2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3　点到直线的距离公式--2.3.4　两条平行直线间的距离 一、必备知识基础练 1.[探究点二][2024广西玉林高二统考期末]已知两条直线l1:3x-4y+6=0,l2:3x-4y-4=0,则这两条直线之间的距离为(　　) A.2 B.3 C.5 D.10 2.[探究点一][2024河北武安校级开学]已知A(4,0)到直线4x-3y+a=0的距离等于3,则a的值为(　　) A.-1 B.-13或-19 C.-1或-31 D.-13 3.[探究点二][2024河南南阳高二校联考阶段练习]若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a=(　　) A.2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2 4.[探究点二][2024安徽黄山模拟预测]若直线2x-y-3=0与4x-2y+a=0之间的距离为,则a的值为(　　) A.4 B.-6 C.4或-16 D.8或-16 5.[探究点一][2024吉林船营校级月考]已知直线l:kx-y-3k+1=0,当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为(　　) A.2 B. C. D.2 6.[探究点一](多选题)[2024海南儋州校级期末]若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离是,则点P的坐标可能为(　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-1,2) 7.[探究点一][2024上海浦东新区校级期末]若原点到直线l:ax+y+8=0的距离为4,则a的值是　　　　　. 8.[探究点一]求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程. 9.[探究点二]直线l经过两直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且与直线l1:x+y-6=0平行. (1)求直线l的方程; (2)若点P(a,1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等,求实数a的值. 二、关键能力提升练 10.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0 11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 12.(多选题)[2024辽宁沈河校级月考]已知点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d,则d的可能取值是(　　) A.0 B.1 C. D.4 13.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m=　　　　　,此时直线l1与l2之间的距离为　　　　　.  14.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　.  15.已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点. (1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程; (2)求△OAB面积的最小值. 16.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1<m<4),求当m为何值时,△ABC的面积S最大. 三、学科素养创新练 17.已知x+y-3=0,则的最小值为　　　　　.  答案 1.A　由题可得,直线l1与直线l2平行,则两条直线之间的距离为d==2.故选A. 2.C　由距离公式可得,=3, 即|a+16|=15,解得a=-1或a=-31.故选C. 3.A　因为直线l1:x+(a-1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0平行, 可得1×2=(a-1)×a且1×1≠2a,解得a=2或a=-1. 当a=2时,l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即l1:2x+2y+4=0, 则两平行线间的距离为d=,符合题意; 当a=-1时,l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即l2:x-2y-1=0, 则两平行线间的距离为d=,不符合题意,舍去.故选A. 4.C　将直线2x-y-3=0化为4x-2y-6=0, 则直线2x-y-3=0与直线4x-2y+a=0之间的距离d=, 即|a+6|=10,解得a=4或a=-16, 所以a的值为4或-16.故选C. 5.C　直线l:kx-y-3k+1=0,即k(x-3)-y+1=0, 令解得即直线l恒过定点(3,1), 故当k变化时,O(0,0)到直线l的最大距离为.故选C. 6.AC　设P点坐标为(a,5-3a), 由题意知,解得a=1或a=2, 故P点坐标为(1,2)或(2,-1).故选AC. 7.±　由原点(0,0)到直线l:ax+y+8=0距离为4,得=4,解得a=±. 8.解 (方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k. 又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等, 得,解得k=0或k=1. ∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0. (方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等. ∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2), ∴直线l的方程是x-y+2=0. ②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等. ∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0, ∴直线l的方程为y=2. 综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2. 9.解 (1)由解得 即两直线交点坐标为(1,6). ∵直线l1:x+y-6=0的斜率k1=-1, ∴直线l的斜率k=-1. ∴直线l的方程为y-6=-(x-1),即x+y-7=0. (2)由题意得, 整理得|a-6|=1,解得a=7或a=5. 10.A　根据题意得,所求直线与直线OA垂直, 因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-. 所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 11.B　由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2). ∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上, ∴y=1-2x,∴|MP|=, 故当x=-时,|MP|取得最小值.故选B. 12.AB　直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ, 整理得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0, 所以解得 故直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ表示过点Q(1,1)除直线3x+2y-5=0的所有直线. 由于P(-2,-1), 所以|PQ|=, 且kPQ=, 则直线PQ与直线3x+2y-5=0垂直, 所以点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离的取值范围为[0,).故d的可能取值为0,1.故选AB. 13.-　∵直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,∴-=3,∴m=-, 故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0. 则直线l1与l2之间的距离为. 14.3　由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3. 15.解 (1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d==4,解得k=-. 故直线l的方程为-x-y-4×(-)+3=0,即7x+24y-100=0. (2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,所以A(-+4,0),B(0,-4k+3). 则△OAB的面积S=|OA|·|OB|=×(-+4)×(-4k+3)=(--16k+24). 由题意可知k<0,则--16k≥2=24,当且仅当k=-时,等号成立. 故△OAB面积的最小值为×(24+24)=24. 16.解 ∵A(1,1),C(4,2),∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0. 根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=, ∴S=|AC|·d=|m-3+2|=. ∵1<m<4,∴1<<2⇒-, ∴0≤2<, ∴当m=时,△ABC的面积S最大. 17.　设P(x,y),A(2,-1),则点P在直线x+y-3=0上,且=|PA|. |PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=. 学科网（北京）股份有限公司 $$