期末平行的判定与性质解答题压轴题2023-2024学年 沪科版七年级数学下册

2023-2024七年级下学期期末平行的判定与性质压轴题 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角. 解法：见拐点作平行线；把复杂的图形转换为基本图形（同位角，内错角，同旁内角）去解决。 模型一：M模型或锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【证明】 （1）结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型二：铅笔模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型三：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 模型四：斧头模型 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型一：M模型或锯齿模型 例1．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 模型二：铅笔模型 例2．（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： 如图1，，求证：． 证明：过点引一条直线， ∴，（                        ） ∵， ∴（                            ） ∴ （                          ） ∴， 即． （2）如图2，，请写出的推理过程． （3）如图3，，请写出结果并证明_________________． （4）如图4，，试问与的关系是什么？你能将它推广到一般情况吗？请写出你的结论，不用证明． 模型三：牛角模型 例3．我们道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形． 【基本图形】 （1）如图①，，写出之间的数量关系，并说明理由． 【图形运用】 （2）如图②，，平分平分的反向延长线交于点F．若，求的度数． 【思维拓展】 （3）如图③，，平分平分的反向延长线交于点F．直接写出之间的数量关系． 模型四：斧头模型 例4．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、    (1)如图，若点在两直线外部，则 、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论 (2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为) (3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明) 强化练习 1.本小题分 已知，点为平面内一点，于． 如图，写出和之间的数量关系并说明理由； 如图，过点作于点，说明． 2.本小题分 如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且． 判断直线与直线是否平行，并说明理由； 如图，点是射线上一动点不与点，重合，平分交于点，过点作于点，设，． 当点在点的右侧时，若，求的度数； 当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 3.本小题分 如图，已知，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由； 如图，交于，． 若，求的度数； 若：：，求的度数． 4.本小题分 如图所示，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． 若，，则 ______， ______； 若，求的度数． 如图所示，点在的延长线上，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、若，求的度数用含的代数式表示 5.本小题分 如图，已知点和点分别是和上的点，，． 试说明：； 如图，连接，已知，． 当时，，求的度数； 若，则 ______用含的代数式表示 6.本小题分 综合与实践 学习了相交线、平行线相关知识后，某数学兴趣小组利用手中的一副三角板进行了探究，发现和提出了一些数学问题如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 猜想与的数量关系，并说明理由； 若，求的度数； 若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，简要说明理由． 7.本小题分 如图，，，解答下列问题． 如图，当，时，过点在的内部作，求的度数； 如图，点在上，过点作当，时，求的度数； 用含有和的式子表示写出求解过程； 当，时，过点作，直接写出的度数． 8.本小题分 【阅读学习】阅读下面的解题过程： 如图，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是______；与、之间的数量关系是______． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： 如图，，点是和的平分线的交点，，则的度数是______． 如图，，平分，，平分，若比大，求的度数． 9.本小题分 如图，已知直线与直线交于点，直线与直线交于点，平分交直线于点，且． 求证：； 点是射线上的一个动点不与点、重合，平分交直线于点，过点作交直线于点，设，． 如图，当点在点的右侧时，若，求的值，并说明理由； 当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 10.本小题分 已知，是平面内一点，连接，． 如图，若，，求的度数． 如图，当点在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 如图，平分，连接，，若，，的度数． 11.本小题分 如图，已知直线，，点，在上，且满足，平分． 直线与有何位置关系？请说明理由； 求的度数； 若左右平移，在平移的过程中， 求与的比值；是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 12.本小题分 已知直线，点、在直线上，点、在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． 如图，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； 在图中，求的度数用含的式子表示； 将图中的线段向右平移，使点落在点的右边，其它条件不变在图中先画出符合题意的图形，再求与的度数和． 13.本小题分 如图，写出与，之间的数量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，延长交于点，若，，求的度数； 如图，结合中的结论，探究与，，之间的数量关系，并说明理由． 14.本小题分 已知，点为平面内一点．如图，，小颖说过点作，很容易说明和互余．请你帮小颖写出具体的思考过程； 如图，，点在射线上运动，当点移动到点与点之间时，试判断与，的数量关系，并说明理由； 在的条件下，当点在射线上的其他地方运动时点与，，三点不重合，请直接写出与，之间的数量关系． 15.本小题分 如图，点在上，，． 求证：； 如图，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． 保持中所求的的度数不变，如图，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024七年级下学期期末平行的判定与性质压轴题 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角. 解法：见拐点作平行线；把复杂的图形转换为基本图形（同位角，内错角，同旁内角）去解决。 模型一：M模型或锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【证明】 （1）结论1：若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C 【证明】过点 O作OE//AB，如图. ∵AB∥CD, ∴OE∥CD, ∴∠B=∠1,∠C=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B＋∠C. ◎结论2：若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD. 【证明】过点 O作OE∥AB， 则 ∠B=∠1, ∵∠BOC=∠B+∠C， ∠BOC=∠1+∠2， ∴∠1+∠2=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴OE∥DC， 又OE∥AB， ∴AB∥CD. （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型二：铅笔模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】结论1：如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360° 【证明】如图，过点 O作 OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360° ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. ◎结论2：如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【证明】如图，过点 O作EF//AB， 则∠B＋∠1=180° ∵∠B+∠BOC+∠C=360°, ∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD 又∵EF//AB， ∴AB//CD. 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型三：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 模型四：斧头模型 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型一：M模型或锯齿模型 例1．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型二：铅笔模型 例2．（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： 如图1，，求证：． 证明：过点引一条直线， ∴，（                        ） ∵， ∴（                            ） ∴ （                          ） ∴， 即． （2）如图2，，请写出的推理过程． （3）如图3，，请写出结果并证明_________________． （4）如图4，，试问与的关系是什么？你能将它推广到一般情况吗？请写出你的结论，不用证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），（4） 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； （1）过点引一条直线，根据平行线的性质得出，， 即可得出结论； （2）过点引一条直线，根据平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）过点引一条直线，过点F引一条直线，根据平行线的性质得出，，，即可得出结论； （4）过点E、G、M、K、P分别引的平行线，根据平行线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：过点引一条直线， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即． （2）过点引一条直线， ∴，（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴． （3）过点引一条直线，过点F引一条直线， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：； （4）过点E、G、M、K、P分别引的平行线， ∵， ∴， ∴，，，，，， ∵， ． ∴． 结论：所有开口朝左的角度之和等于所有开口朝右的角度之和． 模型三：牛角模型 例3．我们道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形． 【基本图形】 （1）如图①，，写出之间的数量关系，并说明理由． 【图形运用】 （2）如图②，，平分平分的反向延长线交于点F．若，求的度数． 【思维拓展】 （3）如图③，，平分平分的反向延长线交于点F．直接写出之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义和平行线的性质得出角的度数解答． （1）延长交于F，根据平行线的性质可得，再由是的外角，可得，从而得出； （2）由角平分线的定义可得，设，则，从而得出，再由，可得，从而得出．最后求解即可； （3）分别延长，相交于点E，由（2）得，再根据平角的定义和三角形内角和求出结论即可． 【详解】（1） 理由：如图①，延长交于F． ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 即； （2）∵平分平分， ∴， 设，则， ∵， ∴由（1）可知，， ∴， 即， ∵， ∴． ∴． ∴． （3） 如图，分别延长，相交于点E， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 即 模型四：斧头模型 例4．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、    (1)如图，若点在两直线外部，则 、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论 (2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为) (3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，平行线公理的推论； （1）过点作，由平行线的传递性知，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而得证； （2）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，，进而得证； （3）分两种情况进行讨论，证明方法与（1）类似． 【详解】（1）如图1，数量关系为：， 理由：过点作， ， ， ，， ；    （2）如图2，数量关系为：， 理由：过点作，过点作， ， ，，， ， ， ；    （3）数量关系为： 或， 如图3，过点作，    ∴， ，，， ∴， 即； 如图4，过点作，    ∴， ，，， ∴， 即． 强化练习 1.本小题分 已知，点为平面内一点，于． 如图，写出和之间的数量关系并说明理由； 如图，过点作于点，说明． 【答案】解：，理由如下： 如图，与的交点记作点， ， ， ， ， ， ； 如图，过点作， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ．  【解析】根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； 先过点作，根据同角的余角相等，得出，再根据平行线的性质，得出，即可得到． 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，并运用等角的余角相等进行推导． 2.本小题分 如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且． 判断直线与直线是否平行，并说明理由； 如图，点是射线上一动点不与点，重合，平分交于点，过点作于点，设，． 当点在点的右侧时，若，求的度数； 当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】解：结论：． 理由：如图中， 平分交于点， ， ． ， ． 如图中， ， ， ， ． ， 平分， ， ， ， ，则， ， ； 猜想：或 理由：当点在的右侧时， ， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ， ，， ，， ， ， ， ． 综上所述，或．  【解析】根据角平分线的性质及等量代换证明即可． 根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题． 结论：根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． 3.本小题分 如图，已知，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由； 如图，交于，． 若，求的度数； 若：：，求的度数． 【答案】解：， 理由：因为，已知， 所以垂直的定义． 因为已知， 所以， 即， 所以内错角相等，两直线平行； 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以； 因为：：，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以．  【解析】根据垂直的定义及等式的性质推出，根据平行线的判定定理即可得解； 根据垂直的定义及对顶角相等求解即可； 根据邻补角定义、对顶角性质求解即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 4.本小题分 如图所示，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、． 若，，则 ______， ______； 若，求的度数． 如图所示，点在的延长线上，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、若，求的度数用含的代数式表示 【答案】    【解析】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：，； 平分， ， 平分， ， ， ， ； 平分， ， 平分， ， ， ，， ． 先根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数；先根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数； 由角平分线的定义得出，，结合已知，即可求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数； 由角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，于是有，结合，即可求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 5.本小题分 如图，已知点和点分别是和上的点，，． 试说明：； 如图，连接，已知，． 当时，，求的度数； 若，则 ______用含的代数式表示 【答案】  【解析】证明：． ， ，， ， ， ； 解：， 当时，， ， ， 由知， ， ， ， ， ； 由知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， 是的外角， ， 由知，， ， ， ． 根据：得，从而，，由于，所以，则； 由于，时，则，因为所以，又因为，所以，再利用三角形的内角和定理即可解决； 根据，得，因为，所以，进而得到，结合已知条件可得，再去证明，利用三角形外角的性质即可解决． 本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质、列代数式理解题意，搞清楚数量关系是解决问题的关键． 6.本小题分 综合与实践 学习了相交线、平行线相关知识后，某数学兴趣小组利用手中的一副三角板进行了探究，发现和提出了一些数学问题如图所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 猜想与的数量关系，并说明理由； 若，求的度数； 若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，简要说明理由． 【答案】解：． 理由如下： ， ， ； 设，则， ， ， ， ； 分两种情况： 如图， ， ， ， ， 又， ； 如图， ， ， 又， ； 综上所述，等于或时，．  【解析】根据直角三角形的两个直角的度数和等于把与的和转化为与的和即可解决问题； 设，则，根据与之间的倍数关系和中推出的结论列出方程，解方程即可解决问题； 分两种情况进行探究，根据平行线的性质和角的度数分别求出的度数即可． 本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，平行线的性质以及直角三角形的性质，深入理解题意是解决问题的关键． 7.本小题分 如图，，，解答下列问题． 如图，当，时，过点在的内部作，求的度数； 如图，点在上，过点作当，时，求的度数； 用含有和的式子表示写出求解过程； 当，时，过点作，直接写出的度数． 【答案】解：， ， 又， ； 如图，过点作， ， 又， ， ，， ， ， 如图，过点作， ， 又， ， ，， ， ， 如图，过点作， ， 又， ， ，， ， ， 时， ， 若点在的上方时， ， 若点在的下方时， ， 综上所述，或．  【解析】根据两直线平行，同位角相等得到结果； 过点作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；过点作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；过点作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等分两种情况分别解题即可． 本题考查平行公理，平行线的性质，垂直的定义，作辅助线转化角是解题的关键． 8.本小题分 【阅读学习】阅读下面的解题过程： 如图，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与、之间的数量关系是______；与、之间的数量关系是______． 【知识运用】利用上面的结论解决下列问题： 如图，，点是和的平分线的交点，，则的度数是______． 如图，，平分，，平分，若比大，求的度数． 【答案】      【解析】解：如图，作， ， ， ，， ， 即； ， ，， ， 即． 故答案为：，； 如图，， 由得， ， ， 由得， ，分别平分和， ． 故答案为：； 如图，， 由得， 设，则， ， ， ， 平分， ， 由得， ， ， 比大， ， 解得， ． 根据两直线平行，内错角相等，可得，，所以，即；根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，所以； 由得，，因为，所以，因为，分别平分和，所以； 设，则，由得，所以，根据平角定义，因为平分，所以，由得，根据比大，列出方程得，解得，即可求的度数． 本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质以及的结论是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 9.本小题分 如图，已知直线与直线交于点，直线与直线交于点，平分交直线于点，且． 求证：； 点是射线上的一个动点不与点、重合，平分交直线于点，过点作交直线于点，设，． 如图，当点在点的右侧时，若，求的值，并说明理由； 当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】解：平分， ， ， ， ； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即， 当点在点的右侧时，，如图所示： ， ， 平分，平分， ，， ， ， 即， ， 当点在点的左侧时，，如图所示： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 即， 综上分析可知，和之间的数量关系是：或．  【解析】通过证明得到； 由平分得到，再根据平行线的性质得到，由于，则三角形内角和定理得到，即，然后把代入可计算出的值； 当点在点的右侧，由得；当点在点的左侧时，由平分得到，根据平行线的性质得到，由于，利用三角形外角性质得到，即，综上所述，和之间的数量关系为或． 本题考查了作图复杂作图、平行线的判定与性质：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10.本小题分 已知，是平面内一点，连接，． 如图，若，，求的度数． 如图，当点在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 如图，平分，连接，，若，，的度数． 【答案】解：过点作，如图， ， ，， ，， ，， ； ，理由如下： 延长交于点，如图， ， ， ， ； 如图， 是的外角， ， ， ， 平分， ， 由可得：， ， ， ， ，， ．  【解析】过点作，从而有，则可求得，，即可求； 延长交于点，由平行线的性质可得，结合三角形的外角性质即可求解； 由三角形的外角性质可得，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得，结合的结论及所给的条件即可求． 本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 11.本小题分 如图，已知直线，，点，在上，且满足，平分． 直线与有何位置关系？请说明理由； 求的度数； 若左右平移，在平移的过程中， 求与的比值；是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】解：直线与互相平行，理由： ， ， 又 ， ； ， ， ，平分， ； 存在． ， ， ， ， ， ， 设． ， ； ， ， ． 若， 则， 得． 存在．  【解析】根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； 由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数． 首先根据，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得解答即可， 首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 此题主要考查了平行线的性质与平行四边形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 12.本小题分 已知直线，点、在直线上，点、在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． 如图，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； 在图中，求的度数用含的式子表示； 将图中的线段向右平移，使点落在点的右边，其它条件不变在图中先画出符合题意的图形，再求与的度数和． 【答案】解：平分， ， ， ； 如图，过点作， ， ， ，， 平分， ， ； 如图，平分， ， ， ， ．  【解析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等有关知识． 根据角平分线的定义求出度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案； 过点作，易得，可得到，，根据角平分线的定义用表示、继而根据角的和差关系可的结论； 利用角平分线的定义可以用含的代数式表示，根据平行线的性质可得，继而结合等量代换求出的度数即可． 13.本小题分 如图，写出与，之间的数量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，延长交于点，若，，求的度数； 如图，结合中的结论，探究与，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 如图所示：过点作， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以； 因为，， 所以， 因为， 所以， 如图所示：过点作， 由知， 所以； 如图所示：  过点作， 则， 由知， 即，  【解析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．   过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； 由已知求出的度数，结合即可求出的度数； 过点作，则，结合即可得到结论． 14.本小题分 已知，点为平面内一点．如图，，小颖说过点作，很容易说明和互余．请你帮小颖写出具体的思考过程； 如图，，点在射线上运动，当点移动到点与点之间时，试判断与，的数量关系，并说明理由； 在的条件下，当点在射线上的其他地方运动时点与，，三点不重合，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】解：如图，过作，则， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以和互余． ，理由如下： 如图，过作，交于，则， 又因为， 所以， 所以， 所以； 当点在、两点之间时，如图，； 当点在的延长线上时，如图，．   【解析】过作，根据平行线的性质可得，再根据，可得，进一步得到，和互余； 过作，交于，根据平行线的性质可得，可得； 分两种情况：当点在、两点之间时；当点在射线上时；进行讨论可求与，的数量关系． 考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 15.本小题分 如图，点在上，，． 求证：； 如图，，平分，与的平分线交于点，若比大，求的度数． 保持中所求的的度数不变，如图，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】证明：如图，延长交于点， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，作，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 设， ， 比大， ， 解得 的度数为； 的度数不变，理由如下： 如图，过点作，设直线和直线相交于点， 平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 由可知：， ， ， ， ， ， ．  【解析】如图，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； 如图，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数； 如图，过点作，设直线和直线相交于点，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$