专题19.4 一次函数图象中的面积问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.4 一次函数图象中的面积问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，直线和直线的图象相交于点A，连接． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）请直接写出的面积为___________，在第一象限，直线上找一点D，连接，当的面积等于的面积时，请直接写出点D的坐标为___________． （3）点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出的面积为___________． 【思路点拨】 （1）用待定系数法，即可求解直线和直线的函数表达式； （2）先求出直线与y轴的交点坐标，再用割补法求的面积即可；根据的面积等于的面积可得，过点C作轴于点F，过点D作轴于点G，通过证明，即可得出，即可求出点D的面积； （3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度， ∴， 过点C作轴于点N，过点D作轴于点G， ∵， ∴， ∴， 设在边上的高为h， ∵，． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3，； （3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作轴于点P，过点E作轴于点Q， ∵点E在直线上，点F在x轴上， ∴设， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴； ②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作轴于点P，过点E作轴于点Q， 同理可得：∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ③如图：当点F在y轴上时，过点C作轴于点H，过点E作轴于点I， ∵点E在直线上，点F在x轴上， ∴设， 同理可得：∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 或∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：的面积为2或或或5． 故答案为：2或或或5． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点B，点P是直线AB上的一个动点，连接． （1）求不等式的解； （2）若的面积是面积的，求点P的坐标． 2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． （1）求E的坐标和m的值； （2）点P在直线上，若，求点P的坐标． 3．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在直线上求点M，使得． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，已知一次函数经过点，与一次函数交于点 （1）求一次函数的表达式． （2）请直接写出方程组的解． （3）求三角形的面积． 5．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及点的坐标． （2）求的面积． （3）连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 6．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积； （3）若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 7．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请 8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标； （3）直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标． 9．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，过点A的两条直线，分别与y轴交于点B，C，已知，． （1）求点A的坐标； （2）若的面积为，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点M，使得的面积是的面积的2倍?若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023八年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线n的函数表达式； （2）若的面积为9，求点C的坐标； （3）若是等腰三角形，求直线l的函数表达式． 11．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图1，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，与交于点． （1）求点的坐标； （2）若点为直线上一点，若，求满足条件的点的坐标； （3）如图2，已知为四边形内一点，连接，记的面积分别为，若点的坐标为，则是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．    （1）求直线的表达式； （2）如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限． ①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标； ②当的面积最小时，求点E的坐标． 13．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图①，已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，以点B为直角顶点在第一象限内作直角，，所在直线为．    （1）直接写出A，B两点的坐标A（__________，__________），B（__________，__________）； （2）求点C的坐标及b的值； （3）如图②，直线交y轴于点D，在直线上取一点，连接交x轴于点F，在直线上是否存在一点P，使的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． （1）的坐标为_________，线段的长为_________． （2）求直线的解析式和点的坐标． （3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 15．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； （3）如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． （1）求a，b的值及点A，C的坐标； （2）在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 17．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． （1）求直线的函数关系式和点的坐标； （2）当时，求点的横坐标和的面积； （3）已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 18．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． （1）求直线的表达式及点D的坐标； （2）若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.4 一次函数图象中的面积问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，直线和直线的图象相交于点A，连接． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）请直接写出的面积为___________，在第一象限，直线上找一点D，连接，当的面积等于的面积时，请直接写出点D的坐标为___________． （3）点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出的面积为___________． 【思路点拨】 （1）用待定系数法，即可求解直线和直线的函数表达式； （2）先求出直线与y轴的交点坐标，再用割补法求的面积即可；根据的面积等于的面积可得，过点C作轴于点F，过点D作轴于点G，通过证明，即可得出，即可求出点D的面积； （3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得： ， ∴直线的函数表达式为； （2）把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度， ∴， 过点C作轴于点N，过点D作轴于点G， ∵， ∴， ∴， 设在边上的高为h， ∵，． ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3，； （3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作轴于点P，过点E作轴于点Q， ∵点E在直线上，点F在x轴上， ∴设， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴； ②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作轴于点P，过点E作轴于点Q， 同理可得：∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ③如图：当点F在y轴上时，过点C作轴于点H，过点E作轴于点I， ∵点E在直线上，点F在x轴上， ∴设， 同理可得：∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 或∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：的面积为2或或或5． 故答案为：2或或或5． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点B，点P是直线AB上的一个动点，连接． （1）求不等式的解； （2）若的面积是面积的，求点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两直线围成的图形面积． （1）将代入，即可求出，再求不等式即可； （2）先求出，从而得出，设点，表示出，根据的面积是面积的，再求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵是直线上的一点， 把，代入，得， 解得：， 不等式即为 解得： 不等式的解为； （2）在中，令，解得， ∴， 由 ∴； ∴， 设点，则：， 解得：， ∴或． 2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）在直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线：与交于点E．若点E坐标为． （1）求E的坐标和m的值； （2）点P在直线上，若，求点P的坐标． 【思路点拨】 本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质以及解含绝对值的方程等知识点． （1）用待定系数法即可求解； （2）设点P的横坐标为t，则，过点P作轴交直线于点M，由此可表示的长，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标． 【解题过程】 （1）解：当时，， ∴ 将点E的坐标代入得：， 解得：； （2）由（1）知，直线：，设点P的横坐标为t，则， 过点P作轴交直线于点M， 则， ∴， ∵直线：与x轴、y轴分别交于点A，点B． ∴， ∴， 即|， 解得或， ∴或． 3．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，直线分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A． （1）求点A的坐标； （2）在直线上求点M，使得． 【思路点拨】 本题主要考查了直线围成的图形面积，求两直线的交点坐标： （1）联立两直线解析式求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）分当点M在点A下方时，当点M在点A上方时，两种情况求出与的关系进而得到与的关系，从而求出，进而求出点M的坐标即可． 【解题过程】 （1）解；联立，解得， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，当点M在点A下方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 如图，当点M在点A上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，已知一次函数经过点，与一次函数交于点 （1）求一次函数的表达式． （2）请直接写出方程组的解． （3）求三角形的面积． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法，图象法解二元一次方程组，直线围成三角形的面积； （1）由经过可求出的坐标，将、的坐标代入解析式，即可求解； （2）原方程组可整理为，用图象法即可求解； （3）由得，由得，由即可求解； 掌握待定系数法，用图象法解二元一次方程组是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： 经过， ， 解得：， ， ， 解得：， ； （2）解：一次函数与一次函数交于点， ， ， 一次函数与一次函数交于点， 原方程组的解为； （3）解：由得 当时，， 解得：， ， 由得， 当时，， 解得：， ， ， ． 5．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及点的坐标． （2）求的面积． （3）连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标； （2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标，的面积以为底，以点D的横坐标的绝对值为高，即可求得面积； （3）先求出的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得面积，然后设出的长，根据面积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论． 【解题过程】 （1）解：∵直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线， 令，解得， ∴； （2）解：∵直线与直线交于点， ∴，解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，解得， ∴， 即， ∴； （3）解：由（1）（2）可得，，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 设， 则， 即， 解得：， ∵，点在轴上， 当点E在点A左侧时，点E的横坐标为：，此时点， 当点E在点A右侧时，点E的横坐标为：，此时点， ∴点E的坐标为或． 6．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴，轴交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． （1）求点的坐标及直线的解析式； （2）求的面积； （3）若直线上有一点使得的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 【思路点拨】 本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【解题过程】 （1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）令，得， ∴， ∴． （3）根据题意得：， 设， 令，得， ∴， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 7．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． （1）求一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）问：在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形面积，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论是解题的关键． （1）求出C的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题； （2）求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）分两种情况，利用三角形面积公式即可求得． 【解题过程】 （1）把代入得， ∴， 设, 把，代入可得 ，解得： ∴． （2）∵一次函数的图象与y轴交于点A， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵， ∴， 当P在y轴上时， ，即， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或， 当P在x轴上时，设直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或， 综上，在坐标轴上,存在一点P,使得，点P的坐标为或或或． 8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标； （3）直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求出点的坐标． 【思路点拨】 本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点，注意分类讨论． （1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）求出的面积；设，，分两种情况考虑：当：：时；②当：：时；由面积关系求出m的值，即可求得点G的坐标； （3）设，则，从而求得，由即可求得n的值，从而得到点P的坐标． 【解题过程】 （1）解：在中，令，得；令，得； ∴，， 点． 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，，． ， ， 设，， 当：：时，即， ， ， ； ②当：：时，即， ， ， ． 综上，点的坐标为或； （3）解：设，则， ， ， ， 或， 或． 9．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，过点A的两条直线，分别与y轴交于点B，C，已知，． （1）求点A的坐标； （2）若的面积为，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点M，使得的面积是的面积的2倍?若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理，求一次函数解析式，涉及方程思想，数形结合思想； （1）由勾股定理求出的长，即可得点A的坐标； （2）设点C的坐标为，由面积关系可求得点C的坐标，用待定系数法即可求解； （3）求出的解析式，设点M的坐标，利用面积关系建立方程即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴； 由勾股定理得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：设点C的坐标为，其中，则， 由题意得：， 解得：， 即； 设的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：存在 设解析式为，把点A坐标代入得：， 解得：， 即； 设， ∵， ∴， 由题意得， 即， 解得：； ∴点M的坐标为或． 10．（2023八年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线n的函数表达式； （2）若的面积为9，求点C的坐标； （3）若是等腰三角形，求直线l的函数表达式． 【思路点拨】 （1）用待定系数法求直线n的函数解析式； （2）根据的面积为9可求得的长，确定的长，可得结论； （3）分情况进行讨论，当，，，分别求出点C的坐标，然后再利用待定系数法可得结论． 【解题过程】 （1）解：设直线n的解析式为：， 直线n：过点、点， ， 解得：， 直线n的函数表达式为：； （2）解：∵的面积为9， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或； （3）解：分四种情况： ①如图1，当时， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线l的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， ∴直线l的函数表达式为：； ②如图2，， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； ③如图3，，过点B作轴于点D， ∴， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； ④如图4，，过点B作轴于D， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得直线l的解析式为：； 综上，直线l的解析式为：或或或． 11．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图1，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，与交于点． （1）求点的坐标； （2）若点为直线上一点，若，求满足条件的点的坐标； （3）如图2，已知为四边形内一点，连接，记的面积分别为，若点的坐标为，则是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）联立得，，计算求解，进而可求点坐标； （2）当时，，即，；当时，，可求，则，；设，则，，即，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，作轴，交于，作轴，交于， 当时，，即；当时，，可求，则，，，根据，求解作答即可． 【解题过程】 （1）解：联立得，， 解得，， ∴； （2）解：当时，，即，； 当时，， 解得，， ∴，； 设，则，， ∵， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：如图2，作轴，交于，作轴，交于， 当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴，， ∵， ∴是定值，这个定值是． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．    （1）求直线的表达式； （2）如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限． ①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标； ②当的面积最小时，求点E的坐标． 【思路点拨】 （1）把点代入求得点的坐标，利用三角形面积求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意可知，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，则，即可证得，得出，设，即可得到，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标； ②先证得当点是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，则，得到，，设，，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标． 【解题过程】 （1）解：由点A在直线上，代入，则， ∴， 过点A作AG⊥x轴于点G，则，    ∵的面积为 ∴， ∴， 设：， 代入A，B的坐标，得 ∴ ∴直线的表达式为； （2）①∵， ∴， 设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，    ∴， 则， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点D两条直线和，其中D是的中点． 过点F作交于点M，则，    ， ∴当点D是中点时，的面积最小， 过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，    则， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图①，已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，以点B为直角顶点在第一象限内作直角，，所在直线为．    （1）直接写出A，B两点的坐标A（__________，__________），B（__________，__________）； （2）求点C的坐标及b的值； （3）如图②，直线交y轴于点D，在直线上取一点，连接交x轴于点F，在直线上是否存在一点P，使的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由解析式，分别令，，确定，； （2）过点C作，可证，进一步证得，于是，，从而得，由求得； （3）存在满足条件的点．如图，，可求,待定系数法确定直线的解析式为，从而， 设，分两种情况，点P在直线上方，如图,由，得，解得，；点P在直线下方，如图，，得，解得，． 【解题过程】 （1）解：如图，由，时，，时，，，故，． （2）解：由，知，,过点C作，垂足为H， ∵， ∴ 又, ∴ ∴， ∴ ∴ 所在直线为，故，解得    （3）解：存在满足条件的点．如图，直线所在直线为，则，, 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式， 时，，，即， 设，分两种情况，点P在直线上方， 如图，，, ∵， ∴，解得， ∴； 点P在直线下方，如图， 得，解得， ∴； 综上，点或． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． （1）的坐标为_________，线段的长为_________． （2）求直线的解析式和点的坐标． （3）如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 【思路点拨】 （1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解， （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解， （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解， 本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换． 【解题过程】 （1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：，， （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：， ， （3）解： ①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 15．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； （3）如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）先求出，，即有，，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解； （2）设M点坐标为：，由，，即可得，问题随之得解； （3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可． 【解题过程】 （1）令，则有：，解得， 令，则有：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设BC的解析式为：， ∴，， ∴， 解得：， ∴的解析式为：； （2）根据题意设M点坐标为：， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：，， ∴M点的坐标为：； （3）∵，，点F为线段AB中点， ∴， 设， 第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，， 即：， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵轴， ∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，， 即：， 根据第一种情况中的方法，同理可证：， ∴，， ∵轴， ∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 综上：G点坐标为：，． 16．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． （1）求a，b的值及点A，C的坐标； （2）在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【思路点拨】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【解题过程】 （1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 17．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点． （1）求直线的函数关系式和点的坐标； （2）当时，求点的横坐标和的面积； （3）已知点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求出与，确定出直线解析式，与直线联立求出坐标即可； （2）设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，求出的长，根据求出的值进而求出面积即可； （3）分点在轴上和点在轴上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【解题过程】 （1）直线经过点，，点， ，解得：， 直线解析式为， 联立和并解得：， 点的坐标为； （2），， ， 设点的横坐标为，则点坐标为， 轴， 点坐标为， ， 解得：或18， 当时，； 当时，同理可得：； 综上，的面积为； （3）①当点在轴上时，过作轴于点，设点坐标为， 当点在轴负半轴上时，如图1， ， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，解得， ， 点的坐标为； 当点在轴正半轴上时，如图2， 同理得， ，， ，解得， ， 点的坐标为； ②当点在轴上时，如图3， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ，， ， 点，点为直线上一动点， ， ， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 18．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． （1）求直线的表达式及点D的坐标； （2）若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求出直线的解析式，联立与的解析式，即可求出点D 坐标； （2）连接BC，过点D作轴于点F，证得，则点P在线段上或在线段上，分两种情况求出点P的坐标即可； （3）根据数轴得到三种情况：（Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，（Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，（Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，分别求出点P的坐标． 【解题过程】 （1）解：设直线的表达式为，代入点，， 得，解得， 直线l的表达式为． 令，解得， ， D的坐标为． （2）如图，连接，过点D作轴于点F． 令 解得, ∴ ∴，， ． ，，， 点B是线段的中点， ． 若直线将的面积分为两部分， 则点P在线段上或在线段上． （Ⅰ）当点P在线段上时，设点P的横坐标为，， ， 若直线将的面积分为两部分，则有 ， ， ， ， 代入直线得点P的坐标为． （Ⅱ）当点P在线段上时，如图，设直线与x轴交于点Q， 此时有， ，即， ， ， ． 设直线的解析式为 ∴ 解得 直线的表达式为， 令，解得， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． （3）存在．点P的坐标是或． 点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上时，有以下三种情况， （Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，如图， 由轴对称可知： ，， 由（2）可知，点B是线段的中点， ， ， ． 又， 而， ， 轴． ， ． （Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，如图过点P作于点， 作轴于点H， 过点D作轴于点M，由轴对称可知：平分， ． ， ， 即， 解得， ； （Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，如图， 点B是线段的中点， 由轴对称可知：此时点与点A重合， 不符合题意，应舍去． 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$