ∵将纸片折叠，使落在边上的处， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 9．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）如图所示，设．将绕点旋转，当时，（    ）．    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查角的计算、旋转的性质等知识点，灵活分类讨论思想是解题的关键． 分在内部和外部两种情况，分别运用角的和差以及旋转的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ①如图1：当在内部时，    设， 则，，， ∵， ∴，解得：； ②如图2：当在外部时，    设，则， ∵， ∴，解得：； 综上，或． 故选：D． 10．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，该图案的设计思路可以为（    ） A．用一个平行四边形平移得到 B．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 C．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 D．用一个平行四边形经过两次旋转，每次旋转得到 【答案】D 【解析】略 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，C的坐标分别为，，点B在x轴正半轴上．将沿射线方向平移，若点A的对应点为，则点C的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移中点的变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．依据点的对应点的坐标为，可得出平移规律，再利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：点的对应点为， 平移规律为向右平移1个单位长度，再下平移3个单位长度， 点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）在直角三角形中，，是上一点，且．将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．    （1）如图，若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 22 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出，当时，求出，，由折叠的性质得出，再由即可得出答案； （2）同（1）的方法得，，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，，， 由折叠知，． ∴， 故答案为：22； （2）如图，   ， 同（1）的方法得，，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·北京·期中）如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移m格，再纵向平移n格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么的值为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查了平移的知识，根据不同的边重合合成不同的四边形可得出答案． 【详解】（1）当两斜边重合的时，把上面的三角形先向左横移2格，再向下移动4格，合成一个四边形，此时，，； （2）当两直角边重合时有两种情况，①短直角边重合，把上面的三角形先向右横移2格，再向下移动4格，合成一个四边形，此时，，； ②长直角边重合，把上面的三角形先向左横移2格，再向下移动6格，合成一个四边形，此时，，． 综上可得：或8． 故答案为：6或8． 14．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，按此作法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型等知识，观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意，，，，，即可解决问题．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：由平移，观察图象可知，偶数点在第一象限， ，，，，， ， 故答案为：． 15．（21-22七年级下·北京海淀·期中）已知点与点关于原点对称，则A关于轴的对称点的坐标为 ，B关于y轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特征可得，，再根据了关于x轴、y轴、对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ，， ，， A关于轴的对称点的坐标为，B关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴、原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 三、1 16．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）加图，将三角形绕点O旋转得到三角形，且，，则：    (1)点B的对应点是____________________． (2)线段的对应线段是_______________． (3)线段的对应线段是_______________． (4)的对应角是__________________． (5)三角形旋转的角度是____________． 【答案】(1)点 (2) (3) (4) (5) 【分析】根据旋转的定义和性质求解即可． 【详解】（1）解：点B的对应点是点， 故答案为：点； （2）解：线段的对应线段是， 故答案为：； （3）解：线段的对应线段是， 故答案为：； （4）解：的对应角是， 故答案为：； （5）解：三角形旋转的角度是， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的定义和性质，熟练掌握旋转的定义和性质是解题的关键． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在格点上）的面积为______； (2)画出格点向右平移3个单位长度后得到的； (3)在直线DE上画出点P，使最小． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的面积、平移作图、最短路径问题等知识点，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C的对应点、、，连接即可得到； （3）作点A关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求的点． 【详解】（1）， 故答案为：5； （2）如图，即为所求： （3）如图所示，点P即为所求， 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，则，， 根据，求解作答即可； （2）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，即，由，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 19．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，   ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$