精品解析：河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题

河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，可求. 【详解】， 又，故， 故选：B． 2. 已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由函数是奇函数，可求得，可得结论. 【详解】若函数是奇函数， 则恒成立，即， 而，得． 故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案. 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 4. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 5. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 6. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 7. 已知，则m，n的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解. 【详解】依题意，，， 则， 即，即. 故选：D 8. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，点均在第一象限 D. 存在，使得点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，代入计算可判断A、B；由判断的实部和虚部范围可判断C、D. 【详解】当时，，故，故选项正确； ，B选项错误； 当时，，， 故对任意，点均在第一象限，故C选项正确； 不存在，使得点在第二象限，D选项错误． 故选：AC． 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 点的轨迹长度为 C. 异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D. 三棱锥外接球与球内切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体内切球的性质判断A；利用面面平行确定点的轨迹，即可求得其长度，判断B；根据异面直线所成角的概念，确定该角取到最值时的位置，即可判断C；根据圆内切的判断条件可判断D. 【详解】由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确； 取的中点为， 连结，易知，平面，平面， 故平面， 连接MN，，即四边形为平行四边形， 则，平面，平面，所以平面． 又因为，平面， 故平面平面，平面平面，结合平面， 故点的轨迹为线段，故B选项错误； 因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角， 当P位于N点时，得取得最小，; 当P位于点时，取得最大，，故选项正确； 由正方体几何性质易知， 故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点， 即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点， 故， 因为球的半径为，球的半径为， 故三棱锥外接球与球内切，D正确 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：解答此类题目的关键是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定理以及性质，准确判断，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式的展开式的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由题意，多项式的展开式中含有的项为： ， 所以的系数为． 故答案为：. 13. 已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称轴求出，求出函数在原点附近的对称中心，由题意列不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知是函数的一条对称轴， 故，解得，，因为，故， 故，令，解得， 原点附近的6个对称中心分别为， 若3个对称中心恰好是， 则，则t不存在，不合题意； 若3个对称中心恰好是， 则，则； 故当时，符合题意． 故t的取值范围为， 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案. 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表： 性别 满意情况 合计 满意 不满意 男职工 25 25 50 女职工 25 5 30 合计 50 30 80 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关； （2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算，可判断结论； （2）利用二项分布的期望，以及两变间的期望公式可求解. 【小问1详解】 零假设为：满意度与性别无关． 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为满意度与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.005； 【小问2详解】 根据题意，全企业职工每人满意概率为，设满意的人数为，则不满意的为，由题意知， ， 则 16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在平行四边形中，因为， 所以四边形为菱形，故， 又因为，故为等边三角形， 故． 在中，，, 所以，故 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，因此． 又因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由得四边形为菱形，则，由已知的数据结合勾股定理逆定理得，而，则平面，所以，再由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）取的中点，连结BM，则两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连结BM，因为为等边三角形， 所以， 因为‖，所以， 因为平面，平面， 所以， 故两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则 ， 令，得； 设平面的法向量为，则 , 令，得． 设平面与平面所成角为， 则． 17. 已知数列满足：． （1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，可得，，， 因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列； 下面证明： 因为，即， 又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的值，猜想得到为等比数列，结合等比数列的定义，作出证明即可； （2）由（1），结合累加法求得，得到，利用等差数列的求和公式和乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，， 累加得， 所以， 当时，满足题意，所以对成立； 故，可得 其中， 设，则， 两式相减得，即， 综上可得，数列的前项和． 18. 已知． （1）求的单调区间和最值； （2）定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若，求证：． 【答案】（1）当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，取得最小值1，无最大值 （2）证明：要证，只需证，因为， 故只需证． 令，显然在上可导，在上连续， 故由拉格朗日中值定理知存在，使得， 而在上单调递增， 因为，故，即， 故只需证即可，因为，故只需证． 由（1）知恒成立，因此原命题得证． 【解析】 【分析】（1），令，求根，判断在其左右两侧的导数符号可得结论； （2）要证，需证，令，求导可得由拉格朗日中值定理知存在，使得， 进而利用（1）可证结论. 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 当时，取得最小值1，无最大值； 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且． （1）求的方程； （2）若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，． ①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ②证明：为定值． 【答案】（1） （2）①由（1）不妨设，由， 解得，， 所以，． 设，则． 联立，解得，所以， 同理， 以、为直径的圆的方程为， 整理得， 令，解得或， 故该圆恒过两个点． ②由于，，，，， 所以， ， ，， 直线的斜率为，显然直线与垂直，故为直角三角形， 同理也是直角三角形， 故，， 故（或）． 【解析】 【分析】（1）设，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出、坐标，从而求出，即可得解； （2）①不妨设，由（1）求出切点横坐标及切线方程，设，则，分别求出，的坐标，即可得到圆的方程，再求出圆过定点坐标；②表示出，，，，再说明、为直角三角形，由面积公式得到面积之比. 【小问1详解】 设，，，联立， 消去得，显然，所以，． 由，，故的方程为， 令得，解得，即， 同理，则． 由，知， 由，得，解得或（舍去）， 故的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知，则m，n的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，点均在第一象限 D. 存在，使得点在第二象限 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 点的轨迹长度为 C. 异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D. 三棱锥外接球与球内切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答） 13. 已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表： 性别 满意情况 合计 满意 不满意 男职工 25 25 50 女职工 25 5 30 合计 50 30 80 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关； （2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知数列满足：． （1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知． （1）求的单调区间和最值； （2）定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若，求证：． 19. 已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且． （1）求的方程； （2）若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，． ①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ②证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $