专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 2、（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 3、（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 1、（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 3、（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： 若，则； 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； 若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 3．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 1．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 2．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 3．（21-22八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 1、（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 2、（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 3、（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知x为实数，且，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D．或3 2．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 ． 3．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 1．（2024年江苏省淮安市盱眙县第一中学中考数学模拟测试（三））关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 2．（江苏省南京市高淳区高淳区永丰中学2023-2024学年九年级上学期期中数学复习试题）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（贵州省铜仁市碧江区第十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象经过第（    ） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 4．（江苏省盐城市建湖县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 5．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期9月学情检测数学试题）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 6．（2024年江苏省南京市秦淮区中考一模数学试题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 7．（2024年江苏省泰州市靖江市中考二模数学试题）若，则M的最小值为 ． 8．（2024年江苏省南通市九年级中考模拟适应性数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 9．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期第二次阶段检测数学试题）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 10．（浙江省绍兴市诸暨市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 11．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)； (3)． 12．（2024年江苏省南京市建邺区中考数学一模试题）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 13．（江苏省常州市花园中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 14．（2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考一模数学模拟试题）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 15．（江苏省苏州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 2、（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）用配方法解方程： 【答案】，． 【分析】移常数项，加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再开方求解． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的解法是解题的关键． 3、（23-24八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程的一个根是1，求a的值； (2)在（1）的条件下，用配方法解该方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程； （1）把代入方程得出关于的方程，再求解即可； （2）把（1）问中求的值代入方程，再求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得． 整理得． 解得． ∵， ∴． 所以的值为． （2）将代入方程得． 即． 配方得． 开方得． 所以方程的解为，． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】此题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 3．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 1、（2024·广东深圳·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得： 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 3、（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： 若，则； 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； 若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ，即． 又，且， ，则方程有两个不相等的实根．故②正确． 是方程的一个根， ，即， 或．故③错误． 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期末）有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键．根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 3．（2024·浙江杭州·二模）已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键．分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】解：①当，即时，原方程化为，解得：， 即符合题意； ②当，即时， 关于的方程有实数根， 且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：D 1．（2023·河南三门峡·模拟预测）若关于x的一元二次方程有解，那么m的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组是解题的关键． 利用二次项系数为非零数及根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意得：， 解得：且． 故选：D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有解． （1）当时，方程的解为 ； （2）若m是该一元二次方程的一个根，令，则y的最大值和最小值的和为 ． 【答案】 ， 2 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，则，再利用直接开平方法求解即可； （2）根据原方程有解得出，将代入方程得出，从而得到，求出的最大值与最小值即可得解． 【详解】解：（1）当时，则， 解得，， 故答案为：，； （2）关于的一元二次方程有解， ， 得． 若是该一元二次方程的一个根，则， 得， ， 的最大值为4， ∴当取最大值时，取最大值，的最大值为． ∵的最小值为， ∴的最大值和最小值的和为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据根的判别式得到，解之即可得到答案； （2）先求出，进而解原方程得到或，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，n 为符合条件的最小整数， ∴， ∴原方程为，即， ∴，即， 解得或， ∵该方程的较大根是较小根的5倍， ∴， ∴． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 1．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（    ） A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1 C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k， ∴ ， ， 又∵， ∴a-b-1=0，即a=b+1， ∴ax2-2ax+a=0， 解得：x1=x2=1， ∴k=1， 当时，即， 即， ∴a（a-1）<0， 即或 解得0<a<1 当时，即， 即， ∴a（a-1）>0， 即或 解得：a>1或a<0． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个． 【答案】3 【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴且， 解得且， ∴方程的根为， 根据根与系数的关系可得，，且为正整数， ∴， ∵为完全平方数且为正整数， ∴或或， 解得或6或13， 即满足条件的共有3个， 故答案为：3． 3．（21-22八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”． (1)求函数的图象上所有“整根点”的坐标； (2)若一元二次方程为“整根方程”，求整数k的值； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由x是整数，当时，是一个无理数，可得，从而可得答案； （2）先利用根的判别式得到，结合题意可得，或1，2，3，4，再利用求根公式进行分析判断即可； （3）把原方程化为，可得，，则，整理，可得，即，结合、都是整数，或，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵x是整数，当时，是一个无理数， ∴时，不是整数， ∴，， 即函数的图象上的“整根点”的只有1个，坐标为． （2）∵有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵为整数， ∴或1，2，3，4， ∵原方程有两个整数根， ∴为整数， 而也为整数， ∴当时，，符合题意， 当，或2，或3时不是整数，不符合题意； 当时，，，符合题意； 综上：或． （3）∵， 则， ∴或 ∴，， ∴， 整理，可得， ∴， ∵、都是整数， ∴或， ∴或， ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴此时方程无解； 综上，可得． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一元二次方程的整数根问题，熟练的利用根的判别式，因式分解的方法，公式法解方程，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 1、（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 2、（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 3、（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知x为实数，且，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D．或3 【答案】A 【分析】设，然后将原方程变形，利用因式分解法解方程求出y的值，即可得到的可能取值，再分情况利用根的判别式判断是否符合题意即可． 【详解】解：设， 则原方程变为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， ∴或， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程有实数根，符合题意， 当时，即， 整理得， ∵， ∴方程没有实数根，不符合题意， ∴的值为4， 故选：A． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程判别式，根据题意得，整理可得，两边同时除得，由，通过换元法即可求解． 【详解】解：由题意得： 化简得： ∴ 两边同时除得： 两边同时除2得： ∵ 令， ∴可转化为， 化简得：，即，解得：， ∴， 故答案为：1． 3．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，； （2）设，代入得到． 解得，，根据，得到； （3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得． 【详解】（1）设，则， 于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，， 移项得：， ∵， ∴此方程无解， 当时，， 解得，； 故答案为：，； （2）设，则该方程变为． 解得：，． ∵ ∴，即 （3）设，则， 原方程变形为：， 去分母，得， 即 解得，．    经检验，是分式方程的根． ∴ 即 解得：，． 经检验，是分式方程的根．   ∴原分式方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 1．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为 ． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值． 【答案】(1)；． (2)17． 【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 该多项式关于对称； ， 关于对称， ； 故答案为：；． （2）， 关于对称， ， ， 当时，多项式的值为5， ， ， 时， ． 1．（2024年江苏省淮安市盱眙县第一中学中考数学模拟测试（三））关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是（      ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 2．（江苏省南京市高淳区高淳区永丰中学2023-2024学年九年级上学期期中数学复习试题）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况．一元二次方程，在实数范围内根的情况由根的判别式确定，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可． 【详解】A．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； B．∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； C．∵， ∴， ∴方程没有实数根； D．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3．（贵州省铜仁市碧江区第十一中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象经过第（    ） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，判断一次函数经过的象限．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，即，则，，进而可判断一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 4．（江苏省盐城市建湖县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（    ） A．－2 B．2 C．或2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 5．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期9月学情检测数学试题）对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 6．（2024年江苏省南京市秦淮区中考一模数学试题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，将方程整理后，根据，构建不等式求解． 【详解】解：， 整理得，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024年江苏省泰州市靖江市中考二模数学试题）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 8．（2024年江苏省南通市九年级中考模拟适应性数学模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图像在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 9．（江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2023-2024学年九年级上学期第二次阶段检测数学试题）关于的一元二次方程（为实数）有且只有一个根在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的分布情况，由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当时，得出，进而求出方程的解，判断即可得出结论，②当时，利用有且只有一个根在的范围建立不等式组，求解即可得出结论，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， ①当时，即， ∴原方程为， ∴，不满足条件； ②当时，原方程有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）有且只有一个根在的范围内， ∴Ⅰ、， ∴， Ⅱ、， ∴无解； 故答案为：． 10．（浙江省绍兴市诸暨市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题）对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 11．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（）移项，利用配方法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用配方法解答即可求解； （）根据解分式方程的一般步骤解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程和分式方程，掌握解一元二次方程的方法和解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）解：方程两边同时乘以最简公分母得， ， ∴， 解得，， 检验：当时，， 当时，， ∴，是原方程的解． 12．（2024年江苏省南京市建邺区中考数学一模试题）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法 （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）设，则原方程可化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 或， ； （2）设，则原方程可化为：， 由（1）可得：或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 13．（江苏省常州市花园中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，旁熟练掌握各自的性质是解本题的关键。 (1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可; (2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 整理得：， 解得： ； （2）∵该方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：，即， 解得：（舍去）或， 则m的值为． 14．（2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考一模数学模拟试题）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 15．（江苏省苏州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 学科网（北京）股份有限公司 $$