专题04勾股定理(思维号图+7重点+7题型+过关检测)【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题04 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 特别提醒： （1）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （2）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （3）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2：勾股定理的证明 1.勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． 2.证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3：勾股定理的应用 1.应用条件：勾股定理的应用必须是在直角三角形中，所以要应用勾股定理,必须先找出直角三角形 2..常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点4：平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点5：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点6：勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点7：两点间的距离公式 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 题型归纳 【题型1 勾股定理】 满分技法 应用勾股定理时，应注意区分直角边和斜边，标注字母c的不一定就是斜边 1．（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为． 故选：． 【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（2023春•安庆期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为　　 A．225 B．200 C．150 D．无法计算 【答案】 【分析】根据勾股定理得，从而得出答案． 【解答】解：在中，， 由勾股定理得，， 正方形和正方形的面积和为225， 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2024春•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标介于　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的正半轴上即可得出结论． 【解答】解：点坐标为， ， 点、均在以点为圆心，以为半径的圆上， ， ，点在轴的正半轴上， 点的横坐标介于3和4之间． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键． 4．（2024•芜湖二模）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为　　 A．4 B． C． D．8 【答案】 【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，， 则阴影部分的面积 ， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 5．（2024春•黄山期中）如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，点，都在格点上，连接，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理可求出，， 的长度，结合勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出 的度数． 【解答】解：连接， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键． 【题型2 勾股定理的证明】 满分技法 (1)证明勾股定理时，找面积相等是关键. (2)组成图形的面积的两种表示方法: ①直接利用面积公式表示;②间接利用各个组成部分的面积和表示。 6．（2024春•庐阳区校级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为　　 A． B．2 C． D． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，由题意，，， 大正方形的面积为17， ， ， ， ， ， ， 小正方形的边长为（负值舍去）， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 7．（2024春•芜湖期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是　　 A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【答案】 【分析】根据图形中各部分的关系即可得到结论． 【解答】解：这种证法体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确地识别图形是解题的关键． 8．（2024春•大观区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、，若，，则　　． 【答案】． 【分析】先设出四个直角三角形的面积之和为，再根据和求出，即可求解． 【解答】解：设四个直角三角形的面积之和为， ， ， 又， ， ， 解得， 正方形的边长为：， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 9．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先推出是直角三角形，然后根据，代入字母整理化简，即可证明结论成立． 【解答】证明：由已知可得， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出是直角三角形． 【题型3 勾股定理的应用】 满分技法 (1)若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形. (2)在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，即建立直角三角形模型，把实际的量抽象成线段的长度，进而转化为求直角三角形的边长。 (3)勾股定理可以帮助我们计算，也可以帮助我们建立方程，还可以帮助我们证明线段之间的平方关系. (4)运用勾股定理求直角三角形的边长时，若未明确哪条边是斜边，应分类讨论 10．（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是　　 A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 【答案】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【解答】解：， ， （米． 树折断之前有16米． 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 11．（2024春•蜀山区期中）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根 的距离为，梯子的顶端到地面的距离为，现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，那么　　 A．小于1 B．大于1 C．等于1 D．小于或等于1 【分析】在中依据勾股定理可知，在△中依据勾股定理可求得的长，从而可求得的长． 【解答】解：在中，由勾股定理可知， 在△中由勾股定理可知． ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 12．（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】7200元． 【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据四边形的面积为，即可求解． 【解答】解：如图，连接， 在中，，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积为， （元， 即学校需要投入7200元资金买草皮． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 13．（2024春•金安区校级期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知、、三点在一条直线上，且于点，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 【答案】小男孩需向右移动的距离为7米． 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：连接，如图所示： 则点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：（米， （米， 在中，由勾股定理得：（米， 由（1）得：， （米， 小男孩需向右移动的距离为7米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键． 14．（2024春•庐阳区校级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为2米，顶端距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端距墙顶的距离为2米，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，． 求：（1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 【答案】（1）墙的高度为2.5米； （2）竹竿的长度为2.5米． 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论； （2）．将（1）中的数据代入求值． 【解答】解：（1）设墙高为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理，得． ， ，即． 解得：． 答：墙的高度为2.5米； （2）由（1）知，，且， 所以． 所以 米． 答：竹竿的长度为2.5米． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15．（2024春•庐江县期中）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度 （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）风筝的高度为17.62米； （2）他应该再放出米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为17.62米； （2）如图所示：延长至，连接， 由题意得，米， 米， （米， 米， 他应该再放出米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 【题型4 平面展开-最短路径问题】 满分技法 立体图形平面化,解决最短路径问题求立体图形上两点间的最短距离时，可先将立体图形展开，使这两点在同一个平面内，再利用勾股定理求出两点之间线段的长度.但需要注意，个立体图形的展开方式可能不止一种，要从中选出最短路径. 16．（2023秋•泗县期中）如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【解答】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ，，， 由勾股定理得：． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 17．（2024春•合肥期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 　　． 【答案】． 【分析】作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最短；为直角△的斜边，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示作出关于的对称点，连接，与交于点，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角△中，，， 最短路线长为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． 18．（2023秋•埇桥区校级期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　10　米． 【答案】10． 【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 19．（2023春•花山区校级期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 　5　米． 【答案】5． 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2个长方形的对角线长， 圆柱高3米，底面周长2米， ， ， 每根柱子所用彩灯带的最短长度为， 故答案为：5． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题，掌握勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高是解决本题的关键． 20．（2023春•天长市校级期中）如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．则蚂蚁经过的最短路程 　　． 【答案】． 【分析】最短路线可放在平面内根据两点之间线段最短去求解，蚂蚁爬的两个面可以放平面内成为一个长方形，根据勾股定理去求解． 【解答】解：的长就为最短路线． 如图1，若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为， 如图2，若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为， 如图3，若蚂蚁沿左面和上面爬行，则经过的路程为； ， 所以蚂蚁经过的最短路程是． 故答案为：． 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． 【题型5 勾股定理的逆定理】 满分技法 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： 第1步:比较a,b,c的大小,找出最大边长, 第2步:计算两小边长的平方和,看它是否与最大边长的平方相等.若相等,则是直角三角形,并且最大边所对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形, 21．（2024春•大观区校级期中）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形的概念判断即可． 【解答】解：．，， ， ， ， 不能判定为直角三角形，故不符合题意； ．， 设，则， ， ， 不是直角三角形，故不符合题意； ．， ， ， 是直角三角形，故符合题意； ．， 不能判定为直角三角形，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的判定，掌握直角三角形的概念、勾股定理的逆定理是解题的关键． 22．（2024春•金安区校级期中）在中，、、对边是、、，哪个条件不能判断是直角三角形　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，， ， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 是直角三角形， 故不符合题意； 、，， ， 不是直角三角形， 故符合题意； 、， 是直角三角形， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 23．（2024春•田家庵区校级期中）中，、、分别为、、的对边，下列条件中能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可． 【解答】解：、， 是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； 、， ， 最大角， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，， ， 是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 24．（2024春•黄山期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．，， B．2，3，4 C．2，2，5 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行解答即可． 【解答】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成直角三角形，不符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意； 、，能构成直角三角形，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【题型6 勾股数】 满分技法 勾股数满足条件： 1.三个数必须都是正整数 2.以这三个数为长度的线段能组成三角形 3.两个较小的数的平方和等于最大的数的平方 25．（2024春•庐阳区校级期中）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为　　 A． B．6，8，10 C．6，7，8 D． 【答案】 【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：、都不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、，，且，是勾股数，故此选项符合题意； 、，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足． 26．（2024春•镜湖区校级期中）下列各组3个整数是勾股数的是　　 A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 【答案】 【分析】满足的三个正整数，称为勾股数．依此判断即可． 【解答】解：、，故不是勾股数； 、，故不是勾股数； 、，故不是勾股数； 、，故是勾股数； 故选：． 【点评】本题考查了勾股数，注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13； 27．（2024春•蜀山区期中）下列3个数能成为勾股数的是　　 A．6，8，9 B．1，， C．7，15，17 D．5，12，13 【答案】 【分析】根据勾股数的概念求解即可． 【解答】解：．，，，故6、8、9不是勾股数，不符合题意； ．与不是整数，故1、、不是勾股数，不符合题意； ．，，，故7、15、17不是勾股数，不符合题意； ．，，，故5、12、13是勾股数，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． 28．（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【答案】 【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案． 【解答】解：、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数； 、，、40、41是勾股数； 、，，3，4不是勾股数； 、，，均不是整数，，，不是勾股数； 故选：． 【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键． 【题型7 两点间的距离公式】 满分技法 (1)平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关. (2)运用平面直角坐标系中两点之间的距离公式时，代入要准确. 29．（2023春•蚌山区期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为　　 A．1 B． C． D．3 【答案】 【分析】点到轴的距离为，到轴的距离为，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【解答】解：点到原点的距离为， 故选：． 【点评】本题主要考查了点的坐标意义、勾股定理，利用勾股定理计算点到原点的距离是解题关键． 30．（2023春•巢湖市校级期中）已知点的坐标为，点在轴上，当、两点间的距离最短时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂线段最短确定答案即可． 【解答】解：点的坐标为，点在轴上， 当垂直轴时，、两点间的距离最短时， 此时点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式的知识，解题的关键是了解垂线段最短，难度不大． 31．（2024春•安庆期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点 　或　的距离之和．（填写点的坐标） （2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点 　　、点 　　的距离之和．（填写点，的坐标） （3）求出代数式的最小值． 【答案】（1），； （2），； （3）10． 【分析】（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【解答】解：（1）原式化为的形式， 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和， 故答案为：，； （2）原式化为的形式， 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 故答案为：，． （3）如图所示：设点关于轴的对称点为，则， 的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线段距离最短， 的最小值为线段的长度， ， ，，， ， 代数式的最小值为10． 【点评】题属于几何变换综合题，考查的是轴对称最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/14 13:49:13；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 过关检测 1．（2024春•庐江县期中）一个直角三角形的三边长分别为，，，那么以，，为三边长的三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，依此可得，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【解答】解：一直角三角形三边长分别为，，， ， ， 以，，为三边长的三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理、勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题的难点在于得到． 2．（2024春•铜官区校级期中）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是　　 A．10 B．52 C．68 D．92 【答案】 【分析】由勾股定理求出，再由正方形的面积公式计算即可得到答案． 【解答】解：在中，，，， ， 正方形的面积， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2023春•涡阳县期中）如图，在网格中，点，，都是格点（网格线的交点），则的形状是　　 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出三角形三边长的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：，，， ，， 是等腰直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 4．（2024春•宣城期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是　　 A．三边的边长比为 B．三边边长的平方比为 C．三个内角度数比为 D．三个内角度数比为 【答案】 【分析】由比的意义及勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，即可完成解答． 【解答】解：、设三边长分别为，由，此三角形是直角三角形； 、由题意，设三边的平方分别为，，，而，此三角形不是直角三角形； 、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形； 、由题意知，最大内角为：，故不是直角三角形； 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． 5．（2024春•宣城期中）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为，然后根据直角三角形的面积和正方形的面积可建立关于的等量关系式，求解即可． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为30， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查等积变换，求代数式的值，算术平方根的应用．根据题意建立等量关系式是解题的关键． 6．（2024春•金安区校级期中）已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 　26　． 【答案】26． 【分析】根据在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么即可得答案． 【解答】解：设直角三角形的两条直角边分别为、，则斜边长为： ， 直角三角形的周长为60， ， 解得：， 斜边长为． 故答案为：26． 【点评】本题主要考查了勾股定理，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 7．（2024春•安庆期中）一直角三角形的三边长分别为6，8，，那么以为边长的正方形的面积为 　100或28　． 【分析】以为边长的正方形的面积是，所以只需求得即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况考虑． 【解答】解：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得； 当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得． 所以以为边长的正方形的面积为100或28． 故答案为：100或28． 【点评】此题考查勾股定理，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算． 8．（2023秋•泗县期中）如图点、、都在方格线的交点上，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】在方格纸中，设网格边长为1，过点作于，利用勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：设网格边长为1，过点作，垂足为， 由图得，点在方格线的交点上， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 9．（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在中，，求证：； （2）在中，，，边上的高，求边的值． 【答案】（1）见 解答； （2）． 【分析】（1）在，中，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用勾股定理分别求出和的值相加即可． 【解答】解：（1）在，中，根据勾股定理得： ， ， ， ； （2）在，中，根据勾股定理得： ， ， ． 【点评】本题考查勾股定理，正确记忆这个知识点是解题关键． 10．（2024春•镜湖区校级期中）如图，在中，，，，求． 【分析】如图，作边上的高，设出、的长，运用勾股定理列出关于线段的方程，求出的长，问题即可解决． 【解答】解：如图，过点作于点； 设，；由勾股定理得： ， 由②①得：， ，代入②并解得， ． 【点评】该题主要考查了勾股定理在几何计算、化简、求值等方面的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、计算、推理或解答． 11．（2024春•安庆期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5.1． 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得． 【解答】解：在中， ， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 特别提醒： （1）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （2）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （3）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点2：勾股定理的证明 1.勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． 2.证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点3：勾股定理的应用 1.应用条件：勾股定理的应用必须是在直角三角形中，所以要应用勾股定理,必须先找出直角三角形 2..常见的类型： ①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 知识点4：平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 知识点5：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点6：勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 注意： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点7：两点间的距离公式 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 题型归纳 【题型1 勾股定理】 满分技法 应用勾股定理时，应注意区分直角边和斜边，标注字母c的不一定就是斜边 1．（2023春•金寨县期末）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•安庆期末）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为　　 A．225 B．200 C．150 D．无法计算 3．（2024春•田家庵区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标介于　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．（2024•芜湖二模）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为　　 A．4 B． C． D．8 5．（2024春•黄山期中）如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，点，都在格点上，连接，，则　　 A． B． C． D． 【题型2 勾股定理的证明】 满分技法 (1)证明勾股定理时，找面积相等是关键. (2)组成图形的面积的两种表示方法: ①直接利用面积公式表示;②间接利用各个组成部分的面积和表示。 6．（2024春•庐阳区校级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为　　 A． B．2 C． D． 7．（2024春•芜湖期中）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是　　 A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 8．（2024春•大观区校级期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形、正方形、正方形的面积分别记为、、，若，，则　　． 9．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理． 【题型3 勾股定理的应用】 满分技法 (1)若不存在直角三角形，可以通过添加辅助线构造直角三角形. (2)在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，即建立直角三角形模型，把实际的量抽象成线段的长度，进而转化为求直角三角形的边长。 (3)勾股定理可以帮助我们计算，也可以帮助我们建立方程，还可以帮助我们证明线段之间的平方关系. (4)运用勾股定理求直角三角形的边长时，若未明确哪条边是斜边，应分类讨论 10．（2024春•庐阳区校级期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是　　 A．6米 B．8米 C．10米 D．16米 11．（2024春•蜀山区期中）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根 的距离为，梯子的顶端到地面的距离为，现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于，同时梯子的顶端下降至，那么　　 A．小于1 B．大于1 C．等于1 D．小于或等于1 12．（2024春•大观区校级期中）某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 13．（2024春•金安区校级期中）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知、、三点在一条直线上，且于点，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 14．（2024春•庐阳区校级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端到左墙角的距离为2米，顶端距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端距墙顶的距离为2米，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，． 求：（1）墙的高度； （2）竹竿的长度． 15．（2024春•庐江县期中）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.62米． （1）求风筝的垂直高度 （2）如果小明想风筝沿方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？ 【题型4 平面展开-最短路径问题】 满分技法 立体图形平面化,解决最短路径问题求立体图形上两点间的最短距离时，可先将立体图形展开，使这两点在同一个平面内，再利用勾股定理求出两点之间线段的长度.但需要注意，个立体图形的展开方式可能不止一种，要从中选出最短路径. 16．（2023秋•泗县期中）如图，圆柱高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•合肥期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 　 　． 18．（2023秋•埇桥区校级期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　 　米． 19．（2023春•花山区校级期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为 　 　米． 20．（2023春•天长市校级期中）如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出发沿棱柱的表面爬到顶点．则蚂蚁经过的最短路程 　 　． 【题型5 勾股定理的逆定理】 满分技法 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤： 第1步:比较a,b,c的大小,找出最大边长, 第2步:计算两小边长的平方和,看它是否与最大边长的平方相等.若相等,则是直角三角形,并且最大边所对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形, 21．（2024春•大观区校级期中）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•金安区校级期中）在中，、、对边是、、，哪个条件不能判断是直角三角形　　 A． B． C． D． 23．（2024春•田家庵区校级期中）中，、、分别为、、的对边，下列条件中能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 24．（2024春•黄山期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是　　 A．，， B．2，3，4 C．2，2，5 D． 【题型6 勾股数】 满分技法 勾股数满足条件： 1.三个数必须都是正整数 2.以这三个数为长度的线段能组成三角形 3.两个较小的数的平方和等于最大的数的平方 25．（2024春•庐阳区校级期中）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为　　 A． B．6，8，10 C．6，7，8 D． 26．（2024春•镜湖区校级期中）下列各组3个整数是勾股数的是　　 A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 27．（2024春•蜀山区期中）下列3个数能成为勾股数的是　　 A．6，8，9 B．1，， C．7，15，17 D．5，12，13 28．（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【题型7 两点间的距离公式】 满分技法 (1)平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关. (2)运用平面直角坐标系中两点之间的距离公式时，代入要准确. 29．（2023春•蚌山区期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为　　 A．1 B． C． D．3 30．（2023春•巢湖市校级期中）已知点的坐标为，点在轴上，当、两点间的距离最短时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 31．（2024春•安庆期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1） 代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点 　 　 的距离之和．（填写点的坐标） （2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点 　　、点 　　的距离之和．（填写点，的坐标） （3）求出代数式的最小值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/14 13:49:13；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 过关检测 1．（2024春•庐江县期中）一个直角三角形的三边长分别为，，，那么以，，为三边长的三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（2024春•铜官区校级期中）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是　　 A．10 B．52 C．68 D．92 3．（2023春•涡阳县期中）如图，在网格中，点，，都是格点（网格线的交点），则的形状是　　 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．（2024春•宣城期中）满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是　　 A．三边的边长比为 B．三边边长的平方比为 C．三个内角度数比为 D．三个内角度数比为 5．（2024春•宣城期中）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为30，则小正方形边长为　　 A．2 B． C． D． 6．（2024春•金安区校级期中）已知某直角三角形的两条直角边长的比为，若该直角三角形的周长为60，则该直角三角形的斜边长为 　 　． 7．（2024春•安庆期中）一直角三角形的三边长分别为6，8，，那么以为边长的正方形的面积为 　 　． 8．（2023秋•泗县期中）如图点、、都在方格线的交点上，则的度数是 　 　． 9．（2024春•瑶海区校级期中）（1）如图，在中，，求证：； （2）在中，，，边上的高，求边的值． 10．（2024春•镜湖区校级期中）如图，在中，，，，求． 11．（2024春•安庆期中）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$