1.4 二次函数的应用（7大题型提分练）数学浙教版九年级上册

1.4 二次函数的应用 知识点一 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 【注意】在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点二 二次函数与图形面积的最值问题 ★2、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. ★2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点三 二次函数与商品利润 ★1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ★2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点四 抛物线型的实际问题 ★1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ★2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 题型一 二次函数与面积问题 解题技巧提炼 在解答有关利用二次函数求几何图形的最大（小）面积或（体积）的问题时，应遵循以下的规律： （1）利用几何图形的面积或（体积）公式得到面积或（体积）的二次函数解析式.（2）由已得到的二次函数解析式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案. 1．（2023秋•宿松县期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 【分析】因为x＝1时，面积最大，为1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为1.5米，从而得出a的值． 【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5， ∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米， 根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米）， ∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用．从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法． 2．（2024•红桥区二模）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH．已知AD＝20m，AB＝40m，有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是360m2． ②种花的面积的最大值为450m2． ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】设AE＝x m，则ED＝（20﹣x），BF＝（40﹣x），根据铺设草坪的面积＝四个三角形面积之和列出方程，解方程可以判断①；设种花的面积为y m2，根据种花的面积＝矩形面积﹣铺设草坪的面积列出函数解析式，由函数的性质求出函数最值，从而判断②；根据种花的面积＝432列方程，解方程可以判断③． 【解答】解：设AE＝x m，则ED＝（20﹣x），BF＝（40﹣x）， 根据题意得：2（40﹣x）（20﹣x）+2x2＝360， 方程整理得：x2﹣30x+220＝0， 解得：x1＝15，x2＝15， ∴铺设草坪的面积可以是360m2； 故①正确； 设种花的面积为y m2， 则y＝20×40﹣2（40﹣x）（20﹣x）﹣2x2 ＝800﹣800+60x﹣2x2 ＝﹣2x2+60x ＝﹣2（x﹣15）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝15时，y有最大值，最大值为450， 故②正确； 根据题意得：﹣2x2+60x＝432， 解得x1＝12，x2＝18， ∴AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432m2． 故③正确． 故选：D． 【点评】此题考查了一次函数和一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 3．（2023•石家庄模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（　　） A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2 【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，由直角三角形的，性质得出BEBC＝（6x）m，得出AD＝CEBE＝（6x）m，AB＝AE+BE＝x+6x＝（x+6）m，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E， 则四边形ADCE为矩形， ∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°， 设CD＝AE＝xm， 则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m， 在Rt△CBE中，∠CEB＝90°， ∴BEBC＝（6x）m， ∴AD＝CEBE＝（6x）m，AB＝AE+BE＝x+6x＝（x+6）m， ∴梯形ABCD面积S（CD+AB）•CE （xx+6）•（6x） x2+3x+18 （x﹣4）2+24， ∴当x＝4时，S最大＝24． 即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2； 故选：C． 【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 4．（2024•牙克石市一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据AE＝x，得出AH＝BE＝AB﹣AE＝4﹣x，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【解答】解：（1）∵在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形， 在△AEH中，AE＝x，AH＝BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∠A＝90°， ∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH ＝2x2﹣8x+16； （2）正方形EFGH的面积为：y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8（0＜x＜4）， ∴当x＝2时，y有最小值8，即四边形EFGH的面积最小为8． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． 5．（2023秋•双阳区期末）某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直于墙的一边长为x米． （1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． （2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 【分析】（1）用x表示出矩形另一边的长，再利用“矩形实践基地的面积为160平方米”列方程解出即可； （2）列出矩形实践基地的面积与垂直于墙的边长x间的函数关系式，即可求出这个基地的面积最大时，垂直于墙的边长x，以及这个面积的最大值． 【解答】解：（1）∵垂直于墙的一边长为x米，三边用长为36米的篱笆围成， ∴平行于墙的一边长为（36﹣2x）米， 根据题意，得x（36﹣2x）＝160， 解得x1＝8，x2＝10， 当x1＝8时，36﹣2x＝20＞19，不合题意，舍去； 当x2＝10时，36﹣2x＝16，符合题意， 答：垂直于墙的边长为10米； （2）设矩形实践基地的面积为y平方米， 根据题意，得y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162， ∵﹣2＜0， ∴当x＝9时，y取最大值，最大值为162米2． 答：垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积是162米2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 6．（2024春•渠县校级月考）某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 【分析】（1）由篱笆长28米，根据矩形的面积即可得出S关于x的函数关系式，再根据题意可求出自变量的取值范围； （2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可知：S＝x•（28﹣3x+2）＝﹣3x2+30x， 根据题意得2＜28﹣3x+2≤12，即， ∴S与x之间的函数关系式为：， （2）S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75， 当x＞5时，S随x的增大而减小， 而， ∴当x＝6时，S有最大值，此时S＝72， 即：当x＝6时，鸡舍的面积S有最大值，最大值为72． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 7．（2024•商南县三模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 如何设计纸盒？ 选择“素材1”“素材2”设计了实验活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒. 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 设折成的无盖纸盒的侧面积为S，剪掉的小正方形的边长为a． （1）求S与a之间的函数表达式； （2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 【分析】（1）依据题意，四个侧面都是相等的长方形，其长为（40﹣2a）cm，宽为a cm，则可求得S与a之间的函数表达式； （2）依据题意，由（1）中函数表达式，根据二次函数的性质计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意，折成的无盖长方体的四个侧面都是相等的长方形，其长为（40﹣2a）cm，宽为a cm， ∴S＝4a（40﹣2a）＝﹣8a2+160a． （2）由（1），S＝4a（40﹣2a）＝﹣8a2+160a＝﹣8（a﹣10）2+800． ∵﹣8＜0， ∴当a＝10时，S有最大值，且最大值为800． 答：S有最大值，最大值为800cm2，剪掉的小正方形的边长为10cm． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数 的性质是关键． 题型二 简单销售问题中的利润问题 解题技巧提炼 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 1．（2024•红桥区三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系y＝﹣x+120．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．3 【分析】①根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，求出自变量x的取值范围即可判断①； ②依题意求出w与x的函数表达式．将二次函数的解析式配方后即可确定最值，从而判断②； ③由w＝500推出x2﹣180x+7200＝0，解出x的值即可判断③． 【解答】解：∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%， ∴0≤x﹣60≤60×45%， ∴60≤x≤87， 故①错误，不符合题意； 设服装店销售这种服装可获得的利润为w元， 则w＝（x﹣60）•（﹣x+120） ＝﹣x2+180x﹣7200 ＝﹣（x﹣90）2+900， ∵﹣1＜0， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大， ∵60≤x≤87， ∴当x＝87时，w最大，最大值﹣（87﹣90）2+900＝891， 故②正确，符合题题； 当w＝500时，则（x﹣60）•（﹣x+120）＝500， 解得x1＝70，x2＝110（不合题意舍去）． ∴销售单价应定为70元， 故③错误，不符合题意． 故正确的个数为1， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数解决实际问题是初中阶段重点题型，同学们应重点掌握． 2．（2024•汶上县二模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元 【分析】将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+80x+758＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∴二次函数的对称轴为x＝20，开口向下， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤19， ∴x＝19时，y取最大值， 此时y＝﹣2×（19﹣20）2+1558＝1556， 即一周可获得最大利润是1556元， 故选B． 【点评】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，注意自变量的范围是解题的关键． 3．（2024•江阴市模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获得最大利润，生产数量应为（　　） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 【分析】根据生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数以及表格中的数据，得到生产成本和销售价格的表达式，进而根据利润＝每件产品的利润×生产数量，把相关数值代入可生产利润得关于生产数量的二次函数，进而根据二次函数的性质可得生产数量为多少时，利润最大． 【解答】解：设生产数量为x万件，生产成本为y1元/件，销售价格为y2元/件． ∵生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， ∴设y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2． ∵（1，9），（2，8）符合y1， ∴， 解得：． ∴y1＝﹣x+10． ∵（1，16），（2，14）符合y2， ∴． 解得：． ∴y2＝﹣2x+18． 设生产利润为w，则w＝[（﹣2x+18）﹣（﹣x+10）]x ＝（﹣x+8）x ＝﹣x2+8x． ∵﹣1＜0， ∴当x4时，利润最大． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据所给题意得到生产成本和销售价格的表达式是解决本题的易错点；得到生产利润的相等关系是解决本题的关键． 4．（2024•南昌一模）某工厂生产某种体育器材，生产这种体育器材每件的成本y（元）与产量x（件）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝960；当x＝190时，y＝840． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）该工厂计划生产这种体育器材不超过300件，且每件的成本不超过800元，已知这种体育器材每件的售价为1200元，且全部售出，求当产量为多少件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意写出利润关于生产这种体育器材的解析式，然后根据200≤x≤300，根据二次函数的性质求出利润的最大值． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0）， 依题意得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+1600； （2）设该工厂生产这种体育器材的利润为W元， 依题意得：W＝[1200﹣（﹣4x+1600）]•x＝4x2﹣400x， 由题意可知，x≤300，y≤800， ∴， ∴200≤x≤300， ∵w＝4x2﹣400x， 对称轴x50， ∵a＝4＞0， x的取值范围在对称轴右侧， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝300时，W最大，最大值为4×3002﹣400×300＝360000﹣120000＝240000， 答：求当产量为300件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，最大利润为240000元． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，列出方程． 5．（2024•夏邑县校级一模）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：y＝﹣2x+220； （2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得： w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800， ∵﹣2＜0，函数有最大值， ∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800， 故销售单价定为80元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润1800元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键． 4．（2024•湖北模拟）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 【分析】（1）由题意得，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式； （2）令w＝1500，解方程即可； （3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． 【解答】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）（﹣10x+500）或w＝﹣10x2+650x﹣7500， ∵15≤x≤15（1+60%）， ∴15≤x≤24， ∴w＝﹣10x2+650x﹣7500（15≤x≤24）． （2）令w＝1500，即﹣10x2+650x﹣7500＝1500， 解得：x1＝20，x2＝45． ∵15≤x≤24， ∴x＝20， 答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元； （3）w＝﹣10x2+650x﹣7500， 对称轴直线． ∵a＝﹣10＜0， ∴抛物线开口向下． ∵其对称轴为直线， ∴当x＝24时，w最大， 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润． 【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 7．（2023秋•武威期末）我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2021年国庆节游客人数约为3万，2023年国庆节游客人数约为4.32万． （1）求2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． （2）已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 80元/人 60元/人 120元/人 据预测，2024年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有400名原计划购买甲种门票的游客和600名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【分析】（1）设2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为x，则2023年该风景区国庆节游客人数人为3（1+x）2，根据2023年国庆节游客人数约为4.32万人，再列方程，解方程可得答案； （2）设丙种门票价格下降m元，该风景区国庆节的门票总收入为W万元，，再列出W与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可． 【解答】解：（1）设2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为x， 由题意，得3（1+x）2＝4.32， ∴（1+x）2＝1.44， 解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%． （2）设丙种门票价格下降m元，该风景区国庆节的门票总收入为W万元， 由题意，得： W＝80（2﹣0.04m）+60（2﹣0.06m）+（120﹣m）（2+0.04m+0.06m）， 化简，得W＝﹣0.1（m﹣16）2+545.6， ∵﹣0.1＜0， ∴当m＝16时，W取最大值，为545.6万元． 答：当丙种门票价格下降16元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是545.6万元． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键． 题型三 “每…每…”的销售利润问题 解题技巧提炼 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 1．（2023•雁塔区校级模拟）农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 【分析】设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，根据题意得，y＝﹣2（x﹣70）2+1800，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元， 根据题意得，y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800， 答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 2．（2024•南开区二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出当降价为3元时，每星期可卖出的件数，从而可以判断①；再根据每星期的利润为6120元，可以列出方程，求出相应的售价，从而可以判断②；再写出利润和售价的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值，即可判断③． 【解答】解：由题意可得， 当降价为3元时，每星期可卖300+3×20＝360（件），故①正确，符合题意； 当每星期的利润为6120元时，设售价为x元， 则（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝6120， 解得x1＝57，x2＝58， 即每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为57元或者58元，故②错误，不符合题意； 设利润为w元，售价为m元， 则w＝（m﹣40）[300+20（60﹣m）]＝﹣20（m）2+6125， ∴当m时，w取得最大值6125， ∵6125＜6250， ∴③中的说法是错误的，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 3．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）依据题意，设每次上涨的百分率为m，再由题意列出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个售价为x元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可列出关于x的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：80（1+m）2＝125， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为25%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）] ＝（x﹣70）（700﹣5x） ＝﹣5x2+1050x﹣49000 ＝﹣5（x﹣105）2+6125． ∴当x＝105时，每天的最大利润为6125． ∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． 4．（2024•双流区模拟）世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）依据题意，设售价定为x元，则（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]＝4320，解方程进而计算可以得解； （2）依据题意，设售价定为a元，则每天的利润＝（a﹣20）[400﹣20（a﹣30）]＝﹣20（a﹣35）2+4500，进而结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设售价定为x元， 则（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]＝4320． ∴x＝32或x＝38． ∵为了尽快清空库存， ∴x＝32． 答：售价应定为32元． （2）由题意，设售价定为a元， ∴每天的利润＝（a﹣20）[400﹣20（a﹣30）] ＝（a﹣20）（1000﹣20a） ＝﹣20a2+1400a﹣20000 ＝﹣20（a2﹣70a+1225）+4500 ＝﹣20（a﹣35）2+4500． ∵﹣20＜0， ∴当a＝35时，每天的利润最大，最大值为4500元． 答：销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润为4500元． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•宜昌模拟）商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克（x≥24），每天销售量为y千克，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意销售量＝320﹣20（售价﹣24）可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式，进而得出w与x的额函数解析式； （2）根据w＝1500代入w＝﹣20x2+1200x﹣16000，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得，y＝320﹣20（x﹣24）＝800﹣20x， w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（800﹣20x）＝﹣20x2+1200x﹣16000， ∴y与x的函数解析式是y＝800﹣20x，w与x的函数解析式w＝﹣20x2+1200x﹣16000； （2）∵每天销售利润为1500元， ∴﹣20x2+1200x﹣16000＝1500， 解得x1＝25，x2＝35， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； （3）∵w＝﹣20x2+1200x﹣16000＝﹣20（x﹣30）2+2000， ﹣20＜0， ∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝2000， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． 6．（2023秋•潼南区期末）“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元． （1）求每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设超市每月销售柠檬即食片获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w稳定在900元，销售单价应定为多少元？ 【分析】（1）依据题意，设销售单价x元，再由每月销售量y＝200﹣20（x﹣14），进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）得，超市每月销售柠檬即食片获得利润为w＝（x﹣10）（480﹣20x）＝﹣20x2+680x﹣4800，再由二次函数的性质可以判断得解； （3）依据题意，结合（2）所得函数关系式，令﹣20x2+680x﹣4800＝900，即而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设销售单价x元， ∴每月销售量y＝200﹣20（x﹣14）． 又销售单价不得低于进价且不得高于18元， ∴每月销售量y＝480﹣20x（10≤x≤18）． （2）由题意，结合（1）得， 超市每月销售柠檬即食片获得利润为w＝（x﹣10）（480﹣20x） ＝﹣20x2+680x﹣4800． ∵10≤x≤18且对称轴为直线x＝17， ∴当 x＝17 时，w最大为980． ∴当销售单价定为17元时，每月获得最大利润为980元． （3）由题意得：﹣20x2+680x﹣4800＝900 整理得：x2﹣34x+285＝0 解得：x＝15 或 x＝19． ∵10≤x≤18， ∴x＝15． ∴当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于1590元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售10条，写出y与x的函数关系式； （2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据总利润等于1590+500，得出关于x的方程，求得方程的解，根据二次函数的性质及问题的实际意义，可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得： y＝100+10（80﹣x） ＝﹣10x+900， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+900； （2）由题意，得： w＝（x﹣60）（﹣10x+900） ＝﹣10x2+1500x﹣54000 ＝﹣10（x﹣75）2+2250， ∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴w有最大值，即当x＝75时，w最大值＝2250， ∴当售价75元时，每月获得最大利润为2250元； （3）由题意得： ﹣10（x﹣75）2+2250＝1590+500， 解得x1＝71，x2＝79， ∵抛物线w＝﹣10（x﹣75）2+2250开口向下，对称轴为直线x＝75， ∴当71≤x≤79时，符合该网店要求， ∵要让消费者得到最大的实惠， ∴x＝71． ∴当销售单价定为71元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型四 利用二次函数解决方案设计问题 解题技巧提炼 方案设计问题的一般思路：找出当函数值y满足条件时，对应自变量x的几种情况，需根据函数的性质和不等式（组）等知识求解，从而得到不同的方案，进而可以从中找出最优方案． 1．（2024•新市区模拟）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x为多少m2时，y是35元/m2； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【分析】（1）先求出当200≤x≤600时，y与x的函数关系式，然后将y＝35代入求出相应的x的值即可； （2）分别讨论两段对应的W的最小值，然后比较大小即可解答本题． 【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（200，20），（60，40）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当200≤x≤600时，y与x的函数关系式为y＝0.05x+10， 当y＝35时，35＝0.05x+10， 解得x＝500， 即当x为500m2时，y是35元/m2； （2）由题意可得， 当200≤x≤600时，W＝x（0.05x+10）+50（1000﹣x）＝0.05（x﹣400）2+42000， ∴当x＝400时，W取得最小值42000，此时1000﹣x＝600； 当600＜x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000， ∴当x＝700时，W取得最小值43000，此时1000﹣x＝300； ∵42000＜43000， ∴当种植甲种蔬菜400m2，乙种蔬菜600m2时，使W最小． 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 2．（2023•修武县一模）乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表： 新鲜羊肚菌（千克） 干羊肚菌（千克） 总价值（元） 第一次收购 1000 300 152000 第二次收购 800 500 184000 （1）求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价； （2）由于出场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设新鲜羊肚菌的收购价格为x元/千克，干羊肚菌的收购价格为y元/千克，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设该批发商购买新鲜羊肚菌a千克，则购买干羊肚菌（1500﹣a）千克，所获利润为w元，根据题意列出w关于a的函数解析式，由收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一求出a的取值范围，然后根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）设新鲜羊肚菌的收购价格为x元/千克，干羊肚菌的收购价格为y元/千克， 根据题意可得，， 解得，， 答：新鲜羊肚菌的收购价格为80元/千克，干羊肚菌的收购价格为240元/千克； （2）设该批发商购买新鲜羊肚菌a千克，则购买干羊肚菌（1500﹣a）千克，所获利润为w元， 则w＝（100﹣80）a+（280﹣240）（1500﹣a）＝20a+60000﹣40a＝﹣20a+60000， ∵1500﹣aa， ∴a≥1125， ∵k＝﹣20＜0， ∴w随a的减小而增大， ∴当a＝1125时，w有最大值，最大值为﹣20×1125+60000＝37500（元）． 答：该批发商购买购买新鲜羊肚菌1125千克，干羊肚菌375千克时能使利润最大，最大利润是37500元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024春•湘潭县校级月考）为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系： 型号 金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额x（万元） x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） y1＝kx 2 2.4 3.2 （1）分别求出y1和y2的函数表达式； （2）某农户准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．设其共获得政府补贴金额为y万元，求y与其购买Ⅰ型收割机投资金额x的函数关系式．并请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据y＝y1+y2得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可． 【解答】解：（1）设y1＝kx，将（5，2）代入得：2＝5k， 解得：k＝0.4， ∴， 设，将（2，2.4），（4，3.2）代入得： ， 解得：a＝﹣0.2，b＝1.6， ∴． （2）假设投资购买I型用x万元、则购买II型用了（10﹣x）万元， ∴ ， ∴当x＝7时，y有最大值万元， ∴当购买I型用7万元、II型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为万元． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题． 4．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求该商品原来的进价； （2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元； （3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【分析】（1）利用销量×每件利润＝总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； （3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案． 【解答】解：（1）设该商品原来的进价为x元． 由题意：30，解得x＝20， 答：该商品原来的进价为20元． （2）设提价x元， 根据题意得：（25+x﹣20）（250﹣10x）＝2000， 解得x＝15或5， ∵销量尽可能大， ∴x＝5， ∴商品的售价是每件30元． （3）w＝（25+x﹣20）（250﹣10x）＝﹣10x2+200x+1250＝﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）； ∵﹣10＜0， 抛物线对称轴是直线x＝10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小， 方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5， 当x＝5时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×52+200×5+1250＝2000（元）， 方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16， 解得：x≥11， 则11≤x≤25， 故当x＝11时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×112+200×11+1250＝2240（元）， ∵2240＞2000， ∴综上所述，方案B最大利润更高． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键． 5．（2024•西山区一模）凭借优越的自然环境，中国云南已经成为世界主要的花卉种植区，地球上所有花卉都可以在云南找到最佳的生长环境．云南某地计划将其900m2的土地用于种植甲乙两种花卉、设甲种花卉种值面积为x m2，每平方米的种植成本y元，经调查发现：y与x的函数关系如图所示，其中150≤x≤750；乙种花卉每平方米的种植成本为50元． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该地2024年种植甲、乙两种花卉的总成本为W元，当150≤x≤600时，如何分配两种花卉的种植面积使W的值最小． 【分析】（1）依据题意，当150≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤750时，直接根据图象可以判断得解； （2）当150≤x≤600时，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600＜x≤750时，W＝﹣10x+50000，由一次函数的性质得当x＝700时，W有最小值为43000，然后比较即可． 【解答】解：（1）当150≤x≤600时，设甲种花卉种植成本y与其种植面积x的函数关系式为y＝kx+b， 把（150，30），（600，60）代入得：， ∴． ∴当150≤x≤600时，y与x的函数关系式为yx+20． 又由题意，当600＜x≤750时，y＝60， ∴所求函数关系式为y． （2）当150≤x≤600时， W＝x（x+20）+50（900−x）x2﹣30x+45000 （x−225）2+41625． ∵0， ∴抛物线开口向上． ∴当x＝225时，W有最小值，最小值为41625， 此时，900﹣x＝900﹣225＝675． 当600＜x≤750时，W＝60x+50（900﹣x）＝10x+45000， ∵10＞0， ∴此时，y随x的增大而增大． 又当x＝600时，W＝10×600+45000＝51000， ∴此时w＞51000． ∵41625＜51000， ∴当种植甲种花卉的种植面积为225m2，乙种蔬菜的种植面积为675m2时，W最小． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是用待定系数法正确求出一次函数关系式，找出数量关系，正确求出二次函数关系式和找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型五 利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题 解题技巧提炼 ①建立适当的直角坐标系； ②将已知条件转化为点的坐标； ③合理设出函数解析式； ④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式； ⑤利用函数解析式解决问题． 1．（2024•南开区一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m．有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ②当水面下降1m时，水面宽度为； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设出二次函数解析式，把点C、B的坐标代入后可得二次函数解析式． ①水面宽度为5m，根据二次函数的对称性可得x＝2.5，代入二次函数解析式可得y的值，求出y的绝对值即为水面下降的高度； ②水面下降1m，取y＝﹣1，求得x的两个值，让较大的数减去较小的数即可求得水面的宽度； ③水面下降2m，取y＝﹣2，求得x的两个值，让较大的数减去较小的数即可求得水面的宽度，减去原来水面的宽度即为水面增加的宽度； 求得以上数据后即可判断正确的选项有几个． 【解答】解：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． 由题意得：点C的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0）． 设抛物线解析式为：y＝ax2+k． ∴． 解得：． ∴抛物线解析式为：yx2+2． ①当水面宽度为5m时，x＝2.5． ∴y2＝﹣1.125． ∵|﹣1.125|＝1.125， ∴当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m． 故①正确，符合题意； ②当水面下降1m时，y＝﹣1． ∴x2+2＝﹣1． 解得：x＝±． ∴水面宽度为：（）＝2（m）． 故②正确，符合题意； ③当水面下降2m时，y＝﹣2． ∴x2+2＝﹣2． 解得：x＝±2． ∴水面宽度为：2（﹣2）＝4（m）． ∴水面宽度增加了（44）m． 故③正确，符合题意； ∴正确的有3个． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：若二次函数的对称轴为y轴，可设二次函数的解析式为：y＝ax2+k（a≠0）；纵坐标相等的两点之间的距离等于表示两点的横坐标的数的差的绝对值或较大的横坐标表示的数减去较小的横坐标表示的数． 2．（2024•福田区校级模拟）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可． 【解答】解：∵AB＝36米， ∴当x＝18时，y182＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4x2， 解得x＝±12， 此时水面宽CD＝24（m）， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 3．（2024•二道区校级模拟）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 　 　米． 【分析】根据题意求出抛物线解析式，再求出落水点的坐标，从而推出平移后的落水点坐标，再利用待定系数法求出平移距离即可． 【解答】解：根据题意，抛物线顶点坐标为（3，5），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+5，将点（0，3.2）代入解析式得： a（0﹣3）2+5＝3.2， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x﹣3）2+5， 当y＝0时，0（x﹣3）2+5， 解得x1＝8，x2＝﹣2， ∴落水点为（8，0）， 由题意可知图象上下平移水柱形状不变，设平移后抛物线解析式为y（x﹣3）2+5+b， ∵调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米， ∴落水点坐标为（7，0），将坐标代入解析式得： （7﹣3）2+5+b＝0，解得b， ∴喷水管需要向下平移米． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键． 4．（2024•泾阳县模拟）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点．小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长BC＝3m，宽OB＝2m，门窗最高点D与地面垂直距离为3m，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为2.5m，请求出两个灯笼的水平距离．（结果保留根号） 【分析】（1）由题意知抛物线顶点D坐标，设二次函数解析式为：，把B（0，2）代入求解； （2）当y＝2.5时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【解答】解：（1）由题意知抛物线顶点D坐标， 则抛物线的函数表达式为：， 把B（0，2）代入得：， ，∴， ∴； （2）由题意知：， 解得，， ∴两灯笼的水平距离：米． 【点评】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（2024•韩城市二模）某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知OA＝4米，点P的坐标为（1，）． （1）求该抛物线形水柱满足的函数关系式； （2）为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高MN为米的墙（NM⊥x轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（OM＝4米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离CN、BM的值． 【分析】（1）依据题意，由点P的坐标为 ，故可设抛物线满足的函数关系式为 ，再结合A（0，4），进而代入计算可以得解； （2）依据题意，在 中，令 y＝0，从而可得B（3，0），结合OM＝4，可得墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米，又MN⊥x轴，M（4，0），，可得点C的纵坐标为，再令，求出C的坐标，然后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵点P的坐标为 ， ∴可设抛物线满足的函数关系式为 ． ∵OA＝4， ∴A（0，4）， ∴． ∴． ∴抛物线满足的函数关系式为． （2）由题意，在 中，令 y＝0， ∴x1＝﹣1 （舍去），x2＝3． ∴B（3，0）． ∴OB＝3． ∵OM＝4， ∴M（4，0）． ∴BM＝1，即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米． ∵MN⊥x轴，M（4，0），， ∴． ∴点C的纵坐标为． 在 中，令， ∴ 舍去），． ∴． ∴，即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为 米． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 6．（2024•河南模拟）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？ 【分析】（1）依据题意，可得P、B的坐标，再结合待定系数法计算可以得解； （2）依据题意，由平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米，可得E、F的纵坐标为9，又抛物线为y（x﹣5）2+10，令y＝9，可得9（x﹣5）2+10，进而求出x后可判断得解． 【解答】解：（1）由题意可得，顶点P为（5，10）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+10． 又过点B（10，1）， ∴1＝a×52+10． ∴a． ∴抛物线的解析式为y（x﹣5）2+10． （2）由题意，∵平行线段EF与BC之间的距离为8米，AB＝1米， ∴E、F的纵坐标为9． 又抛物线为y（x﹣5）2+10， ∴令y＝9，可得9（x﹣5）2+10． ∴x或x． ∴点E与隧道左壁OC之间的距离为米． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 7．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 【分析】（1）根据OA＝3m，OB＝6m．将c＝3，B（6，0）代入y＝ax2+x+3中，从而求出函数解析式； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3），从而表示出CD＝a，ACa2+a，再根据CD＝4AC，列出关于a的方程解答即可． 【解答】解：（1）由题意知：OA＝3m，OB＝6m． ∴c＝3，B（6，0）， 将B点坐标代入y＝ax2+x+3中， 得：36a+6+3＝0， 解得：a， ∴函数关系式为：yx2+x+3； （2）设点D的坐标为（a，a2+a+3）， ∴CD＝a，AC＝3﹣（a2+a+3）a2﹣a， ∵CD＝4AC， ∴a＝4（a2﹣a）， 解得：a＝5， ∴52+5+3＝1.75，﹣ ∵1.75＞1.65， ∴拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解答本题的关键． 题型六 利用二次函数解决运动类问题 解题技巧提炼 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可. 1．（2024•永寿县模拟）运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度y（单位，m）与水平距离x（单位，n）近似地满足函数关系y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）该函数的图象与y轴交于点A（0，1.8），顶点为B（4，3.4），下列说法错误的是（　　） A．a＝﹣0.1 B．该铅球飞行到最高点时，铅球离y轴的水平距离是4m C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是3.4m D．此次训练，该铅球落地点离y轴的距离小于9m 【分析】根据题意，求出函数解析式，然后增项判断即可． 【解答】解：根据题意抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4， 把A（0，1.8）代入＝a（x﹣4）2+3.4得， 1.8＝a（﹣4）2+3.4，\ 解得a＝﹣0.1， 故A正确，不符合题意； ∵顶点为B（4，3.4）， ∴该铅球飞行到最高点时，铅球离y轴的水平距离是4m，铅球在运动过程中距离地面的量大高度是3.4m， 故B、C正确，不符合题意； 令y＝0，则﹣0.1（x﹣4）2+3.4＝0， 解得x1＝4，x2＝4（舍去）， ∴该铅球落地点离y轴的距离为49， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 2．（2024•盂县二模）掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表： 水平距离x/m 0 2 4 6 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.2 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【分析】依据题意，根据表格可得抛物线的对称轴及顶点，进而结合待定系数法求出解析式，再令y＝0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，可得抛物线的对称轴是直线x4， ∴顶点为（4，3.6）． 故可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把（0，2）代入， 得a（0﹣4）2+3.6＝2． ∴a＝﹣0.1． ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6． 令y＝0， ∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0． ∴﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， ∴x1＝10或x2＝﹣2（不符合题意，舍去）． ∴实心球从起点到落地点的水平距离为10米． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． 3．（2024•下城区校级模拟）根据2024年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 1 3.5 7 竖直高度y/m 1.8 2.4 3.025 1.8 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式． （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由． （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式y＝ax2+bx+c上可以理解为保持b，c值不变，调整a值．求能使得小刚得到满分的a的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令y＝0代入解析式求出x值与10比较即可得到结论； （3）设调整后抛物线解析式为y＝ax2+0.7x+1.8，当x＝10时，y＝100a+8.8，令100a+8.8≥0，求出a的取值范围即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a1x2+b1x+c1，由表中数据可得： ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.1x2+0.7x+1.8． （2）当y＝﹣0.1x2+0.7x+1.8＝0时，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝9， ∵9＜10， ∴小刚在此次训练中不能得到满分． （3）设调整后抛物线解析式为y＝ax2+0.7x+1.8， 当x＝10时，y＝100a+8.8， 令100a+8.8≥0， 解得a≥﹣0.088， ∴a的取值范围为：﹣0.088≤a＜0． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式是关键． 4．（2024•卧龙区校级二模）在坡度为3：4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点A在斜坡上，OA＝5m，从点A向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题． （1）点A的坐标是 　 　； （2）①求b，c所满足的数量关系； ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式． 【分析】（1）作AD⊥x轴于点D，设AD＝3a，则OD＝4a，利用勾股定理求出a的值即可得出答案； （2）①将（﹣4，3）代入解析式求解即可；②将原点O（0，0）代入解析式求解即可． 【解答】解：（1）如图：作AD⊥x轴于点D， ∵坡度为3：4， ∴设AD＝3a，则OD＝4a， ∵OA＝5m， ∴AD2+OD2＝AO2，即（3a）2+（4a）2＝52， 解得：a＝1或a＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴AD＝3，OD＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）； 故答案为：（﹣4，3）； （2）①∵点A在抛物线上， ∴， ∴c＝4b+7或4b﹣c＝﹣7或； ②当小球落到原点时，点O（0，0）在抛物线上， ∴c＝0， ∴4b＝﹣7， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【点评】本题考查了勾股定理、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．（2024•郑州三模）为准备2024年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为（0，2），A点为实心球飞行轨迹的最高点． （1）求小明投掷实心球的飞行路线的解析式； （2）请计算小明的投掷距离； （3）小亮的出手点为（0，2.25），且飞行路线的最高点仍为A点，问小明和小亮谁的投掷距离远，远多少？（精确到0.01m．参考数据：1.414，2.646） 【分析】（1）根据题意把抛物线解析式设为顶点式，再把（0，2）代入解析式求出即可； （2）依据题意，令y＝0，解一元二次方程即可得解； （3）依据题意，根据题意求出小亮投掷实心球所过的抛物线解析式，再令y＝0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由图象知，抛物线的顶点为（4，4）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4， 把（0，2）代入解析式得：2＝a×16+4， 解得：a， ∴y（x﹣4）2+4． ∴实心球所经过路线的函数表达式为y（x﹣4）2+4． （2）由题意，令y＝0，则0（x﹣4）2+4． 解得：x1＝4+4，x2＝4﹣4（不合题意，舍去）， ∴小明的投掷距离（4+4）m． （3）由题意，可设小亮掷出实心球的抛物线为y＝m（x﹣4）2+4， 又过（0.2.25）， ∴2.25＝m（0﹣4）2+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． 令y（x﹣4）2+4＝0， ∴x＝4或x＝4（不合题意，舍去）． 又∵1.414，2.646， ∴4+49.66（m），410.05（m）． ∴9.66m＜10.05m，10.05﹣9.66＝0.39（m）． ∴小亮投掷的距离更远，远0.39m． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出函数解析式是关键． 6．（2024•碑林区校级一模）如图，某中学开展排球训练，小雅站在原点O处发球，MN为球网，且与地面垂直，球场的边界为点B，排球（看作点）从点O的正上方点A处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为C．以O为坐标原点，以OB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝2m，点C（4，3.6），MN＝2.24m，OM＝7m，OB＝18m． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）请你通过计算说明小雅发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标为（4，3.6），用顶点式表示出抛物线的解析式，把（0，2）代入可求得抛物线的二次项的系数，即可得到抛物线L的解析式； （2）把x＝7代入解析式求出y的值与2.24比较；把y＝0代入解析式，解方程求出x的值与18比较即可． 【解答】解：（1）抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 把A（0，2）代入y＝a（x﹣4）2+3.6得，16a+3.6＝2， 解得a＝﹣0.1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6； （2）当x＝7时，y＝﹣0.1（7﹣4）2+3.6＝﹣0.9+3.6＝2.7＞2.24， ∴小雅发出后的排球能越过球网； 当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， ∵10＜18， ∴小雅发出后的排球不会出界． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 7．（2023秋•武汉期末）一次足球训练中，小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）直接写出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动 　 　．（填序号即可，2.592） ①2.3m；②2.4m；③2.5m． 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点为（5，3），从而可设抛物线为y＝a（x﹣5）2+3，又抛物线过（11，0），故可得解析式，再令x＝0，求出y与2.44进行比较可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）的抛物线的解析式为y（x﹣5）2+3，又小明的最大起跳高度是2.25m，从而2.25（x﹣5）2+3，求出x的值即可判断得解； （3）依据题意，设小华带球向正前方移动b m，则移动后的解析式为y（x﹣5+b）2+3，再结合B为（0，2.44），求出b的值即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点为（5，3）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣5）2+3． 又抛物线过（11，0）， ∴36a+3＝0． ∴a． ∴所求抛物线为y（x﹣5）2+3． 又令x＝0， ∴y≈0.92＜2.44． ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）由题意，结合（1）∵抛物线的解析式为y（x﹣5）2+3， 又小明的最大起跳高度是2.25m， ∴2.25（x﹣5）2+3． ∴x＝2或x＝8． ∵小明需要站在抛物线左侧防守， ∴x＝2，即小明需要站在离球门距离2m的地方才可能防守住这次射门． （3）由题意，设小华带球向正前方移动bm， ∴移动后的解析式为y（x﹣5+b）2+3． 又B为（0，2.44）， ∴0（2.44﹣5+b）2+3． ∴b≈7.59或2.4（b≈7.6，舍去）． ∴小华最多可以向球门移动约2.4m． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意，学会灵活运用二次函数的性质是关键． 题型七 利用二次函数解决动点运动问题 解题技巧提炼 （1）一般要以运动的起点所在与水平线垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，以方便计算. （2）运动中的最大高度往往是抛物线顶点的纵坐标，而落地时，函数值一般为0（根据实际情况分析） 1．（2023秋•广阳区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【分析】（1）设经过t秒以后△PBQ面积为4，根据题意，得（5﹣t）×2t＝4，求出t即可； （2）由题意得S△PBQ＝﹣（t ）2，再求最大值即可． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为4， ∵∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝5﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t＝1或t＝4； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴， ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴当时，△PBQ面积最大为． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． 2．（2023秋•清丰县校级月考）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，BC＝4cm，点M、N分别从A、B同时出发．M在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、△MBN的面积为S（cm2）． （1）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 【分析】（1）由SBM•BN求解． （2）将函数解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）BM＝AB﹣AM＝18﹣2t，BN＝t， ∴SBM•BN（18﹣2t）•t＝﹣t2+9t（0＜t≤4）． （2）∵S＝﹣t2+9t＝﹣（t）2， ∴0＜t时，S随t增大而增大， ∵0＜t≤4， ∴t＝4时，S＝﹣（4）220为最大值． ∴△MBN的面积的最大值为20cm2． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握矩形的性质，掌握用二次函数一般式与顶点式转换的方法． 3．（2023秋•景县校级月考）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动．设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2． （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求△PBQ的面积的最大值． 【分析】（1）根据题意，分别表示出PB、BQ的长，根据三角形的面积公式列式整理即可得到函数表达式； （2）把函数关系式整理成顶点式，根据二次函数的最值问题即可得到△PBQ的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵S△PBQPB•BQ，PB＝AB﹣AP＝18﹣2x，BQ＝x， ∴y（18﹣2x）x，即y＝﹣x2+9x（0＜x≤4）； （2）由（1）知：y＝﹣x2+9x＝﹣（x）2， ∵当0＜x时，y随x的增大而增大，且0＜x≤4， ∴当x＝4时，y最大值＝20， ∴△PBQ的最大面积是20cm2． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化． 4．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2； （2）求四边形PQCA的面积S的最小值． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可； （2）根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值． 【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm， S△PBQBQ•PB2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2）， ∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2， 解得t＝1或t＝2， ∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2； （2）∵S（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t）2（0≤t≤2）， ∵a＝1， ∴ts时，S有最小值，最小值为cm2． 【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形和四边形的面积是解题关键． 5．（2023秋•磁县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， （1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； （2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm， 所以BP＝（12﹣2t）cm， 故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm； （2）△PBQ的面积S （12﹣2t）×4t ＝﹣4t2+24t＝32， 解得：t＝2或4， 即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2； （3）S＝﹣4t2+24t ＝﹣4（t﹣3）2+36， 所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2． 【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键． 6．（2023•墨玉县一模）如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P，Q两点的距离为？ （2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？ （3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 【分析】（1）根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5cm； （2）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2； （3）根据三角形的面积公式S△PCQPC×CQ以及二次函数最值便可表示出△PCQ的面积，进而求出四边形BPQA的面积最小值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵AC＝24cm，BC＝7cm， ∴AB＝25cm， 设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm， ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， 根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2， 代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5）2； 解得t＝1或t（不合题意舍去）； （2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2， ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， S△PCQ（7﹣2t）×5t＝15， 解得t1＝2，t2＝1.5， 经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2； （3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小， ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm， 四边形BPQA的面积为：S△ABC﹣S△PCQ7×24PC×CQ ＝84（7﹣2t）×5t ＝84（﹣2t2+7t） ＝84+5（t2t） ＝5（t）2， ∴四边形BPQA的面积最小值为：（cm2）， 当点P运动秒时，四边形BPQA的面积最小为cm2． 【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法以及二次函数的应用，是各地中考的热点，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！52 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 二次函数的应用 知识点一 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 【注意】在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点二 二次函数与图形面积的最值问题 ★2、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. ★2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点三 二次函数与商品利润 ★1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 ★2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点四 抛物线型的实际问题 ★1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ★2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 题型一 二次函数与面积问题 解题技巧提炼 在解答有关利用二次函数求几何图形的最大（小）面积或（体积）的问题时，应遵循以下的规律： （1）利用几何图形的面积或（体积）公式得到面积或（体积）的二次函数解析式.（2）由已得到的二次函数解析式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案. 1．（2023秋•宿松县期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 2．（2024•红桥区二模）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH．已知AD＝20m，AB＝40m，有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是360m2． ②种花的面积的最大值为450m2． ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为432m2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023•石家庄模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个DC∥AB的四边形储料场AB﹣CD，其中∠C＝120°，若新建墙BC与CD总长为12m，则该储料场ABCD的最大面积是（　　） A．18m2 B．18m2 C．24m2 D．m2 4．（2024•牙克石市一模）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•双阳区期末）某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直于墙的一边长为x米． （1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x． （2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值． 6．（2024春•渠县校级月考）某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 7．（2024•商南县三模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 如何设计纸盒？ 选择“素材1”“素材2”设计了实验活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可以设计成如图所示的无盖纸盒. 素材2 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 设折成的无盖纸盒的侧面积为S，剪掉的小正方形的边长为a． （1）求S与a之间的函数表达式； （2）折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 题型二 简单销售问题中的利润问题 解题技巧提炼 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 1．（2024•红桥区三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系y＝﹣x+120．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．3 2．（2024•汶上县二模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝﹣2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元 3．（2024•江阴市模拟）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获得最大利润，生产数量应为（　　） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 4．（2024•南昌一模）某工厂生产某种体育器材，生产这种体育器材每件的成本y（元）与产量x（件）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝960；当x＝190时，y＝840． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）该工厂计划生产这种体育器材不超过300件，且每件的成本不超过800元，已知这种体育器材每件的售价为1200元，且全部售出，求当产量为多少件时，该工厂生产这种体育器材的利润最大，并求出最大利润． 5．（2024•夏邑县校级一模）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 6．（2024•湖北模拟）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ （3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 7．（2023秋•武威期末）我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，2021年国庆节游客人数约为3万，2023年国庆节游客人数约为4.32万． （1）求2021年到2023年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． （2）已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 80元/人 60元/人 120元/人 据预测，2024年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有400名原计划购买甲种门票的游客和600名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 题型三 “每…每…”的销售利润问题 解题技巧提炼 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 1．（2023•雁塔区校级模拟）农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 2．（2024•南开区二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 4．（2024•双流区模拟）世界羽坛最高水平团体赛成都2024“汤尤杯”将于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 5．（2024•宜昌模拟）商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克（x≥24），每天销售量为y千克，每天销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 6．（2023秋•潼南区期末）“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元． （1）求每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）设超市每月销售柠檬即食片获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w稳定在900元，销售单价应定为多少元？ 7．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于1590元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 题型四 利用二次函数解决方案设计问题 解题技巧提炼 方案设计问题的一般思路：找出当函数值y满足条件时，对应自变量x的几种情况，需根据函数的性质和不等式（组）等知识求解，从而得到不同的方案，进而可以从中找出最优方案． 1．（2024•新市区模拟）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x为多少m2时，y是35元/m2； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 2．（2023•修武县一模）乡村要振兴，产业必振兴，河南多地依托生态优势，通过技术支撑，大力发展羊肚菌特色产业，探索出了群众致富新路径．河南省某村村长带领村民大棚种植羊肚菌振兴乡村产业建设．据了解，人工种植的羊肚菌和野生羊肚菌的营养价值相当，某零售批发商两次以相同的单价在该村收购人工种植的新鲜羊肚菌和干羊肚菌的情况如下表： 新鲜羊肚菌（千克） 干羊肚菌（千克） 总价值（元） 第一次收购 1000 300 152000 第二次收购 800 500 184000 （1）求新鲜羊肚菌和干羊肚菌的收购单价； （2）由于出场状况良好，该批发商第三次在收购单价不变的情况下收购两种羊肚菌合计1500千克，根据市场需求收购的干羊肚菌数量不得超过新鲜羊肚菌的三分之一，且零售市场新鲜羊肚菌的售价为100元/千克，干羊肚菌的售价为280元/千克，则该批发商应该如何设计购买方案使利润最大，最大利润是多少？ 3．（2024春•湘潭县校级月考）为了落实国家的惠农政策，某地政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系： 型号 金额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额x（万元） x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） y1＝kx 2 2.4 3.2 （1）分别求出y1和y2的函数表达式； （2）某农户准备投资10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型收割机．设其共获得政府补贴金额为y万元，求y与其购买Ⅰ型收割机投资金额x的函数关系式．并请你帮该农户设计一个能获得最大补贴金额的投资方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 4．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求该商品原来的进价； （2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元； （3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 5．（2024•西山区一模）凭借优越的自然环境，中国云南已经成为世界主要的花卉种植区，地球上所有花卉都可以在云南找到最佳的生长环境．云南某地计划将其900m2的土地用于种植甲乙两种花卉、设甲种花卉种值面积为x m2，每平方米的种植成本y元，经调查发现：y与x的函数关系如图所示，其中150≤x≤750；乙种花卉每平方米的种植成本为50元． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该地2024年种植甲、乙两种花卉的总成本为W元，当150≤x≤600时，如何分配两种花卉的种植面积使W的值最小． 题型五 利用二次函数解决桥梁（隧道）类问题 解题技巧提炼 ①建立适当的直角坐标系； ②将已知条件转化为点的坐标； ③合理设出函数解析式； ④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式； ⑤利用函数解析式解决问题． 1．（2024•南开区一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m．有下列结论：①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ②当水面下降1m时，水面宽度为； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024•福田区校级模拟）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 3．（2024•二道区校级模拟）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移 　 　米． 4．（2024•泾阳县模拟）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点．小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长BC＝3m，宽OB＝2m，门窗最高点D与地面垂直距离为3m，以点O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式； （2）春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为2.5m，请求出两个灯笼的水平距离．（结果保留根号） 5．（2024•韩城市二模）某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知OA＝4米，点P的坐标为（1，）． （1）求该抛物线形水柱满足的函数关系式； （2）为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高MN为米的墙（NM⊥x轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（OM＝4米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离CN、BM的值． 6．（2024•河南模拟）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，上部近似为一条抛物线．已知OA＝10米，AB＝1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面OA的距离为10米． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？ 7．（2024•横山区二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示．图2为该拱门的示意图，OA是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地面的高度y（m）与到柱子OA的水平距离x（m）满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0），已知OA＝3m，OB＝6m． （1）请求出图2中抛物线的函数表达式； （2）从柱子OA上的点C处拉一条横幅到拱门的点D处，CD∥OB，若CD＝4AC，小华的身高是1.65m，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？ 题型六 利用二次函数解决运动类问题 解题技巧提炼 将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可. 1．（2024•永寿县模拟）运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度y（单位，m）与水平距离x（单位，n）近似地满足函数关系y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）该函数的图象与y轴交于点A（0，1.8），顶点为B（4，3.4），下列说法错误的是（　　） A．a＝﹣0.1 B．该铅球飞行到最高点时，铅球离y轴的水平距离是4m C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是3.4m D．此次训练，该铅球落地点离y轴的距离小于9m 2．（2024•盂县二模）掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表： 水平距离x/m 0 2 4 6 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.2 在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（　　） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 3．（2024•下城区校级模拟）根据2024年杭州体育中考实心球项目的评分标准，男生的投掷成绩是大于或等于10米时获得满分10分．如图，实心球投掷的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．男生小刚利用录像设备记录了自己某次投掷练习中实心球从出手到着陆的过程，通过测量得到实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离x/m 0 1 3.5 7 竖直高度y/m 1.8 2.4 3.025 1.8 （1）求实心球运动轨迹的抛物线解析式． （2）小刚在此次训练中是否得到满分，请说明理由． （3）体育老师根据视频给小刚提出了“出手高度和力度已经达到极限，要调整出手角度”的建议，体现在抛物线的解析式y＝ax2+bx+c上可以理解为保持b，c值不变，调整a值．求能使得小刚得到满分的a的取值范围． 4．（2024•卧龙区校级二模）在坡度为3：4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点A在斜坡上，OA＝5m，从点A向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题． （1）点A的坐标是 　 　； （2）①求b，c所满足的数量关系； ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式． 5．（2024•郑州三模）为准备2024年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为（0，2），A点为实心球飞行轨迹的最高点． （1）求小明投掷实心球的飞行路线的解析式； （2）请计算小明的投掷距离； （3）小亮的出手点为（0，2.25），且飞行路线的最高点仍为A点，问小明和小亮谁的投掷距离远，远多少？（精确到0.01m．参考数据：1.414，2.646） 6．（2024•碑林区校级一模）如图，某中学开展排球训练，小雅站在原点O处发球，MN为球网，且与地面垂直，球场的边界为点B，排球（看作点）从点O的正上方点A处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为C．以O为坐标原点，以OB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝2m，点C（4，3.6），MN＝2.24m，OM＝7m，OB＝18m． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）请你通过计算说明小雅发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ 7．（2023秋•武汉期末）一次足球训练中，小华从球门正前方11m的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）直接写出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是2.25m，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动 　 　．（填序号即可，2.592） ①2.3m；②2.4m；③2.5m． 题型七 利用二次函数解决动点运动问题 解题技巧提炼 （1）一般要以运动的起点所在与水平线垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，以方便计算. （2）运动中的最大高度往往是抛物线顶点的纵坐标，而落地时，函数值一般为0（根据实际情况分析） 1．（2023秋•广阳区期末）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 2．（2023秋•清丰县校级月考）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，BC＝4cm，点M、N分别从A、B同时出发．M在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、△MBN的面积为S（cm2）． （1）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求△MBN的面积的最大值． 3．（2023秋•景县校级月考）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动．设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2． （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）求△PBQ的面积的最大值． 4．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2； （2）求四边形PQCA的面积S的最小值． 5．（2023秋•磁县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， （1）AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； （2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？ （3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 6．（2023•墨玉县一模）如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P，Q两点的距离为？ （2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？ （3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$