第03讲 集合的基本运算（思维导图+5知识点+9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解交集、并集、全集、补集，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握集合的运算关系，能进行集合的各种运算. 3.与方程、不等式、数轴、维恩图等相结合考查集合的运算，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 知识点2 并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 知识点3 并集和交集的性质 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 知识点4 补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 5.拓广解读： (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 知识点5 集合中元素的个数 【探索与研究】 考点一：交集运算 例1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·上海·三模）已知集合，，则 【规律方法】 求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 考点二：根据交集运算结果求集合或参数 例2.（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【变式2-1】（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2-2】（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【变式2-3】（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 【总结提升】 遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B． 考点三：并集运算 例3.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【总结提升】 1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 考点四：根据并集运算结果求集合或参数 例4.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为 【变式4-1】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【变式4-2】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【变式4-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 【总结提升】 1.A∪B＝B⇔A⊆B 2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解． 考点五：补集运算 例5.（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 考点六：根据补集的运算结果求集合或参数 例6.（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 【变式6-1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 考点七：交集、并集、补集的综合运算 例7.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，则 ， ． 考点八：根据集合的运算求参数 例8.（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ . 【总结提升】 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 考点九：求集合中元素的个数 例9.（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【变式9-1】（23-24高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 【变式9-2】（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 6．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 7.（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 8．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 9.（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 10.（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解交集、并集、全集、补集，凸显数学抽象的核心素养. 2.掌握集合的运算关系，能进行集合的各种运算. 3.与方程、不等式、数轴、维恩图等相结合考查集合的运算，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 知识点2 并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 知识点3 并集和交集的性质 并集 交集 简单性质 A∪A＝A；A∪∅＝A A∩A＝A；A∩∅＝∅ 常用结论 A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A 知识点4 补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 5.拓广解读： (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 知识点5 集合中元素的个数 【探索与研究】 考点一：交集运算 例1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，然后根据交集的运算及子集概念即可得到结果. 【详解】因为集合，且， 则，所以其子集为共4个. 故选：B 【变式1-1】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：. 【变式1-3】（2024·上海·三模）已知集合，，则 【答案】 【分析】把集合中的元素代入不等式检验可求得. 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故答案为：. 【规律方法】 求集合A∩B的方法与步骤 (1)步骤 ①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么； ②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式； ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法 ①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集． ②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示． 考点二：根据交集运算结果求集合或参数 例2.（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据为单元素集，所以，即可求解. 【详解】因为，且为单元素集，所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 【变式2-1】（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：A 【变式2-2】（2024·上海·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 【变式2-3】（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为. 故答案为：. 【总结提升】 遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B． 考点三：并集运算 例3.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 【变式3-1】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得， 故选：A. 【变式3-2】（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 【变式3-3】（2024·上海·三模）若集合，，则 ． 【答案】; 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】由集合的并集定义可得，因为，， 所以， 故答案为：. 【总结提升】 1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解． 2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个． 3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 考点四：根据并集运算结果求集合或参数 例4.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为 【答案】 【分析】依题意有，即，分类讨论求m的值. 【详解】若，则，即， 由，则有或， 若，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴． 若，解得. 所以的值组成的集合为. 故答案为：． 【变式4-1】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可. 【详解】由可得或，解得，，或. 又集合与，故，故，或. 故选：C 【变式4-2】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得. 【详解】由，则， 故有，解得，即. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 【总结提升】 1.A∪B＝B⇔A⊆B 2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解． 考点五：补集运算 例5.（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：C. 【变式5-1】（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可． 【详解】因为集合或，， 所以， 故选：B． 【变式5-3】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 【规律方法】 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 考点六：根据补集的运算结果求集合或参数 例6.（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 【答案】 【分析】由题设知，应用分类讨论求参数值. 【详解】由题设知：， 若；若无解； 所以. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 考点七：交集、并集、补集的综合运算 例7.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 【变式7-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解. 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意，结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 【变式7-3】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，则 ， ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得和，结合集合运算法则，即可求解. 【详解】由全集， 集合，集合， 可得，则，. 故答案为：；. 考点八：根据集合的运算求参数 例8.（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【变式8-1】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ . 【答案】 【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B. 【详解】由题意，，    ∵A⋂(CUB)，， ∴. 故答案为：. 【总结提升】 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 考点九：求集合中元素的个数 例9.（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 【答案】B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 【变式9-1】（23-24高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 【答案】C 【分析】作出图形即可得到方程，解出即可. 【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得． 故选：C.    【变式9-2】（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设立集合，利用图分析集合之间的关系，运算即可得解. 【详解】解：设全班学生构成的集合为全集，围棋爱好者构成的集合为， 足球爱好者构成的集合为，由题意，中有个元素，中有个元素， 全集中有个元素， ∵同时爱好这两项的学生构成的集合就是，    ∴要使中人数最多，即元素个数最多，需满足是的真子集，如上图， ∴.    要使中人数最少，即元素个数最少，需满足，如上图， ∴，解得：. ∴. 故选：D. 【变式9-3】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 故答案为：9，2 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 4．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 5．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 6．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】∵，∴且，∴． 故答案为： 7.（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 8．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 9.（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 10.（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$