2.5.2 圆与圆的位置关系同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系 一、必备知识基础练 1.[探究点一][2024湖北监利月考]圆O1:(x-2)2+y2=4与圆O2:(x-4)2+y2=16的位置关系为(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.[探究点二]过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　) A.x+y+2=0 B.x+y-2=0 C.5x+3y-2=0 D.不存在 3.[探究点一][2024江苏秦淮校级期末]已知圆O1:x2+y2+4x-8y-5=0与圆O2: (x+2)2+y2=r2(r>0)只有一个公共点,则r=(　　) A.1 B.4 C.9 D.1或9 4.[探究点二][2024重庆沙坪坝校级模拟]圆C1:x2+y2+4x-2y-10=0与圆C2:x2+y2=r2(r>0)的公共弦恰为圆C1的直径,则圆C2的面积是(　　) A.2π B.4π C.10π D.20π 5.[探究点一]若圆(x+1)2+y2=4和圆(x-a)2+y2=1相交,则a的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(-4,-2)∪(0,2) C.(-4,-2) D.(-2,0)∪(2,4) 6.[探究点三](多选题)半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程可以是(　　) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36 7.[探究点三](多选题)[2024广东月考]已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-3)2+(y-3)2=4,P,Q分别是圆O,圆C上的动点,则下列说法错误的有(　　) A.圆O与圆C相交 B.|PQ|的取值范围是[3-4,3+4] C.x-y=2是圆O与圆C的一条公切线 D.过点Q作圆O的两条切线,切点分别为M,N,则存在点Q,使得∠MQN=90° 8.[探究点一][2024江西乐安校级期末]x2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1(a>0)内切,则a=　　. 9.[探究点二]已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线的方程为　　　　　　　　.  10.[探究点二] [人教B版教材习题]已知圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B两点,求AB的中点的坐标. 二、关键能力提升练 11.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　) A. B.- C.-6 D.6 12.[2024山东聊城高二统考期末]已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0内切,则C1与C2的公切线方程为(　　) A.3x-4y-5=0 B.3x-4y+5=0 C.4x-3y-5=0 D.4x-3y+5=0 13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　) A.-16 B.-9 C.11 D.12 14.(多选题)[2024江苏丹阳月考]已知圆M:x2+y2-2x-3=0,圆N:x2+y2-8x-8y+23=0,则下列选项正确的有(　　) A.直线MN的方程为4x-3y-4=0 B.若P,Q两点分别是圆M和圆N上的动点,则|PQ|的最大值为5 C.圆M和圆N的公切线有两条 D.经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为π 15.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　.  16.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　　. 17.已知圆O1:(x-m)2+(y+2)2=9与圆O2:(x+n)2+(y+2)2=1内切,则m2+n2的最小值为　　　　　. 三、学科素养创新练 18.[2024江苏徐州期末]已知圆C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圆C2:x2+y2-10x+5=0. (1)判断圆C1与圆C2的位置关系; (2)若过点(3,4)的直线l被圆C1,C2截得的弦长之比为1∶2,求直线l的方程. 答案 1.D　圆O1的圆心为O1(2,0),半径为r1=2,圆O2的圆心为O2(4,0),半径为r2=4,则两圆的圆心距为|O1O2|==2,而|r1-r2|=2, 则圆O1与圆O2的位置关系为内切.故选D. 2.A　由得x+y+2=0. 3.D　圆O1:x2+y2+4x-8y-5=0, 即(x+2)2+(y-4)2=25, 则圆心为O1(-2,4),半径为r1=5, 圆O2:(x+2)2+y2=r2(r>0), 则圆心为O2(-2,0),半径为r, 所以|O1O2|==4. 因为两圆只有一个公共点, 所以两圆外切或内切,显然两圆不能外切, 所以|O1O2|=|r1-r|,即|5-r|=4, 解得r=1或r=9.故选D. 4.D　两圆方程相减可得4x-2y-10+r2=0,此即两圆的公共弦所在直线的方程.由题意,公共弦为圆C1的直径,则圆心C1(-2,1)满足直线方程,即-8-2-10+r2=0,即r2=20,则圆C2的面积为πr2=20π.故选D. 5.B　∵圆(x+1)2+y2=4与圆(x-a)2+y2=1相交, ∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和, 即2-1<<2+1,所以1<|a+1|<3. 解得0<a<2或-4<a<-2.故选B. 6.CD　由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36,又由两圆内切,得=5, 所以a2=16,所以a=±4. 7.AC　对于A,由题意可得,圆O的圆心为O(0,0),半径r1=2,圆C的圆心为C(3,3),半径r2=2,因为两圆的圆心距|OC|=3>2+2=r1+r2,所以两圆外离,故A错误; 对于B,|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=3+4,最小值为|OC|-r1-r2=3-4,故B正确; 对于C,因为两圆的半径相等,所以公切线与圆心连线平行,由直线OC:y=x,可设公切线为y=x+t,t∈R, 则两平行线间的距离为2,即=2, 即t=±2,故y=x±2,故C错误; 对于D,易知当∠MQN=90°时,四边形OMQN为正方形, 故当|QO|=2时,∠MQN=90°,故D正确. 故选AC. 8.1　根据题意,x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径R=1,两圆的圆心距d=|a|,若两圆内切,则|a|=1,解得a=1或a=-1,由a>0,得a=1. 9.x+y-3=0　∵圆C1的圆心为C1(3,0),圆C2的圆心为C2(0,3), ∴直线C1C2的方程为x+y-3=0. 由圆的性质知AB的中垂线即直线C1C2,故其方程为x+y-3=0. 10.解 因为圆C1的圆心为C1(0,0),圆C2的圆心为C2(2,0),所以AB的中点在C1C2,即x轴上. 由 得AB的方程为4x=-2,即x=-. 所以AB的中点的坐标为. 11.C　两圆外离,则>2+4, 即(a-2)2>35, 设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx, 则=2,解得k=, 则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-, 直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0, 所以=4,解得a=-6或a=, 结合(a-2)2>35可知a=-6.故选C. 12.D　圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1, x2+y2-8x+6y+m=0可化为(x-4)2+(y+3)2=25-m(m<25), 则圆C2的圆心为C2(4,-3),半径r2=. 因为圆C1与圆C2内切,所以r2-1=|C1C2|,即r2=+1=6,故m=-11. 直线C1C2的斜率=-, 则直线C1C2的方程为y=-x. 联立 易知C1与C2的交点为, 则公切线的方程为y-,即4x-3y+5=0.故选D. 13.AD　化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为; 圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1. 要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1, 即5>+1或5<-1, 解得-25<k<-9或k>11. ∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞). 满足这一范围的有A和D. 14.AD　由题意可知,圆M:(x-1)2+y2=4的圆心M(1,0),半径r1=2, 圆N:(x-4)2+(y-4)2=9的圆心N(4,4),半径r2=3. 对于A,直线MN的方程为,即4x-3y-4=0,故A正确; 对于B,因为|MN|==5,所以|PQ|的最大值为|MN|+r1+r2=10,故B错误; 对于C,因为|MN|=r1+r2,可知圆M与圆N外切,所以两圆有三条公切线,故C错误; 对于D,当MN为圆的直径时,此时该圆为经过M,N两点的所有圆中面积最小的圆,此时圆的面积为π=π,故D正确. 故选AD. 15.2x+y-1=0　()　圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0), 则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为(1,),半径为r=. 可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-)2=, 即x2+y2-2x-y=0, 两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0. 因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,所以设P(4-2m,m). 因为PA,PB是圆C的切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+(y-)2=(2-m)2+, 又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,所以直线AB过定点(). 16.3　由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直, ∴kAB×1=-1, 即=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1). AB的中点在直线x-y+c=0上, ∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3. 17.2　∵圆O1的圆心为(m,-2),半径为r1=3,圆O2的圆心为(-n,-2),半径为r2=1, ∴两圆的圆心距d=|m+n|. ∵两圆内切,∴|m+n|=2,可得m2+n2+2mn=4⇒4-(m2+n2)=2mn≤m2+n2, ∴m2+n2≥2,当且仅当|m|=|n|=1时,等号成立,故m2+n2的最小值为2. 18.解 (1)圆C1:(x+1)2+(y-3)2=5的圆心为C1(-1,3),半径为r=, 圆C2:(x-5)2+y2=20的圆心为C2(5,0),半径为R=2. 因为|C1C2|==3=R+r, 所以圆C1与C2的位置关系为外切. (2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=3,与圆C1相离,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-3)+4,则点C1,C2到l的距离分别为,所以l被圆C1,C2截得的弦长分别为2,2, 因为弦长之比为1∶2,所以2×2=2, 即4(1-4k)2=(2k+4)2,解得k=1或k=-, 经检验,k=1,k=-均符合题意. 所以直线l的方程为x-y+1=0或x+5y-23=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$